Exercices: Récurrence et propriétés de suites

On considère la suite $(u_n)$ définie par $u_0 = 2$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = 3u_n - 2$.

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 3^n + 1$.

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $\displaystyle \sum_{k=0}^{n} (2k+1) = (n+1)^2$.

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $2^n \geqslant n + 1$.

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \sqrt{2u_n + 3}$ pour tout entier naturel $n$.

1. a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $0 \leqslant u_n \leqslant 3$.

1. b) Démontrer par récurrence que la suite $(u_n)$ est croissante.

1. c) Que peut-on en conclure sur la convergence de $(u_n)$ ?

Soit $a$ un réel strictement positif. Démontrer par récurrence l'inégalité de Bernoulli : pour tout entier naturel $n$, $(1+a)^n \geqslant 1 + na$.

En déduire la limite de la suite $(1{,}02^n)$ quand $n$ tend vers $+\infty$.

On considère la matrice $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 2 \end{pmatrix}$.

1. a) Calculer $A^2$ et $A^3$.

1. b) Conjecturer l'expression de $A^n$ pour tout entier naturel $n$.

1. c) Démontrer cette conjecture par récurrence.

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \dfrac{u_n + 4}{u_n + 1}$ pour tout entier naturel $n$.

1. a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $1 \leqslant u_n \leqslant 4$.

1. b) Montrer que, pour tout entier naturel $n$, $2 - u_{n+1} = \dfrac{u_n - 2}{u_n + 1}$, puis en déduire que $|u_{n+1} - 2| \leqslant \dfrac{1}{2}|u_n - 2|$.

1. c) En déduire que, pour tout $n$, $|u_n - 2| \leqslant \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$, puis la limite de $(u_n)$.

Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, $4^n + 6n - 1$ est divisible par $9$.

Démontrer ensuite par récurrence que, pour tout entier naturel $n \geqslant 4$, $2^n \geqslant n^2$.

On considère la suite de Fibonacci définie par $F_0 = 0$, $F_1 = 1$ et $F_{n+2} = F_{n+1} + F_n$ pour tout entier naturel $n$.

1. a) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $\displaystyle \sum_{k=0}^{n} F_k = F_{n+2} - 1$.

1. b) Démontrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n \geqslant 1$, $F_{n+1}F_{n-1} - F_n^2 = (-1)^n$.