Exercices: Plus petit commun multiple

Dans un jeu vidéo de plateformes, votre personnage obtient un bouclier protecteur tous les $4$ niveaux et une amélioration de vitesse tous les $6$ niveaux. Si vous venez de commencer la partie au niveau $0$, à quel niveau les deux récompenses coïncideront-elles pour la première fois ? Calculer le résultat en obtenant les premiers multiples de chaque nombre.

La droite graduée montre le premier saut de chaque récompense. Continuer les sauts jusqu'à trouver le premier niveau où elles coïncident.

Une application de messagerie envoie une notification de « résumé des actualités » toutes les $10$ minutes, tandis qu'une autre application de réseaux sociaux le fait toutes les $15$ minutes. Si les deux ont envoyé une notification à $10:00$ du matin, combien de minutes s'écouleront avant qu'elles coïncident de nouveau pour la première fois ? Écrire les ensembles des multiples de $10$ et de $15$ pour trouver le plus petit multiple commun aux deux.

Calculer dans votre cahier le plus petit commun multiple des nombres $12$ et $18$ en utilisant la décomposition en facteurs premiers. Pour cela, suivre ces étapes :

1. Décomposer les deux nombres en produit de facteurs premiers.

2. Repérer les facteurs communs et non communs élevés au plus grand exposant.

3. Les multiplier pour obtenir le $\text{PPCM}(12 ; 18)$.

Trois lumières intelligentes dans une vitrine sont programmées pour changer de couleur à des intervalles différents. La première change toutes les $2$ secondes, la deuxième toutes les $3$ secondes et la troisième toutes les $4$ secondes. Si les trois s'allument en même temps, au bout de combien de temps changeront-elles de nouveau de couleur simultanément ?

Sans avoir besoin d'effectuer la décomposition en facteurs premiers, expliquer quel est le $\text{PPCM}(5 ; 20)$. Tenir compte de la relation de divisibilité entre les deux nombres. Que se passe-t-il pour le plus petit commun multiple lorsqu'un nombre est un multiple de l'autre ?

Un DJ utilise deux boucles de batterie de durées différentes. La première boucle dure $8$ mesures et la deuxième $12$ mesures. Au bout de combien de mesures les deux boucles redémarreront-elles en même temps ? Utiliser la méthode de votre choix (liste des multiples ou décomposition en facteurs premiers).

Lucie et Marc s'entraînent sur la piste d'athlétisme du collège. Lucie met $6$ minutes pour faire un tour complet et Marc met $8$ minutes. S'ils partent ensemble de la ligne de départ :

1. a) Au bout de combien de minutes franchiront-ils de nouveau la ligne d'arrivée en même temps ?
2. b) Calculer combien de tours chacun aura effectués à ce moment-là.

Déterminer mentalement le plus petit commun multiple des couples de nombres suivants :

1. a) $\mathrm{PPCM}(2 ; 5)$
2. b) $\mathrm{PPCM}(3 ; 9)$
3. c) $\mathrm{PPCM}(4 ; 10)$
4. d) $\mathrm{PPCM}(7 ; 11)$

En cours de mathématiques, Lucie essaie de calculer le plus petit commun multiple de $12$ et $18$. Pour cela, elle effectue correctement la décomposition en facteurs premiers : $12 = 2^2 \cdot 3$ et $18 = 2 \cdot 3^2$. Cependant, à l'étape finale, elle écrit dans son cahier :

« Comme on cherche le plus petit, je dois choisir les facteurs communs qui ont le plus petit exposant. Donc : $\text{PPCM}(12 \,;\, 18) = 2 \cdot 3 = 6$ ».

1. a) Repérer l'erreur de raisonnement de Lucie et expliquer pourquoi le nombre $6$ ne pourrait jamais être un multiple commun de $12$ et de $18$, d'après la signification de multiple.
2. b) Corriger la démarche de Lucie et calculer le résultat correct en expliquant pourquoi la règle du PPCM exige de prendre les facteurs élevés au plus grand exposant.

À la gare routière de Nantes, deux départs coïncident à $07:00$ du matin : la ligne vers Angers, qui passe toutes les $15$ minutes, et la ligne vers Saint-Nazaire, qui passe toutes les $20$ minutes.

1. a) Avant de faire un calcul par décomposition en facteurs premiers, faire une estimation argumentée : est-il possible que les départs coïncident de nouveau avant que $20$ minutes ne se soient écoulées ? Pourraient-ils mettre plus de $15 \cdot 20 = 300$ minutes à repartir en même temps ? Expliquer entre quelles bornes logiques doit se situer le temps de coïncidence.
2. b) Calculer formellement le $\text{PPCM}(15 ; 20)$ pour déterminer exactement dans combien de minutes les départs coïncideront de nouveau et à quelle heure du matin cela se produira.
3. c) Vérifier si le résultat obtenu est cohérent avec l'estimation initiale et justifier pourquoi le PPCM est nettement plus petit que le produit $15 \cdot 20$.

Déterminer le plus petit commun multiple des groupes de nombres suivants en utilisant la décomposition en facteurs premiers :

1. a) $\mathrm{PPCM}(45\,;\,75)$
2. b) $\mathrm{PPCM}(12\,;\,18\,;\,24)$
3. c) $\mathrm{PPCM}(80\,;\,120\,;\,200)$

Deux cyclistes professionnels s'entraînent sur un vélodrome circulaire. Le premier effectue un tour toutes les $108$ secondes, tandis que le second, un peu plus lent, met $120$ secondes. Si les deux passent ensemble la ligne d'arrivée en ce moment, combien de minutes mettront-ils pour se retrouver au même point pour la première fois ?

Dans une plateforme logistique, une des alarmes de maintenance sonne toutes les $45$ minutes et une autre toutes les $60$ minutes. Si à $08:00$ du matin les deux alarmes ont sonné en même temps, à quelle heure sonneront-elles de nouveau ensemble pour la deuxième fois après $08:00$ ?

Un centre culturel organise trois activités différentes : des cours de robotique tous les $12$ jours, des ateliers de théâtre tous les $15$ jours et des séances de ciné-club tous les $20$ jours. Si les trois activités ont lieu le même jour aujourd'hui, combien de fois auront-elles de nouveau lieu le même jour au cours des $365$ prochains jours ?

Dans un entrepôt, on veut empiler des caisses de deux types de produits différents. Les caisses du produit A ont une hauteur de $18$ cm et celles du produit B ont une hauteur de $30$ cm. Sur la figure, on peut voir une caisse de chaque type (les hauteurs sont dessinées à la même échelle).

On empile des caisses du produit A dans une pile et des caisses du produit B dans une autre :

1. a) Quelle est la hauteur minimale que doivent atteindre les deux piles pour avoir exactement la même hauteur ?

1. b) Combien de caisses de chaque type y aura-t-il dans chaque pile à ce moment-là ?

L'équipe de support d'une application de jeux vidéo a trois serveurs qui effectuent des sauvegardes de façon automatique. Le premier serveur fait une sauvegarde toutes les $24$ heures, le deuxième toutes les $36$ heures et le troisième toutes les $48$ heures. Si aujourd'hui les trois sauvegardes ont été effectuées simultanément, dans combien de jours la même chose se reproduira-t-elle ?

Chercher le plus petit nombre qui, divisé par $15$, $20$ et $35$, donne toujours un reste égal à $0$. Une fois ce nombre trouvé, indiquer quel serait le plus petit nombre qui, divisé par ces mêmes valeurs, donnerait toujours un reste de $3$.

Une entreprise de transport a deux lignes interurbaines. L'autobus de la ligne Nord passe par la gare centrale toutes les $1$ heure et $15$ minutes. Celui de la ligne Sud passe toutes les $50$ minutes. Si à $10:00$ du matin les deux sont partis en même temps, calculer combien de fois ils se seront retrouvés à la gare avant la fin de la journée à $22:00$.

Vous devez déterminer le plus petit commun multiple dans deux cas différents :

• Cas 1 : $\text{PPCM}(14 ; 28)$

• Cas 2 : $\text{PPCM}(40 ; 60)$

Vous disposez de trois stratégies de résolution possibles :

• Méthode A : lister à la main les premiers multiples de chaque nombre jusqu'à trouver le premier qui coïncide.

• Méthode B : effectuer la décomposition en facteurs premiers et prendre les facteurs communs et non communs avec le plus grand exposant.

• Méthode C : appliquer directement la relation de divisibilité en observant si l'un des nombres contient exactement l'autre.

1. a) Pour le cas 1, indiquer laquelle des trois méthodes permet de déduire le résultat le plus immédiatement et presque sans faire d'opérations. Justifier votre choix et obtenir la valeur.
2. b) Pour le cas 2, comparer l'efficacité de la méthode A et de la méthode B : expliquer pourquoi la méthode A devient peu pratique avec des nombres d'une certaine taille et résoudre le cas en appliquant la méthode que vous jugez optimale.

À la gare d'Austerlitz (Paris), trois trains de banlieue commencent leur service simultanément à $06:00$ du matin : la ligne C-3 vers Juvisy a une fréquence de départ de $15$ minutes, la ligne C-4 vers Massy part toutes les $20$ minutes et la ligne C-5 vers Versailles part toutes les $12$ minutes.

1. a) Traduire cette situation en un modèle mathématique : justifier quelle notion il faut calculer pour connaître le moment où les trois trains repartiront à nouveau en même temps et déterminer cet intervalle de temps à l'aide de la décomposition en facteurs premiers.
2. b) À quelle heure exacte du matin aura lieu le prochain départ simultané des trois lignes ?
3. c) Si les fréquences restent inchangées tout au long de la journée et que le service se termine à $23:30$, calculer combien de fois au total les trois départs coïncideront au cours de toute la journée (en comptant le départ initial de $06:00$).

Dans une station spatiale, quatre satellites de recherche orbitent autour d'un astéroïde. Le premier effectue son orbite toutes les $12$ heures, le deuxième toutes les $18$ heures, le troisième toutes les $20$ heures et le quatrième toutes les $30$ heures. Si aujourd'hui à $12:00$ ils sont alignés pour la première fois, combien de jours entiers devront s'écouler pour qu'ils se retrouvent exactement à la même position ? À quelle heure de la journée cette rencontre aura-t-elle lieu ?

Le produit de deux nombres entiers naturels est $6\,750$ et leur plus grand commun diviseur (PGCD) est $15$. En utilisant la relation entre le produit de deux nombres, leur PGCD et leur plus petit commun multiple (PPCM), calculer d'abord la valeur du PPCM de ces nombres. Ensuite, déterminer ces deux nombres sachant que leur différence est exactement $15$.

Une entreprise de design veut fabriquer des panneaux publicitaires carrés. Pour cela, elle dispose de trois types de carreaux rectangulaires de couleurs différentes, dont les dimensions sont $12 \times 18$ cm, $15 \times 20$ cm et $18 \times 24$ cm. Elle veut construire le plus petit panneau carré possible qui puisse être recouvert par chacun des trois types de carreaux indépendamment (sans les mélanger sur un même panneau). Quelle doit être la mesure du côté de ce panneau ? Combien de carreaux de chaque type faudrait-il pour le recouvrir ?

Au CDI du collège, on réorganise le rayon des romans. La documentaliste remarque que si elle range les livres dans des cartons de $6$, de $8$ ou de $10$ exemplaires, il reste toujours exactement $3$ livres qui ne rentrent pas. Sachant que le nombre total de livres du rayon est compris entre $400$ et $600$, combien y a-t-il exactement de livres dans le rayon des romans ?

Un DJ a trois séquenceurs de lumière programmés pour émettre des flashs à des intervalles différents. Le premier émet un flash toutes les $24$ secondes, le deuxième toutes les $36$ secondes et le troisième toutes les $40$ secondes. Si à $23:00$ heures les trois séquenceurs émettent un flash en même temps, combien de fois coïncideront-ils de nouveau simultanément, strictement avant la fin de la séance à $00:00$ heures (minuit) ?

Déterminer la valeur d'un nombre entier naturel $x$, sachant qu'il est inférieur à $50$ et que les deux conditions suivantes sont vérifiées simultanément :

• Le plus petit commun multiple de $24$ et $x$ est $120$.

• Le plus grand commun diviseur de $24$ et $x$ est $4$.

(Indice : décomposer en facteurs premiers les nombres connus et utiliser la définition du PPCM et du PGCD.)

Trois engrenages d'une machine industrielle sont reliés. L'engrenage $A$ a $45$ dents, l'engrenage $B$ a $60$ dents et l'engrenage $C$ a $75$ dents. Si la machine se met en marche et que l'on marque un point de contact entre les trois, combien de tours complets aura effectués chaque engrenage lorsqu'ils se retrouveront pour la première fois dans la position initiale ?

Un système de sécurité informatique génère trois codes d'accès automatiques. Le premier code change toutes les $2^3 \cdot 3 \cdot 5$ secondes, le deuxième toutes les $2^2 \cdot 3^2 \cdot 5$ secondes et le troisième toutes les $2 \cdot 3 \cdot 5^2$ secondes.

1. a) Exprimer la durée de changement de chaque code sous forme de nombres décimaux.
2. b) Calculer, en exprimant le résultat à l'aide de sa décomposition en facteurs premiers, au bout de combien de temps les trois changements de code coïncident simultanément.
3. c) Combien de minutes s'écoulent entre deux coïncidences ?

Deux nombres entiers naturels inconnus, $A$ et $B$, vérifient à la fois les quatre conditions suivantes :

1. Leur plus petit commun multiple est $\text{PPCM}(A, B) = 360$.

2. Aucun des deux nombres n'est divisible par l'autre.

3. Les deux nombres sont strictement inférieurs à $360$.

4. Le nombre $A$ est un multiple de $9$ et le nombre $B$ est un multiple de $10$.

1. a) Décomposer $360$ en facteurs premiers et expliquer quelles puissances des facteurs premiers ($2$, $3$ et $5$) doivent obligatoirement figurer dans $A$ ou dans $B$ pour que leur PPCM contienne toutes celles qui sont nécessaires.
2. b) Trouver deux couples distincts de nombres $(A, B)$ qui vérifient toutes les conditions données et démontrer, à l'aide de leurs décompositions, que leur PPCM est bien $360$.
3. c) Pourrait-on avoir $A = 75$ ? Justifier pourquoi c'est impossible en analysant uniquement les facteurs premiers de $75$ par rapport à ceux de $360$, sans avoir besoin de procéder par tâtonnement.

Une coopérative agricole en Navarre conditionne des asperges sous appellation d'origine dans des bocaux en verre. Pour préparer les expéditions, elle dispose de caisses de trois formats : des petites caisses de $12$ bocaux, des moyennes de $18$ bocaux et des grandes de $28$ bocaux. La coopérative commande des palettes standardisées à condition que chaque palette puisse être entièrement remplie en utilisant exclusivement des caisses de $12$, exclusivement des caisses de $18$ ou exclusivement des caisses de $28$, sans mélanger les modèles de caisses sur une même palette et sans qu'il reste aucun bocal.

1. a) Calculer le nombre minimal de bocaux que doit pouvoir contenir une palette pour être compatible avec les trois formats de caisses.
2. b) Le responsable logistique propose que la palette ait une capacité de $1500$ bocaux afin d'optimiser au maximum le volume du camion. Démontrer, sans effectuer de divisions avec des décimaux et en utilisant uniquement la décomposition en facteurs premiers du PPCM, pourquoi il est impossible qu'une palette de $1500$ bocaux vérifie la condition requise.
3. c) Si, pour des raisons de poids et de sécurité routière, la capacité de chaque palette doit obligatoirement être comprise entre $2000$ et $3000$ bocaux, déduire en justifiant toutes les capacités possibles de la palette.