Exercices: Matrice transposée et matrice inverse

Un analyste de données d'une application de musique organise les écoutes hebdomadaires de trois artistes (Artiste 1, Artiste 2 et Artiste 3) dans deux régions différentes (Nord et Sud) au moyen de la matrice $A$. Chaque ligne correspond à un artiste et chaque colonne à une région, dans l'ordre indiqué. Les éléments $a_{ij}$ représentent des milliers d'écoutes.

$$A = \begin{pmatrix} 45 & 12 \\ 30 & 58 \\ 10 & 25 \end{pmatrix}$$

On demande :

1. a) Indiquer la dimension de la matrice $A$ et la valeur des éléments $a_{12}$ et $a_{31}$.

1. b) Écrire la matrice transposée $A^t$ et interpréter ce que représentent désormais ses lignes et ses colonnes.

Dans la conception d'un niveau de jeu vidéo, les coordonnées des obstacles doivent être symétriques par rapport à un axe central. Pour qu'une matrice de conception $M$ soit symétrique, il faut que $M = M^t$.

On considère la matrice :

$$M = \begin{pmatrix} 1 & x-2 \\ 5 & 0 \end{pmatrix}$$

Calculer la valeur de $x$ pour que la matrice $M$ soit symétrique.

Soit les matrices $A$ et $B$. Résoudre l'équation matricielle d'inconnue la matrice $X$ :

$$X - A = B^t$$

avec :

$$A = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 5 \\ 4 & -2 \end{pmatrix}$$

Vérifier si la matrice $B$ est l'inverse de la matrice $A$ en utilisant la définition de la matrice inverse ($A \cdot B = I$, où $I$ est la matrice identité d'ordre 2).

$$A = \begin{pmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 1 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 1 & -2 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$$

Calculer le produit $A \cdot B$ en multipliant chaque ligne de $A$ par chaque colonne de $B$, écrire le détail du calcul de chaque coefficient, puis comparer le résultat avec $I$ pour conclure.

Un groupe de quatre amis (A, B, C et D) sont connectés sur un réseau social interne. La relation « A suit B » se représente par un 1 dans la matrice d'adjacence $G$. Si le graphe est orienté, la matrice n'est pas forcément symétrique.

Construire la matrice d'adjacence $G$ à partir du graphe suivant :

• A suit B et C.

• B suit A.

• C suit D.

• D suit C et B.

(Remarque : les coefficients de la diagonale principale sont égaux à 0 car personne ne se suit soi-même.)

Étant données les matrices $A$ et $B$, vérifier par un calcul explicite la propriété de la transposée d'une somme : $(A + B)^t = A^t + B^t$.

$$A = \begin{pmatrix} 1 & -3 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}, \quad B = \begin{pmatrix} 0 & 5 \\ -1 & 6 \end{pmatrix}$$

Calculer la matrice inverse de $M$ en utilisant la méthode de votre choix (en posant un système d'équations ou par la méthode du pivot de Gauss-Jordan).

$$M = \begin{pmatrix} 2 & 5 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$$

Si vous choisissez la méthode de Gauss-Jordan, le schéma est celui de la figure : vous partez de la matrice augmentée $[\,M \mid I\,]$ et, grâce à des opérations élémentaires sur les lignes, vous devez arriver à $[\,I \mid M^{-1}\,]$.

Étant donnée la matrice carrée $A$ d'ordre 2, calculer le résultat de l'opération suivante :

$$3 \cdot A^t - I_2$$

Où $I_2$ est la matrice identité d'ordre 2 et :

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & -1 \end{pmatrix}$$

Pour isoler la matrice $X$ dans l'équation matricielle $(A \cdot X)^t = B$, où $A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 3 & -1 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}$, Lucas a présenté dans sa copie le développement suivant :

$$\text{Étape 1 : } A^t \cdot X^t = B$$ $$\text{Étape 2 : } X^t = B \cdot (A^t)^{-1}$$ $$\text{Étape 3 : } X = (B \cdot (A^t)^{-1})^t = A^{-1} \cdot B^t$$

Réaliser les tâches suivantes :

1. a) Identifier et expliquer de façon argumentée les deux erreurs conceptuelles commises par Lucas (une à l'étape 1 et une à l'étape 2).
2. b) Isoler correctement la matrice $X$ à partir de l'équation initiale, en indiquant précisément chacune des propriétés de la matrice transposée et de la matrice inverse utilisées.
3. c) Vérifier que $A$ est inversible en calculant son déterminant, puis déterminer la matrice $X$ correcte à partir de l'expression obtenue à la question précédente.

Une huilerie de Jaén commercialise deux variétés d'huile d'olive vierge extra : Picual et Arbequina. Pendant les deux premières semaines de la campagne, elle approvisionne deux distributeurs de Paris. Les commandes (en centaines de litres) sont regroupées dans la matrice $C$ :

$$C = \begin{pmatrix} 3 & 1 \\ 5 & 2 \end{pmatrix}$$

où la ligne 1 correspond au distributeur A et la ligne 2 au distributeur B (la première colonne correspond à la variété Picual et la seconde à l'Arbequina). La matrice des recettes totales obtenues par l'huilerie pour ces ventes pendant les mois d'octobre et de novembre (en centaines d'euros) est :

$$F = \begin{pmatrix} 21 & 16 \\ 37 & 28 \end{pmatrix}$$

Sachant que les commandes, les prix unitaires de chaque variété pour chaque mois regroupés dans la matrice $P$ et les recettes totales sont reliés par l'équation matricielle $C \cdot P = F$ :

1. a) Justifier, en calculant son déterminant, que la matrice des commandes $C$ est inversible et que, par conséquent, il existe une unique matrice des prix $P$.
2. b) Isoler formellement la matrice $P$ dans l'équation matricielle en indiquant la propriété utilisée.
3. c) Calculer la matrice inverse $C^{-1}$ à l'aide des déterminants et en déduire la matrice des prix unitaires $P$.
4. d) Interpréter la signification concrète de la valeur obtenue en position $p_{12}$ de la matrice $P$.

On considère la matrice dépendant du paramètre réel $k$ :

$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & k \\ k & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{pmatrix}$

1. a) Déterminer pour quelles valeurs de $k$ la matrice $A$ n'admet pas de matrice inverse.
2. b) Pour $k = 2$, calculer la matrice inverse $A^{-1}$ à l'aide de la méthode de Gauss-Jordan.
3. c) Existe-t-il une valeur de $k$ pour laquelle la matrice est symétrique ? Justifier la réponse en calculant $A^t$.

Une entreprise de messagerie utilise une matrice de transmission $T$ pour organiser les envois entre trois nœuds logistiques ($N_1, N_2, N_3$). La matrice est donnée par :

$T = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$

Pour réaliser un audit inverse, il faut déterminer la matrice $X$ qui vérifie l'équation matricielle suivante :

$T \cdot X - T^t = I$

où $T^t$ est la transposée de $T$ et $I$ est la matrice identité d'ordre 3. Calculer en justifiant la matrice $X$ après l'avoir isolée dans l'équation.

Dans la conception d'un filtre pour une application de retouche photo, on utilise une matrice de transformation $M$ définie par :

$M = \begin{pmatrix} a & 0 \\ b & 1 \end{pmatrix}$

On sait que cette matrice doit être involutive, c'est-à-dire que son inverse est elle-même ($M = M^{-1}$), ce qui équivaut à dire que $M^2 = I$.

1. a) Calculer $M^2$ en fonction de $a$ et $b$.
2. b) Déterminer les valeurs de $a$ et $b$ pour que la condition de matrice involutive soit vérifiée, sachant que $a$ doit être un nombre négatif.
3. c) Pour les valeurs trouvées, vérifier que $M \cdot M^t$ est une matrice symétrique.

Soit les matrices $A = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{pmatrix}$.

1. a) Calculer $(A \cdot B)^t$ et $B^t \cdot A^t$. Vérifier si la propriété de la transposée d'un produit est satisfaite.
2. b) Déterminer les matrices inverses $A^{-1}$ et $B^{-1}$.
3. c) Résoudre l'équation matricielle $A \cdot X \cdot B = I$, où $I$ est la matrice identité d'ordre 2.

Un système de chiffrement de messages courts utilise une matrice clé $K$ d'ordre 2 pour transformer des vecteurs de données. Pour que le destinataire puisse déchiffrer le message, la matrice $K$ doit être inversible. La matrice est :

$K = \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}$

1. a) Démontrer que, pour toute valeur de $\alpha$, on a $K^t = K^{-1}$. (Ce type de matrices est dit orthogonal.)

1. b) Si un message arrive sous la forme du vecteur $E = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \end{pmatrix}$ et que l'on sait que $\alpha = 90^\circ$, calculer le vecteur original $V$ en résolvant $K \cdot V = E$. La figure représente le vecteur reçu $E$.

On considère les matrices $A = \begin{pmatrix} 1 & -1 \\ 2 & 0 \end{pmatrix}$ et $B = \begin{pmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 3 \end{pmatrix}$.

1. a) Déterminer la matrice $C = A + B^t$.
2. b) Calculer la matrice inverse $C^{-1}$.
3. c) Trouver une matrice $X$ telle que $C \cdot X = A \cdot B$.

On considère la matrice carrée $M$ d'ordre 3 :

$M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 2 \\ 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

1. a) Calculer $M^2$ et $M^3$. La matrice $M$ est-elle inversible ? Justifier la réponse en s'appuyant sur le calcul de son rang ou de son déterminant.
2. b) Calculer la matrice $A = I + M + M^2$, où $I$ est la matrice identité d'ordre 3.
3. c) Vérifier par le produit de matrices que l'inverse de la matrice $B = I - M$ est bien la matrice $A$ calculée à la question précédente.

Une compagnie aérienne low cost exploite des lignes entre quatre aéroports ($A, B, C, D$). La matrice d'adjacence $M$ représente les liaisons directes (un $1$ en position $ij$ signifie qu'il y a un vol direct de l'aéroport $i$ vers l'aéroport $j$) :

$M = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

1. a) Calculer la matrice transposée $M^t$ et interpréter l'information qu'elle apporte concernant le sens des lignes.
2. b) Déterminer si la matrice $S = M + M^t$ est symétrique. Que représente la valeur des éléments de la diagonale principale de $S$ ?
3. c) On définit une matrice « d'asymétrie des lignes » par $K = M - M^t$. Démontrer que $K$ est une matrice antisymétrique en vérifiant que $K^t = -K$.

On souhaite résoudre l'équation matricielle $A \cdot X \cdot B = I$, où $I$ est la matrice identité d'ordre 3 et où les matrices $A$ et $B$ sont données par :

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 1 \end{pmatrix}, \qquad B = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$$

Deux élèves débattent de la manière la plus rapide et la plus sûre de la résoudre :

• Marcos propose d'isoler directement $X = A^{-1} \cdot B^{-1}$, ce qui nécessite de calculer par les déterminants $A^{-1}$, puis $B^{-1}$, et enfin de multiplier les deux matrices.

• Lucie propose l'équivalence $X = (B \cdot A)^{-1}$, en calculant d'abord le produit $M = B \cdot A$ puis en effectuant une seule inversion matricielle à l'aide des déterminants.

1. a) Démontrer algébriquement, en appliquant avec rigueur les propriétés de l'élément neutre, de l'associativité et de l'inverse d'un produit de matrices, que l'expression de Lucie $X = (B \cdot A)^{-1}$ est formellement correcte et équivalente à celle de Marcos.
2. b) Comparer les deux procédés en termes de coût opératoire (nombre de déterminants et de cofacteurs à calculer) et justifier de façon argumentée pourquoi la méthode de Lucie réduit nettement le risque d'erreurs de calcul.
3. c) Appliquer la méthode de Lucie pour calculer le produit $M = B \cdot A$ et obtenir la matrice $X$ à l'aide des déterminants.

On considère la matrice $A$ dépendant du paramètre réel $k$ :

$$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & -1 \\ 0 & 3 & 1 \\ 2 & 4 & k \end{pmatrix}$$

1. a) Observer attentivement la première et la troisième ligne. Sans développer aucun déterminant, estimer de façon argumentée pour quelle valeur de $k$ ces lignes sont linéairement dépendantes (proportionnelles) et expliquer pourquoi, pour cette valeur, la matrice $A$ ne peut pas être inversible.
2. b) Vérifier votre estimation en calculant le déterminant de $A$ en fonction de $k$ par la règle de Sarrus ou par développement selon une ligne. Déterminer le rang de $A$ selon les valeurs de $k$ et préciser pour quelles valeurs de $k$ la matrice inverse $A^{-1}$ existe.
3. c) Pour $k = 0$, estimer au préalable la valeur de $\det(A^{-1})$ à partir des propriétés des déterminants avant d'effectuer les calculs. Puis calculer la matrice $A^{-1}$ à l'aide des déterminants et vérifier la cohérence de votre résultat en contrôlant que le produit de la première ligne de $A$ par la première colonne de $A^{-1}$ est égal à 1.

On considère la matrice $A$ qui dépend d'un paramètre réel $k$ :

$A = \begin{pmatrix} k & 0 & 1 \\ 0 & k & 1 \\ 1 & 1 & k-1 \end{pmatrix}$

On demande :

1. Déterminer pour quelles valeurs de $k$ la matrice $A$ n'admet pas de matrice inverse.

2. Dans le cas $k = 1$, résoudre l'équation matricielle $A \cdot X \cdot A^t = I$, où $I$ est la matrice identité d'ordre 3. Utiliser les propriétés de la transposée et de l'inverse pour simplifier le calcul avant d'effectuer les opérations.

Dans un système de messagerie instantanée, la sécurité des messages repose sur le chiffrement matriciel. Supposons qu'un message soit représenté par une matrice $M$ et chiffré à l'aide d'une matrice clé $K$ par l'opération $C = K \cdot M$. Pour le déchiffrer, le destinataire doit calculer $M = K^{-1} \cdot C$.

On connaît la matrice clé $K$ :

$$K = \begin{pmatrix} 1 & -1 & 1 \\ 0 & 2 & -1 \\ 2 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

1. Montrer que la matrice clé $K$ est inversible en calculant son inverse par la méthode de Gauss-Jordan.

2. Si l'on reçoit le message chiffré $C = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 3 & 2 \\ 5 & 1 \end{pmatrix}$, déterminer le message original $M$.

On considère la matrice carrée $A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ :

1. Calculer $A^2$ et $A^3$.

2. À partir des résultats précédents, conjecturer une formule pour $A^n$ et la démontrer par récurrence.

3. Utiliser le résultat précédent pour calculer la matrice inverse $(A^n)^{-1}$ en l'exprimant en fonction de $n$.

Un réseau social analyse l'influence entre 4 « influenceurs » ($V_1, V_2, V_3, V_4$). La relation d'influence directe est représentée par la matrice d'adjacence $G$, où $g_{ij} = 1$ si l'influenceur $i$ influence directement l'influenceur $j$, et $0$ dans le cas contraire.

$$G = \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{pmatrix}$$

1. a) Dessiner le graphe orienté correspondant à cette matrice.

1. b) On dit qu'une matrice est orthogonale si $G \cdot G^t = I$. Vérifier si $G$ est orthogonale. Dans la négative, expliquer de façon argumentée ce que signifierait géométriquement qu'une matrice d'adjacence soit orthogonale.

1. c) Calculer $(G^t + I)^{-1}$ si elle existe.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

On considère les matrices $A$ et $B$ d'ordre 3 telles que $|A| \neq 0$ et $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 \end{pmatrix}$.

Sans calculer les éléments de $A$, résoudre l'équation matricielle suivante d'inconnue la matrice $X$ :

$$(A \cdot X \cdot B)^t = B^{-1}$$

Exprimer $X$ en fonction de $A$, $B$ et de leurs transposées et inverses. Une fois l'expression algébrique obtenue, calculer les éléments de $X$ sachant que $A = I$ (matrice identité).

Soit $M$ une matrice carrée d'ordre $n$ qui possède la propriété d'être involutive, c'est-à-dire $M^2 = I$.

1. Démontrer que, pour toute matrice involutive, on a $M = M^{-1}$.

2. On considère la matrice $A = \begin{pmatrix} a & 1 \\ -3 & -a \end{pmatrix}$. Calculer les valeurs de $a$ pour que $A$ soit involutive.

3. Pour les valeurs de $a$ trouvées, résoudre l'équation $(A^t + I) \cdot X = A$.

Toute matrice carrée $M$ peut se décomposer de manière unique comme la somme d'une matrice symétrique $S$ (où $S = S^t$) et d'une matrice antisymétrique $N$ (où $N = -N^t$), au moyen des formules :

$S = \frac{1}{2}(M + M^t)$ et $N = \frac{1}{2}(M - M^t)$

On considère la matrice $M = \begin{pmatrix} 2 & 4 & 6 \\ 0 & 2 & 4 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix}$ :

1. Déterminer sa décomposition en $S$ et $N$.

2. Calculer l'inverse de la partie symétrique $S^{-1}$.

3. Justifier s'il est possible que la partie antisymétrique $N$ d'une matrice d'ordre 3 soit inversible.

En infographie, les transformations se réalisent à l'aide de matrices. Une matrice de rotation dans le plan $\mathbb{R}^2$ est donnée par :

$$R(\alpha) = \begin{pmatrix} \cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{pmatrix}$$

1. Démontrer analytiquement que la matrice transposée de $R(\alpha)$ coïncide avec sa matrice inverse, c'est-à-dire $R(\alpha)^t = R(\alpha)^{-1}$.

2. Soit $A = R(45^\circ)$. Calculer la matrice $X$ qui vérifie l'équation :

$$A^t \cdot X - I = A^{-1}$$

où $I$ est la matrice identité d'ordre 2.

Un système cryptographique nécessite une matrice de codage $M \in \mathcal{M}_2(\mathbb{R})$ involutive (c'est-à-dire vérifiant $M = M^{-1}$, ce qui équivaut à $M^2 = I_2$), de sorte que le même procédé matriciel serve à la fois à chiffrer et à déchiffrer un message.

1. a) Démontrer que si une matrice $M = \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}$ non triviale ($M \neq \pm I_2$) est involutive, alors sa trace est nécessairement nulle ($d = -a$) et son déterminant vaut $\det(M) = -1$, ce qui conduit à la condition $a^2 + b \cdot c = 1$.
2. b) Construire un exemple concret de matrice involutive $M$ dont les quatre éléments sont des nombres entiers non nuls et tous différents de $\pm 1$. Vérifier explicitement par le produit de matrices que $M^2 = I_2$.
3. c) Pour la matrice $M$ que vous avez construite, déterminer sa décomposition canonique unique $M = S + N$, où $S = \frac{1}{2}(M + M^t)$ est symétrique et $N = \frac{1}{2}(M - M^t)$ est antisymétrique.
4. d) Démontrer de façon générale (sans vous appuyer uniquement sur votre exemple numérique) que toute matrice antisymétrique d'ordre 2 non nulle a un déterminant strictement positif et est donc toujours inversible. Démontrer en outre que son inverse $N^{-1}$ est aussi une matrice antisymétrique en utilisant les propriétés $(N^t)^{-1} = (N^{-1})^t$.

L'analyse input-output de Leontief permet de modéliser les relations d'interdépendance entre secteurs économiques. Dans une étude sur l'économie espagnole, on considère deux secteurs clés : le secteur agroalimentaire ($S_1$) et le secteur du tourisme et des services ($S_2$). La matrice des coefficients techniques de consommation interne est :

$$A = \begin{pmatrix} 0,2 & 0,2 \\ 0,3 & 0,3 \end{pmatrix}$$

où chaque élément $a_{ij}$ représente la proportion de la production du secteur $i$ absorbée par le secteur $j$ pour chaque unité monétaire produite. La production totale brute $X$ (en milliards d'euros) nécessaire pour satisfaire une demande finale externe $D$ vérifie l'équation matricielle :

$$X - A \cdot X = D \iff (I_2 - A) \cdot X = D$$

Le ministère de l'Économie envisage deux scénarios de demande externe pour le prochain exercice :

$$\text{Scénario 1 : } D_1 = \begin{pmatrix} 15 \\ 25 \end{pmatrix}, \qquad \text{Scénario 2 : } D_2 = \begin{pmatrix} 20 \\ 10 \end{pmatrix}$$

1. a) Justifier par le calcul de son déterminant que la matrice de Leontief $M = I_2 - A$ est inversible et expliquer pourquoi, puisqu'il faut évaluer deux scénarios distincts, il est plus avantageux de calculer la matrice inverse $(I_2 - A)^{-1}$ que de résoudre deux systèmes linéaires séparément.
2. b) Calculer la matrice inverse $(I_2 - A)^{-1}$ en utilisant la formule des déterminants et la comatrice.
3. c) Calculer les vecteurs de production totale $X_1$ et $X_2$ pour chacun des deux scénarios envisagés.
4. d) On suppose qu'une grave crise énergétique et d'inflation fait augmenter les coûts de sorte que tous les coefficients techniques de la matrice doublent et deviennent $A' = 2A$. Vérifier si la nouvelle matrice du système $(I_2 - A')$ est toujours inversible en calculant son déterminant et son rang, et interpréter la viabilité économique du modèle dans cette situation de crise.

Défi du thème. Audit énergétique et projection des consommations. Imaginez que vous conseillez une PME pour optimiser sa dépense d'électricité.

1. Recueil de données : Consulter le site de RTE ou des factures réelles. Sélectionner $3$ jours et $3$ tranches horaires (pointe, pleines, creuses) pour relever les consommations en kWh, en définissant la matrice $C \in \mathcal{M}_{3\times 3}(\mathbb{R})$. Attribuer des prix unitaires (par exemple $0,18$ €/kWh) dans un vecteur colonne $P$.

2. Opérations et Gauss : Effectuer le produit $C \cdot P$ pour obtenir la dépense quotidienne. Poser un système $C \cdot X = B$ en fixant un budget cible $B$ et le résoudre par la méthode de Gauss afin de trouver les prix unitaires $X$ (€/kWh) qui ajusteraient la dépense à ce budget, en évaluant s'ils sont réalistes.

3. Inverse et puissances : Dans un tableur ou GeoGebra, calculer $C^{-1}$ à l'aide des déterminants et de la comatrice pour exprimer les prix unitaires requis face à des variations du budget ($X = C^{-1} \cdot B$). Puis concevoir une matrice de transfert des habitudes $T$ et déterminer sa puissance $T^3$ pour projeter la répartition énergétique dans trois mois.

4. Proposition argumentée : Rédiger un rapport bref (une page) avec les matrices calculées et des conclusions pratiques d'économies.

Seront évalués :

• La rigueur dans le calcul de $C^{-1}$ par les déterminants et l'application de la méthode de Gauss.

• La formulation correcte des opérations matricielles et des puissances dans le tableur.

• La qualité de l'analyse critique et le réalisme des conclusions avec des données réelles.