Exercices: Suites ; limite d'une suite

Soit la suite de terme général $a_n = \frac{1}{n^2}$, avec $n = 1, 2, 3, \dots$

1. a) Écrire les quatre premiers termes de la suite.

1. b) Raisonner, de façon intuitive, sur la valeur de sa limite lorsque $n$ tend vers l'infini :

$$\lim_{n \to \infty} a_n$$

Calculer la limite de la suite rationnelle suivante en comparant les degrés du numérateur et du dénominateur :

$$a_n = \frac{5n^2 - 3n + 1}{2n^2 + 7}$$

Déterminer la valeur de la limite de la suite $b_n$ lorsque $n$ croît indéfiniment :

$$b_n = \frac{100n + 50}{n^2 - 1}$$

Sur un réseau social, le nombre de « j'aime » d'une publication durant les premières heures suit la progression $c_n = \frac{4n^2}{n+2}$, où $n$ est le nombre d'heures écoulées depuis la publication. Que se passe-t-il pour le nombre de « j'aime » à très long terme ? Calculer :

$$\lim_{n \to \infty} \frac{4n^2}{n+2}$$

Calculer la limite de la suite suivante, qui fait intervenir une racine carrée, en analysant le terme de plus haut degré :

$$d_n = \frac{\sqrt{9n^2 + n}}{2n - 3}$$

Le graphique montre quelques-uns de ses premiers termes (à partir de $n=3$).

En utilisant la comparaison des croissances (exponentielle face à polynomiale), déterminer la limite de la suite :

$$e_n = \frac{3^n}{n^{10} + 500}$$

On estime que la valeur d'un ordinateur portable après $n$ années est donnée par la suite $v_n = 1200 \cdot (0,8)^n$. Calculer la limite de cette suite et interpréter le résultat dans le contexte de la dépréciation de l'appareil.

$$\lim_{n \to \infty} 1200 \cdot (0,8)^n$$

La figure représente, pour $n=1,2,\dots,10$, les termes de deux suites : les points bleus correspondent à $a_n=\left(1+\frac{1}{n}\right)^{n}$ et les points verts à

$$x_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{2n}$$

1. a) Identifier laquelle des deux suites de la figure (bleue ou verte) correspond à la définition du nombre $e$ et écrire sa limite.

1. b) Calculer $\displaystyle\lim_{n\to\infty} x_n$ (les points verts) en raisonnant à partir de la définition de $e$, et vérifier que le résultat est cohérent avec la tendance observée sur la figure.

Lors d'un devoir de mathématiques, Marc doit calculer la limite de la suite suivante :

$$\lim_{n \to \infty} \frac{5^n + n!}{2\cdot n! - 3^n}$$

Pour la résoudre, Marc écrit le raisonnement suivant :

« Au numérateur, $5^n$ est une fonction exponentielle de base 5, donc elle l'emporte sur $n!$. Au dénominateur, il en va de même avec $3^n$, qui l'emporte sur $2\cdot n!$. Par conséquent, la limite est égale à $\lim_{n \to \infty} \frac{5^n}{-3^n} = -\lim_{n \to \infty} \left(\frac{5}{3}\right)^n = -\infty$ ».

1. a) Identifier et expliquer en détail l'erreur conceptuelle que commet Marc concernant la hiérarchie des infinis ($\log n \ll n^k \ll a^n \ll n! \ll n^n$).
2. b) Corriger sa résolution : factoriser le numérateur et le dénominateur par le terme qui l'emporte réellement en l'infini, puis calculer la valeur correcte de la limite.

Soit la suite de terme général :

$$a_n = \frac{6n^2 + \cos(n)\cdot \sqrt{n}}{2n^2 + 5}$$

1. a) Conjecturer : Analyser quels termes croissent le plus vite au numérateur et au dénominateur lorsque $n$ tend vers l'infini. Sachant que les valeurs de la fonction cosinus sont bornées et oscillent dans l'intervalle $[-1, 1]$, proposer une estimation intuitive et argumentée de la valeur vers laquelle la suite doit converger, avant tout calcul formel.
2. b) Vérifier : Démontrer rigoureusement votre conjecture en appliquant le théorème des gendarmes. Pour cela, construire deux suites simples $b_n$ et $c_n$ vérifiant l'inégalité $b_n \le a_n \le c_n$ pour tout $n \ge 1$, calculer $\lim_{n \to \infty} b_n$ et $\lim_{n \to \infty} c_n$, puis confirmer que le résultat obtenu coïncide avec la valeur conjecturée.

Calculer la limite de la suite suivante en analysant les degrés des polynômes et en justifiant le résultat par la comparaison des termes de plus haut degré :

$a_n = \frac{(3n - 1)^2 \cdot (n + 2)}{(2n + 3)^3 - 5n}$

Pour les suites suivantes, utiliser la hiérarchie des croissances pour déterminer, sans longs calculs algébriques, la valeur de leur limite lorsque $n \to \infty$ :

1. a) $b_n = \frac{n^5 + 10^6}{\ln(n^2 + 1) + 0,5^n}$

1. b) $c_n = \frac{\sqrt{n^3 + 4n}}{2n + \sqrt[3]{n^5}}$

1. c) $d_n = \frac{1,02^n}{n^{1000} + 5n}$

Déterminer la limite de la suite $a_n = \sqrt{4n^2 + 3n - 1} - 2n$.

Pour visualiser son comportement, la figure représente les huit premiers termes $a_1, a_2, \dots, a_8$. Observer vers quelle valeur ils semblent se rapprocher, puis justifier le résultat par le calcul de la limite (par exemple en multipliant et en divisant par l'expression conjuguée).

Un investisseur analyse la croissance d'une cryptomonnaie dont l'évolution quotidienne suit la loi d'une suite de type exponentiel. La valeur relative après $n$ jours est donnée par :

$V_n = \left( \frac{5n^2 + 3n}{5n^2 - 2} \right)^{n+1}$

Calculer la valeur vers laquelle tend la monnaie à long terme en utilisant la relation avec le nombre $e$.

Déterminer la valeur des paramètres réels $k$ et $t$ pour que l'égalité suivante soit vérifiée :

$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{kn + 5}{3n - 1} \right)^n = e^t$

Sachant que la limite de la base est $1$ et que le résultat final est $e^2$.

Étudier le comportement de la suite définie par récurrence par :

$a_1 = 2$

$a_{n+1} = \frac{1}{2} \left( a_n + \frac{2}{a_n} \right)$

En supposant que la suite est convergente et que sa limite est $L$ ($L > 0$), calculer cette valeur en résolvant l'équation $L = \frac{1}{2} \left( L + \frac{2}{L} \right)$. À quelle célèbre constante irrationnelle correspond ce résultat ?

Dans un laboratoire de biotechnologie, le nombre de bactéries d'une souche (en millions) après $n$ heures est modélisé par la suite :

$P_n = \frac{12n^2 + \sin(n)}{3n^2 + 500}$

Déterminer la population de bactéries lorsque le temps tend vers l'infini. Expliquer ce qui se passe pour le terme $\sin(n)$ dans le calcul de la limite.

Calculer la limite de la suite suivante, qui présente une soustraction de fractions de dénominateurs différents :

$a_n = \frac{2n^2 + 1}{n - 1} - \frac{2n^3 + 5}{n^2 + 2}$

Indiquer si la suite est divergente ou convergente après avoir levé l'indétermination $\infty - \infty$.

L'INSEE étudie l'évolution démographique d'une commune rurale de Lozère. Le nombre d'habitants au début de l'année $n+1$, noté $P_{n+1}$, est modélisé à partir de la population de l'année précédente $P_n$ par la relation de récurrence suivante :

$$P_{n+1} = 0,95\cdot P_n + 30$$

Le coefficient $0,95$ modélise une perte nette annuelle de $5\,\%$ due au solde naturel et migratoire, tandis que la constante $30$ représente les nouveaux résidents qui s'installent chaque année, attirés par les incitations au télétravail.

1. a) Si, l'année initiale, la commune compte $P_1 = 800$ habitants, calculer de façon justifiée la population des trois années suivantes ($P_2$, $P_3$ et $P_4$) en arrondissant les résultats à l'entier, et indiquer la tendance immédiate observée.
2. b) Sachant que la suite est convergente et que sa limite finie $L = \lim_{n \to \infty} P_n$ vérifie l'équation de point fixe $L = f(L)$, calculer vers quel nombre d'habitants tendra la population de la commune à long terme.
3. c) Interpréter la valeur de $L$ dans le contexte sociodémographique du problème : la commune finira-t-elle par se dépeupler complètement ou atteindra-t-elle un équilibre démographique stable ? Justifier votre réponse.

On considère la suite donnée par :

$$a_n = \left(\frac{3n + a}{3n - 1}\right)^{b\cdot n + 2}$$

où $a$ et $b$ sont des constantes réelles fixées, avec $b > 0$.

1. a) Justifier que la base de la puissance tend vers $1$ et l'exposant vers $+\infty$ lorsque $n \to \infty$, en identifiant le type de forme indéterminée que présente la suite.
2. b) Problème inverse : Déterminer les valeurs exactes des paramètres $a$ et $b$ sachant que la suite converge vers le nombre réel $e^4$ et que tous deux vérifient la relation linéaire $a - 2b = 1$. Présenter toute la démarche en appliquant l'équivalence $\lim_{n \to \infty} (u_n)^{v_n} = e^L$, avec $L = \lim_{n \to \infty} v_n \cdot (u_n - 1)$.
3. c) Avec les valeurs trouvées, calculer en justifiant la limite de la suite auxiliaire $s_n = \ln(a_n)$ en précisant la propriété des limites et de la continuité utilisée.

Calculer la valeur de la limite suivante d'une suite présentant une forme indéterminée du type $1^\infty$, en portant une attention particulière à la manipulation algébrique de la base et de l'exposant :

$$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{2n^2 + 5n - 1}{2n^2 - 3n + 2} \right)^{\frac{n^2 + 1}{2n - 3}}$$

Déterminer la limite de la suite suivante, qui fait intervenir une différence de racines d'indices différents (cubique et carrée). Pour la résoudre, vous devrez faire apparaître un facteur commun ou utiliser la technique consistant à ajouter et retrancher un terme intermédiaire permettant de séparer l'expression en deux limites faciles à traiter :

$$\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt[3]{n^3 + 3n^2} - \sqrt{n^2 - 4n} \right)$$

En algorithmique, il est fondamental de connaître la vitesse de croissance de certaines fonctions. Calculer la limite de la suite suivante en comparant les croissances des différents termes (factorielles, exponentielles et puissances) :

$$\lim_{n \to \infty} \frac{n! + 10^n}{n^n - 5^n}$$

Expliquer en justifiant quel terme domine au numérateur et lequel au dénominateur pour justifier votre résultat.

Utiliser le théorème des gendarmes pour déterminer la valeur de la limite de la suite $a_n$ définie par la somme de fractions suivante :

$$a_n = \frac{n}{n^2+1} + \frac{n}{n^2+2} + \frac{n}{n^2+3} + \dots + \frac{n}{n^2+n}$$

Déterminer les valeurs des paramètres réels $a$ et $b$ pour que l'égalité suivante entre la limite de la suite et la valeur indiquée soit vérifiée :

$$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n^2 + 5n + 1}{n - 2} - an - b \right) = 0$$

On définit une suite par récurrence par la formule :

$$a_1 = \sqrt{6}$$ $$a_{n+1} = \sqrt{6 + a_n}$$

En supposant que la suite est convergente (vous pouvez visualiser son comportement dans le diagramme ci-dessous), calculer la valeur exacte de sa limite $L = \lim_{n \to \infty} a_n$.

Un drone de surveillance est programmé pour effectuer une série de bonds en ligne droite. La première seconde, il parcourt $d$ mètres. Chaque seconde suivante, il parcourt une distance égale à la moitié de la distance parcourue la seconde précédente, plus un mètre supplémentaire pour compenser le vent. Si $x_n$ est la distance totale cumulée au bout de $n$ secondes :

1. a) Déterminer l'expression du terme général de la distance parcourue à chaque seconde $a_n$.
2. b) Déterminer la distance que parcourra le drone pendant une seconde donnée lorsque $n$ tend vers l'infini (c'est-à-dire $\lim_{n \to \infty} a_n$).

Soit la suite $a_n = \frac{3n + 2}{n + 1}$. Démontrer à l'aide de la définition formelle de la limite ($\varepsilon$ et $N$) que sa limite est $L = 3$.

Pour cela, pour une valeur de $\varepsilon = 0,001$, déterminer à partir de quel rang $N$ de la suite on a $|a_n - L| < \varepsilon$.

On souhaite déterminer la limite de la suite formée par la somme suivante de $n$ termes :

$$S_n = \sum_{k=1}^{n} \frac{1}{\sqrt{n^2 + k}} = \frac{1}{\sqrt{n^2 + 1}} + \frac{1}{\sqrt{n^2 + 2}} + \dots + \frac{1}{\sqrt{n^2 + n}}$$

Pour la résoudre, deux élèves de terminale proposent des démarches différentes :

• Proposition de Xavier : « Comme la limite d'une somme est la somme des limites, je calcule la limite de chaque terme lorsque $n \to \infty$. Comme $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n^2 + k}} = 0$ pour tout $k$, la somme de toutes les limites vaut $0 + 0 + \dots + 0 = 0$. Donc $\lim_{n \to \infty} S_n = 0$ ».

• Proposition d'Hélène : « La méthode de Xavier n'est pas valable car le nombre de termes n'est pas fixe : il dépend de $n$ et tend vers l'infini. Il faut encadrer la somme entière en remplaçant tous les dénominateurs par le plus grand et par le plus petit pour appliquer ensuite le théorème des gendarmes ».

1. a) Analyser la proposition de Xavier : expliquer pourquoi la propriété algébrique de la limite d'une somme ne peut pas s'appliquer ici et proposer un contre-exemple simple où une somme de $n$ termes tendant chacun vers zéro converge vers une valeur non nulle.
2. b) Appliquer la proposition d'Hélène : déterminer de façon justifiée deux suites $b_n$ et $c_n$ telles que $b_n \le S_n \le c_n$, calculer leurs limites respectives lorsque $n \to \infty$ et en déduire la vraie valeur de $\lim_{n \to \infty} S_n$.

On considère la suite avec des racines d'indices différents :

$$a_n = \sqrt{n^2 + 6n} - \sqrt[3]{n^3 + 3n^2}$$

1. a) Estimer : Pour de très grandes valeurs de $n$, approcher le comportement de chaque terme en complétant des carrés et des cubes : observer que $n^2 + 6n = (n+3)^2 - 9 \approx (n+3)^2$ et que $n^3 + 3n^2 = (n+1)^3 - (3n+1) \approx (n+1)^3$. À partir de cette approximation asymptotique informelle, proposer une estimation justifiée de la limite de la suite avant de calculer.
2. b) Vérifier : Démontrer rigoureusement la valeur exacte de la limite en ajoutant et retranchant le terme auxiliaire $n$ pour transformer l'expression en la différence de deux blocs faciles à traiter :

$$\lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \left[ \left(\sqrt{n^2 + 6n} - n\right) - \left(\sqrt[3]{n^3 + 3n^2} - n\right) \right]$$

Multiplier et diviser chaque bloc par son expression conjuguée correspondante (en utilisant pour le bloc cubique l'identité $A^3 - B^3 = (A - B)(A^2 + AB + B^2)$), calculer la limite de chaque partie et vérifier si le résultat coïncide avec votre estimation.

1. c) Justifier l'erreur classique : Expliquer pourquoi un procédé qui ne conserve que le terme de plus haut degré dans chaque radical (en posant $\sqrt{n^2} - \sqrt[3]{n^3} = n - n = 0$) conduit à une conclusion erronée, en précisant pourquoi, dans une soustraction qui engendre une forme indéterminée $\infty - \infty$, il n'est pas permis d'ignorer les termes de degré inférieur.