Exercices: Limite d'une fonction en un point

Observer le graphique de la fonction $f(x)$ ci-dessous et déterminer intuitivement la valeur des limites à gauche et à droite suivantes au point de rupture $x = 2$ :

1. a) $\lim_{x \to 2^-} f(x)$
2. b) $\lim_{x \to 2^+} f(x)$
3. c) La limite $\lim_{x \to 2} f(x)$ existe-t-elle ? Justifier la réponse à partir des résultats précédents.

Pour étudier le comportement de la fonction $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ près de la valeur $x = 3$ (où la fonction n'est pas définie), compléter le tableau de valeurs suivant à l'aide de la calculatrice :

$x$	$2,9$	$2,99$	$2,999$	$3,001$	$3,01$	$3,1$
$f(x)$

D'après les résultats, quelle semble être la valeur de la limite $\lim_{x \to 3} f(x)$ ?

Calculer les limites immédiates suivantes en effectuant la substitution directe dans l'expression de la fonction :

1. a) $\lim_{x \to -1} (x^3 - 3x^2 + 5x - 2)$
2. b) $\lim_{x \to 2} \frac{x^2 + 4}{x + 1}$
3. c) $\lim_{x \to 0} \sqrt{2x + 9}$

Soit la fonction rationnelle $g(x) = \frac{x + 2}{x - 4}$. On souhaite analyser ce qui se passe lorsque la variable $x$ tend vers $4$.

1. a) Calculer les limites à gauche et à droite $\lim_{x \to 4^-} g(x)$ et $\lim_{x \to 4^+} g(x)$.

1. b) Quel type de comportement la courbe de la fonction présente-t-elle au voisinage de $x = 4$ ? S'aider du schéma de la courbe ci-dessous pour visualiser la tendance et justifier la réponse avec les résultats de la question a).

On considère la fonction définie par morceaux :

$$f(x) = \begin{cases} 2x + k & \text{si } x < 1 \\ x^2 - 1 & \text{si } x \geq 1 \end{cases}$$

Calculer la valeur que doit prendre la constante $k$ pour que la fonction admette une limite au point $x = 1$. Indice : les limites à gauche et à droite doivent coïncider.

Un capteur de température dans une réaction chimique enregistre les données selon la fonction $T(t) = \frac{3t + 6}{t + 2}$, où $T$ est la température en degrés Celsius et $t$ le temps en minutes.

1. a) Essayer de calculer la température à l'instant exact $t = -2$ minutes. Que constatez-vous ?
2. b) Calculer la valeur de la limite $\lim_{t \to -2} T(t)$ en simplifiant au préalable l'expression de la fonction. Que signifie ce résultat quant à la continuité de la température en ce point ?

Déterminer la valeur des limites suivantes de fonctions trigonométriques et logarithmiques simples par substitution directe (en vérifiant que le point appartient à l'ensemble de définition) :

1. a) $\lim_{x \to \pi} (\cos x + \sin x)$
2. b) $\lim_{x \to e} (\ln x + 2x)$
3. c) $\lim_{x \to 0} \frac{e^x + 1}{2}$

Expliquer graphiquement pourquoi la fonction $f(x) = \frac{1}{x^2}$ tend vers $+\infty$ lorsque $x$ se rapproche de $0$, aussi bien par la gauche que par la droite. Dessiner un schéma de la fonction en mettant en évidence le comportement près de l'origine.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Alexandre doit résoudre la limite suivante lors d'un devoir de terminale :

$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - x - 1}{x^2 + 2x}$$

Sur sa feuille, il écrit :

« Je remplace $x = 0$ et j'obtiens $\frac{e^0 - 0 - 1}{0 + 0} = \frac{0}{0}$. Comme c'est une forme indéterminée, j'applique la règle de L'Hôpital en dérivant le numérateur et le dénominateur :

$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{2x + 2}$$

Comme j'obtiens de nouveau $\frac{0}{0}$, j'applique L'Hôpital une seconde fois :

$$\lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2} = \frac{e^0}{2} = \frac{1}{2}$$ »

1. a) Localiser précisément l'erreur dans le raisonnement d'Alexandre et expliquer quelle condition indispensable de la règle de L'Hôpital il a enfreinte.
2. b) Corriger la démarche et déterminer la valeur réelle de la limite.
3. c) À partir du résultat correct, indiquer si la courbe de la fonction $f(x) = \frac{e^x - x - 1}{x^2 + 2x}$ présente en $x = 0$ une asymptote verticale ou une discontinuité prolongeable par continuité, en justifiant la réponse.

On souhaite étudier le comportement de la fonction $f(x) = \frac{e^{2x} - 1}{\sin(3x)}$ au voisinage de l'origine.

1. a) Conjecturer : avant d'appliquer toute règle formelle, évaluer mentalement ou à la calculatrice la valeur de $f(x)$ pour les points proches $x = 0,05$ et $x = -0,05$ (rappel : l'argument trigonométrique est exprimé en radians). À partir de ces deux valeurs numériques, conjecturer la valeur exacte de $\lim_{x \to 0} f(x)$.
2. b) Vérifier : calculer analytiquement $\lim_{x \to 0} f(x)$ en appliquant la règle de L'Hôpital, après avoir vérifié explicitement les hypothèses d'application.
3. c) Comparer l'estimation numérique avec le résultat exact obtenu et réfléchir : pourquoi un tableau de valeurs numériques ne constitue-t-il pas à lui seul une démonstration mathématique suffisante de l'existence de la limite ?

Calculer la valeur de la limite suivante en levant l'indétermination par factorisation des polynômes concernés :

$\lim_{x \to 2} \dfrac{x^3 - 3x^2 + 4}{x^2 - 4x + 4}$

Pour la résoudre, rappelez-vous que si, en remplaçant la variable par sa valeur, on obtient $\frac{0}{0}$, les deux polynômes ont au moins une racine commune. Utiliser la division par (x − a) (méthode de Horner) ou les identités remarquables pour simplifier l'expression.

Soit la fonction définie par morceaux ci-dessous. Déterminer la valeur du paramètre $k \in \mathbb{R}$ pour que la fonction admette une limite au point critique $x = 1$ :

$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - k}{x - 2} & \text{si } x < 1 \\ 2x^2 - kx & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$

Justifier votre réponse en vérifiant l'égalité des limites à gauche et à droite.

Calculer la limite de la fonction irrationnelle suivante au point $x = 5$. En cas d'indétermination, utiliser la technique de la multiplication par l'expression conjuguée :

$\lim_{x \to 5} \dfrac{\sqrt{x - 1} - 2}{x^2 - 25}$

Étudier le comportement de la fonction $g(x) = \dfrac{2x + 1}{x^2 - 1}$ au voisinage des valeurs où elle n'est pas définie. Pour cela, calculer les limites à gauche et à droite en $x = 1$ et $x = -1$ et déterminer si la fonction présente des asymptotes verticales en ces valeurs.

Un laboratoire de biotechnologie a modélisé la concentration d'une enzyme lors d'une réaction chimique par la fonction $C(t)$, où $t$ est le temps en minutes :

$C(t) = \dfrac{t^2 - 9}{2t^2 - 5t - 3}$

Les scientifiques souhaitent connaître la valeur de la concentration lorsque le temps se rapproche de $3$ minutes, moment où se produit un changement de phase. Calculer :

$\lim_{t \to 3} C(t)$

Déterminer les coefficients $a$ et $b$ pour que l'égalité suivante soit vérifiée, sachant que la limite est finie et que de plus $a + b = 5$ :

$\lim_{x \to 0} \dfrac{ax^2 + bx}{\sqrt{x + 4} - 2} = 8$

Analyser le graphique suivant de la fonction $h(x)$ et déterminer visuellement la valeur des limites suivantes et de la fonction au point considéré :

1. a) $\lim_{x \to -2^-} h(x)$
2. b) $\lim_{x \to -2^+} h(x)$
3. c) $h(-2)$
4. d) $\lim_{x \to 3} h(x)$

Calculer les limites à gauche et à droite de la fonction $f(x) = \dfrac{x^2 - |x - 2| - 4}{x - 2}$ lorsque $x$ tend vers $2$. La limite existe-t-elle en ce point ?

Remarque : Pensez à réécrire la fonction sans la valeur absolue selon l'intervalle d'approche.

On cherche à calculer la valeur de :

$$\lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1 + 4x} - (1 + 2x)}{x^2}$$

1. a) La résoudre par des méthodes algébriques en multipliant et en divisant par l'expression conjuguée du numérateur jusqu'à lever l'indétermination.
2. b) La résoudre en appliquant la règle de L'Hôpital, en indiquant clairement à quelles étapes vous vérifiez que ses hypothèses sont satisfaites et combien de fois il faut dériver.
3. c) Comparer les deux méthodes : laquelle est la plus sûre et présente le moins de risques d'erreurs de calcul dans ce cas précis ? Justifier en outre quelle méthode vous choisiriez si le numérateur contenait la racine cubique $\sqrt[3]{1 + 4x}$ au lieu de la racine carrée.

Lors d'un épisode hivernal d'inversion thermique à Paris, les techniciens de la qualité de l'air analysent la concentration de dioxyde d'azote ($\text{NO}_2$) enregistrée par une station de mesure après le déclenchement du protocole municipal de restriction de la circulation. La concentration moyenne $C(t)$, exprimée en microgrammes par mètre cube ($\mu\text{g/m}^3$), est modélisée en fonction du temps écoulé $t$ (en heures, avec $t > 0$) par la fonction continue :

$$C(t) = \frac{400 \cdot (1 - \cos(0,5t)) + 180t}{t^2 + 2t}$$

1. a) Calculer $\lim_{t \to 0^+} C(t)$ en appliquant la règle de L'Hôpital et en justifiant correctement son utilisation, afin de déterminer la valeur théorique de la concentration juste au début de l'intervention.
2. b) La directive européenne 2008/50/CE fixe une valeur limite horaire pour la protection de la santé de $200\ \mu\text{g/m}^3$ et un seuil d'alerte pour la population de $400\ \mu\text{g/m}^3$. D'après la limite calculée, l'un de ces seuils était-il dépassé à l'instant $t \to 0^+$ ?
3. c) Calculer $\lim_{t \to +\infty} C(t)$ et interpréter ce que prédit ce modèle mathématique à long terme sur la présence du polluant si les restrictions étaient maintenues indéfiniment.

Lors de la conception d'une rampe pour un skatepark, les ingénieurs ont modélisé la courbure d'une section critique à l'aide de la fonction :

$f(x) = \frac{x^2 + ax + b}{\sqrt{x^2 + 5} - 3}$

On sait que, pour que la rampe soit sûre et praticable, la fonction doit avoir une limite finie lorsque la position horizontale $x$ tend vers $2$. Déterminer les valeurs des paramètres réels $a$ et $b$ sachant que, de plus, la rampe passe par l'origine du repère $(0 ; 0)$. Une fois ces valeurs trouvées, calculer la valeur de cette limite.

Calculer la valeur de la limite suivante en utilisant des identités trigonométriques ou des équivalents :

$$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(3x)}{x \cdot \tan(2x)}$$

Expliquer en justifiant si la fonction présente une discontinuité « removable » (prolongeable par continuité) en $x = 0$, à partir du résultat obtenu.

Un satellite de communication ajuste son orbite. L'intensité du signal $S$ sur une station de réception dépend d'un facteur d'interférence $x$ selon l'expression :

$$S(x) = \left( \frac{x^2 + 3x + 1}{x^2 + 4} \right)^{\frac{1}{x-2}}$$

À cause d'une panne du logiciel de traitement, le signal est interrompu précisément lorsque l'interférence atteint la valeur critique $x = 2$. Déterminer vers quelle valeur tend l'intensité du signal lorsqu'on s'approche de ce point critique.

Soit la fonction définie par morceaux, avec des paramètres réels $k$ et $m$ :

$$g(x) = \begin{cases} \frac{e^{kx} - 1}{x} & \text{si } x < 0 \\ m \cdot \cos(x) + 2 & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$$

Déterminer la relation qui doit exister entre $k$ et $m$ pour que la fonction admette une limite en $x = 0$. Quelles valeurs ces paramètres doivent-ils prendre pour que cette limite soit exactement $5$ ?

On considère la fonction $h(x)$ qui représente la pression de l'air dans une chambre expérimentale :

$$h(x) = \frac{|x-1|}{x^2 + x - 2}$$

Étudier l'existence de la limite au point $x = 1$. Pour cela, calculer les limites à gauche et à droite et justifier si la fonction converge en ce point. Représenter graphiquement le comportement de la fonction au voisinage de $x = 1$, en indiquant sur votre dessin les valeurs vers lesquelles tend $h(x)$ lorsque $x \to 1^-$ et lorsque $x \to 1^+$.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Déterminer les valeurs des paramètres $a$ et $b$ pour que l'égalité de limites suivante soit vérifiée :

$$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 + ax + b}{x^2 - 9} = \frac{5}{6}$$

Utiliser la factorisation de polynômes pour lever l'indétermination.

Calculer la limite de la fonction $f(x)$ lorsque $x$ tend vers $1$ :

$$f(x) = \frac{\sqrt[3]{x} - 1}{\sqrt{x} - 1}$$

Dans un laboratoire d'acoustique, on étudie la fréquence d'une onde sonore traversant un filtre spécial. La réponse du filtre est donnée par :

$$F(x) = \frac{x^2 - k^2}{\sqrt{x^2 + 7} - \sqrt{k^2 + 7}}$$

où $k$ est une constante caractéristique du matériau. Calculer la limite de la fonction $F(x)$ lorsque la variable $x$ tend vers $k$. Le résultat final dépend-il de la valeur de la constante $k$ ? Justifier la réponse.

On considère la fonction dépendant de deux paramètres réels $a, b \in \mathbb{R}$ :

$$f(x) = \frac{a\cos x + bx + e^x - 1}{x^2}$$

On sait qu'il existe la limite finie $\lim_{x \to 0} f(x) = L$, avec $L \in \mathbb{R}$.

1. a) Démontrer, en utilisant les opérations sur les limites et la continuité des fonctions concernées, que pour que la limite soit un nombre fini, il est nécessaire que $\lim_{x \to 0} (a\cos x + bx + e^x - 1) = 0$. Que se passerait-il géométriquement pour la droite $x = 0$ si cette limite du numérateur était différente de zéro ?
2. b) En appliquant la condition précédente et la règle de L'Hôpital autant de fois que nécessaire, déterminer les valeurs uniques des paramètres $a$ et $b$, puis calculer la valeur exacte de la limite finie $L$.
3. c) On définit la fonction prolongée $g(x)$ telle que $g(x) = f(x)$ pour $x \neq 0$ et $g(0) = L$. Quel type de discontinuité $f$ présentait-elle en $x = 0$ ? Justifier la réponse selon la classification habituelle des discontinuités.

Lucie essaie de calculer en classe la limite suivante :

$$\lim_{x \to 0} \frac{x^2 \sin\left(\frac{1}{x}\right)}{\sin x}$$

Dans sa copie, elle développe l'argumentation suivante :

« Au numérateur, lorsque $x \to 0$, on a le produit de $x^2 \to 0$ par une fonction bornée $\sin(1/x)$, qui tend vers $0$. Au dénominateur, $\sin 0 = 0$. C'est une forme indéterminée $\frac{0}{0}$, donc j'applique la règle de L'Hôpital en dérivant le numérateur et le dénominateur :

$$\lim_{x \to 0} \frac{2x\sin\left(\frac{1}{x}\right) + x^2\cos\left(\frac{1}{x}\right)\cdot\left(-\frac{1}{x^2}\right)}{\cos x} = \lim_{x \to 0} \frac{2x\sin\left(\frac{1}{x}\right) - \cos\left(\frac{1}{x}\right)}{\cos x}$$

Pour calculer cette dernière limite, le terme $2x\sin(1/x) \to 0$, mais $\cos(1/x)$ oscille sans limite entre $-1$ et $1$ lorsque $x \to 0$, tandis que le dénominateur tend vers $\cos 0 = 1$. Puisque la limite du quotient des dérivées n'existe pas, j'en conclus que la limite initiale n'existe pas non plus ».

1. a) Expliquer quelle est l'erreur logique et théorique commise par Lucie dans sa conclusion. Distinguer clairement si la règle de L'Hôpital exprime une condition nécessaire ou une condition suffisante.
2. b) Calculer la valeur réelle de la limite initiale à l'aide d'une méthode valide n'utilisant pas la règle de L'Hôpital (par exemple, en réécrivant l'expression sous forme d'un produit adapté et en utilisant les propriétés des fonctions bornées ou la limite trigonométrique usuelle).
3. c) À la lumière de la valeur correcte, classer la discontinuité de la fonction en $x = 0$ et expliquer comment la redéfinir pour qu'elle soit continue en ce point.