Exercices: Continuité d'une fonction sur un intervalle. Classification des discontinuités. Théorèmes de Bolzano et de Weierstrass

Observer la courbe de la fonction $f(x)$ représentée ci-dessous et identifier les points de discontinuité. Pour chacun d'eux, indiquer de quel type il s'agit (limite finie prolongeable par continuité, saut fini ou limite infinie).

Calculer la valeur du paramètre $k$ pour que la fonction définie par morceaux suivante soit continue sur l'ensemble des nombres réels :

Soit la fonction rationnelle $f(x) = \frac{x-3}{x^2-9}$. Étudier sa continuité aux points $x = 3$ et $x = -3$. S'il existe des discontinuités, les classer en justifiant par le calcul des limites à gauche et à droite.

Considérer la fonction $f(x) = \frac{x^2 - 4x + 4}{x - 2}$.

1. Démontrer que la fonction n'est pas continue en $x = 2$.

2. Quelle valeur $f(2)$ devrait-elle prendre pour que la discontinuité soit prolongeable par continuité et que la fonction soit continue en ce point ?

Vérifier si la fonction $f(x) = x^3 - 3x + 1$ satisfait les hypothèses du théorème de Bolzano sur l'intervalle $[0 ; 1]$. Peut-on assurer que l'équation $x^3 - 3x + 1 = 0$ admet au moins une racine dans cet intervalle ? Justifier la réponse.

Un randonneur commence un parcours depuis un refuge situé à 1200 mètres d'altitude ($t=0$). Après 4 heures de marche, il se trouve à un belvédère à 1800 mètres d'altitude. En supposant que la fonction qui décrit son altitude en fonction du temps, $A(t)$, est continue :

1. Expliquer, à l'aide du théorème des valeurs intermédiaires, si le randonneur est passé à un moment par l'altitude de 1500 mètres.

2. Peut-on assurer qu'il est passé par l'altitude de 2000 mètres ?

Déterminer, à l'aide du théorème de Weierstrass, si la fonction $f(x) = \frac{1}{x}$ atteint nécessairement un maximum et un minimum absolus sur les intervalles suivants :

1. Sur l'intervalle fermé $[1 ; 5]$.

2. Sur l'intervalle ouvert $]0 ; 1[$.

Étudier la continuité à gauche et à droite de la fonction suivante aux extrémités de l'intervalle $[0 ; 4]$ :

Indiquer si la fonction est continue en $x=1$ en comparant ses limites à gauche et à droite.

Pour étudier si la fonction $f(x) = \frac{x+1}{x-2}$ s'annule sur l'intervalle $[1 ; 4]$, Alexandre écrit ce qui suit dans sa copie :

« On calcule les valeurs aux bornes de l'intervalle : $f(1) = \frac{1+1}{1-2} = -2 < 0$ et $f(4) = \frac{4+1}{4-2} = \frac{5}{2} > 0$. Comme elles sont de signes opposés, d'après le théorème des valeurs intermédiaires (corollaire de Bolzano), il existe au moins une valeur $c \in ]1 ; 4[$ telle que $f(c) = 0$. De plus, en $x = 2$ la fonction présente une discontinuité évitable car elle ne pose problème qu'en un point isolé du dénominateur ».

1. a) Expliquer de façon argumentée quelle grave erreur commet Alexandre en appliquant le théorème de Bolzano, et vérifier par le calcul si l'équation $f(x) = 0$ admet réellement une solution dans l'intervalle $]1 ; 4[$.
2. b) Classer rigoureusement la discontinuité de $f(x)$ en $x = 2$ en calculant les limites à gauche et à droite pertinentes, et indiquer quelle hypothèse non satisfaite empêchait d'appliquer le théorème.

Construire l'expression analytique d'une fonction définie par morceaux $g(x)$, d'ensemble de définition $\mathbb{R}$ tout entier, qui vérifie simultanément les trois conditions suivantes :

1) Elle présente une discontinuité évitable en $x = -2$, avec $\lim_{x \to -2} g(x) = 3$.

2) Elle présente une discontinuité de saut fini en $x = 1$, de sorte que l'amplitude du saut entre ses limites à gauche et à droite soit exactement de 4 unités.

3) Elle est continue en tout autre point de $\mathbb{R}$.

Justifier par le calcul que la fonction construite satisfait chacune des conditions, en calculant les limites à gauche et à droite correspondantes ainsi que les valeurs de la fonction en ces points.

Soit la fonction $f(x)$ définie par morceaux par :

La figure montre les trois morceaux de la définition (qui changent en $x=2$ et en $x=4$) et l'intervalle $[1 ; 5]$.

1. a) Calculer les valeurs de $a$, $b$ et $k$ pour que la fonction soit continue sur tout son ensemble de définition $\mathbb{R}$.

1. b) Une fois ces valeurs trouvées, déterminer si la fonction vérifie les hypothèses du théorème de Weierstrass sur l'intervalle $[1 ; 5]$.

Étudier la continuité de la fonction suivante et classer en justifiant tous ses points de discontinuité :

Indiquer si l'une des discontinuités est prolongeable par continuité et, le cas échéant, redéfinir la fonction en ce point pour qu'elle devienne continue.

Un graphiste trace la trajectoire d'un objet dans une animation. La hauteur $h$ en mètres en fonction du temps $t$ (en secondes) est donnée par :

1. a) Indiquer l'ensemble de définition de la trajectoire.
2. b) Étudier la continuité en $t = 3$. Quel type de discontinuité présente-t-elle ? Interpréter le résultat dans le contexte de l'animation (y a-t-il un saut, l'objet disparaît-il ou part-il à l'infini ?).
3. c) L'objet peut-il atteindre une hauteur de $0$ mètres à un instant de l'intervalle $[0 ; 2]$ ? Justifier la réponse à l'aide du théorème de Bolzano.

Démontrer, à l'aide du théorème de Bolzano, que les courbes représentatives des fonctions $f(x) = e^x - 2$ et $g(x) = \cos(x)$ se coupent en au moins un point de l'intervalle $[0 ; \pi]$. Expliquer en détail les étapes et les hypothèses nécessaires pour appliquer le théorème.

Soit la fonction $f(x) = x^3 + x - 5$. Justifier s'il existe une valeur $c \in [1 ; 2]$ telle que $f(c) = -1$. Quel théorème garantit ce résultat ? Énoncer ce théorème et vérifier que ses hypothèses sont satisfaites.

On sait qu'une fonction $f(x)$ est continue sur l'intervalle fermé $[0 ; 4]$. Si $f(0) = 1$ et $f(4) = 1$, peut-on assurer qu'il existe un point $c \in \,]0 ; 4[$ tel que $f(c) = 0$ ? Donner un exemple graphique d'une fonction qui vérifie ces conditions mais n'a pas de racine dans cet intervalle et expliquer pourquoi cela ne contredit pas le théorème de Bolzano.

Soit la fonction $f(x) = \frac{k \cdot \sin(x)}{x}$ pour $x \neq 0$ :

1. a) Déterminer la valeur de $k$ sachant que $\lim_{x \to 0} f(x) = 5$.
2. b) Avec cette valeur de $k$, définir $f(0)$ pour que la fonction soit continue en $x = 0$.
3. c) Justifier si la fonction obtenue est continue sur l'intervalle $[0 ; 2\pi]$. Peut-on assurer qu'elle atteint un maximum absolu sur cet intervalle ?

Un drone décolle du sol ($y=0$) et suit une trajectoire donnée par la fonction hauteur $h(t) = t^2 \cdot e^{-t} + \ln(t+1)$, où $t$ est le temps en minutes.

Démontrer qu'à un instant compris entre la minute $1$ et la minute $6$ de vol, le drone se trouve exactement à une hauteur de $2$ mètres. Utiliser pour cela le théorème des valeurs intermédiaires.

La température $T$ (en degrés Celsius) relevée par une station de Météo-France en zone de montagne au cours d'une journée d'hiver de 12 heures est modélisée par la fonction :

où $t$ représente le temps écoulé en heures depuis 8 h du matin ($t = 0$).

1. a) Sans calculer de dérivées, justifier si l'on peut assurer qu'à un instant compris entre 8 h et 20 h ($t = 12$) les thermomètres ont indiqué exactement $0^\circ\text{C}$. Énoncer le théorème utilisé et vérifier en détail que toutes ses hypothèses sont satisfaites.
2. b) Les théorèmes sur la continuité permettent-ils de garantir qu'au cours de ces 12 heures il y a eu au moins un instant de température maximale absolue et un autre de température minimale absolue ? Citer le théorème correspondant, vérifier ses hypothèses et interpréter sa signification concrète.

Considérer la fonction polynôme $f(x) = x^3 + 5x - 3$ définie sur l'intervalle fermé $[0 ;\, 1]$.

1. a) Estimer : en observant les valeurs de $f(0)$ et $f(1)$, ainsi que le poids relatif du terme linéaire $5x$ par rapport au terme cubique $x^3$ sur l'intervalle $[0 ;\, 1]$, déterminer intuitivement dans lequel des deux sous-intervalles, $[0;\, 0,5]$ ou $[0,5;\, 1]$, la racine de la fonction a le plus de chances de se trouver.
2. b) Vérifier : appliquer rigoureusement le théorème de Bolzano pour localiser avec certitude la racine dans l'un des deux sous-intervalles précédents. Pour cela, énoncer ses hypothèses, évaluer $f$ au point milieu $x = 0,5$ et conclure en justifiant.
3. c) Évaluer si votre estimation initiale coïncide avec le résultat obtenu et déterminer s'il est possible que la fonction ait plus d'une solution sur l'intervalle global $[0 ;\, 1]$ en étudiant le sens de variation de $f(x)$.

Soit la fonction $f(x)$ définie par morceaux par l'expression suivante :

1. a) Déterminer les valeurs des paramètres réels $a$ et $b$ pour que la fonction soit continue sur tout son ensemble de définition.

1. b) Dans le cas où $b=1$, classer le type de discontinuité que présente la fonction en $x=0$ selon la valeur de $a$.

Une équipe d'ingénieurs teste deux nouveaux modèles de drones de surveillance, $D_1$ et $D_2$. La hauteur (en mètres) du drone $D_1$ par rapport au sol est donnée par la fonction $h_1(t) = t \cdot \ln(t+1)$, tandis que la hauteur du drone $D_2$ suit la fonction $h_2(t) = 10 \cdot e^{-t} + 5$, où $t$ est le temps en minutes écoulé depuis le décollage ($t \geq 0$).

Utiliser le théorème de Bolzano (des valeurs intermédiaires) pour démontrer qu'il existe un instant $t_0 \in [2 ; 5]$ où les deux drones se trouvent exactement à la même hauteur. Justifier précisément si l'on peut assurer, grâce au théorème de Weierstrass, que l'écart de hauteur entre les deux drones atteint un maximum sur cet intervalle de temps.

Considérer la famille de fonctions dépendant du paramètre $k \in \mathbb{R}$ :

Analyser et classer toutes les discontinuités de $f(x)$ selon les valeurs possibles de $k$. Indiquer précisément pour quelles valeurs de $k$ l'une des discontinuités est prolongeable par continuité et redéfinir la fonction en ce point pour qu'elle soit continue.

Démontrer, en justifiant, que l'équation $\sqrt{x^4 + 1} = 3x^2 \cdot \cos(x)$ admet au moins deux solutions réelles dans l'intervalle $[-\pi, \pi]$. Pour cela, définir une fonction auxiliaire adaptée et appliquer les théorèmes de continuité nécessaires. Peut-on affirmer que la fonction $g(x) = \frac{1}{\sqrt{x^4+1} - 3x^2\cos(x)}$ admet un maximum absolu sur l'intervalle $[0, \pi/4]$ ? Justifier la réponse à l'aide du théorème de Weierstrass.

Étudier la continuité de la fonction suivante sur son ensemble de définition :

Déterminer les points où la fonction présente des discontinuités et les classer. Examiner si la fonction vérifie les hypothèses du théorème de Bolzano sur l'intervalle $[0,5; 2]$ pour assurer l'existence d'une racine.

Soit la fonction $f(x) = |x^2 - 4| \cdot e^{-|x|}$. La figure montre sa courbe représentative comme support visuel.

1. a) Exprimer la fonction sans valeurs absolues, c'est-à-dire sous forme de fonction définie par morceaux.

1. b) Étudier sa continuité aux points où s'annulent les expressions placées entre valeurs absolues.

1. c) À l'aide du théorème de Weierstrass, démontrer que la fonction atteint un maximum absolu sur l'intervalle fermé $[-3 ; 3]$.

1. d) La fonction présente-t-elle une asymptote horizontale ? Relier ce fait au comportement de la fonction à long terme.

On considère une fonction continue $f:[0 ; 1] \to [0 ; 1]$. Autrement dit, l'ensemble de définition est l'intervalle $[0 ; 1]$ et toutes ses images sont aussi contenues dans $[0 ; 1]$.

Démontrer, à l'aide du théorème de Bolzano, qu'il existe au moins un point $c \in [0 ; 1]$ tel que $f(c) = c$ (un point fixe de la fonction). Indication : considérer la fonction auxiliaire $g(x) = f(x) - x$. Expliquer graphiquement ce que signifie ce résultat en termes d'intersection de la courbe de $f(x)$ avec la première bissectrice.

Soit la fonction $f(x) = \frac{1}{1 + 2^{1/x}}$. On demande :

1. Déterminer l'ensemble de définition de la fonction.

2. Calculer les limites à gauche et à droite au point où la fonction n'est pas définie.

3. Classer la discontinuité trouvée.

4. Est-il possible d'appliquer le théorème de Bolzano sur l'intervalle $[-1 ; 1]$ pour démontrer qu'il existe une valeur telle que $f(x) = 0,5$ ? Expliquer si le manque de continuité en un point invalide l'application du théorème, même si les valeurs aux extrémités laissent penser qu'une telle valeur devrait exister.

On souhaite démontrer que l'équation $\cos(x) = x^2 - 2$ admet au moins deux solutions réelles distinctes dans l'intervalle fermé $[-\pi ; \pi]$. Pour mener la démonstration, deux stratégies sont proposées :

• Méthode A : définir la fonction auxiliaire $h(x) = x^2 - 2 - \cos(x)$, analyser sa symétrie (parité) et appliquer le théorème de Bolzano sur des sous-intervalles adaptés de $[0 ; \pi]$ pour en déduire l'existence des deux solutions.

• Méthode B : essayer d'isoler algébriquement la variable $x$ par des transformations trigonométriques directes et la fonction réciproque $\arccos(x)$ afin de calculer les valeurs exactes des points d'intersection.

1. a) Comparer les deux méthodes en argumentant. Justifier pourquoi la méthode B est impraticable pour cette équation transcendante et expliquer les avantages de la méthode A.
2. b) Développer de façon complète et rigoureuse la méthode A : vérifier les hypothèses du théorème de Bolzano, choisir un sous-intervalle adapté dans $[0 ; \pi]$ où l'on observe le changement de signe et conclure pourquoi il existe nécessairement au moins deux racines symétriques dans $[-\pi ; \pi]$.

Pour approfondir la nécessité des hypothèses des théorèmes fondamentaux de la continuité, résoudre les questions de construction analytique suivantes :

1. a) Concevoir l'expression analytique d'une fonction $f:[0 ; 4] \to \mathbb{R}$ qui vérifie à la fois : $f(0) = -2$, $f(4) = 3$, $f(x) \neq 0$ pour tout $x \in [0 ; 4]$ (c'est-à-dire qu'elle n'a pas de racine dans l'intervalle) et qui présente une unique discontinuité en $x = 2$. Classer cette discontinuité et expliquer pourquoi l'absence de racines ne contredit pas le théorème de Bolzano.
2. b) Est-il possible de définir une fonction $g:[0 ; 4] \to \mathbb{R}$ sur ce même intervalle fermé borné qui n'atteigne ni maximum absolu ni minimum absolu ? Si vous pensez que c'est impossible, démontrer pourquoi ; si vous pensez que c'est possible, construire un exemple analytique explicite d'une telle fonction $g(x)$, calculer son ensemble image et expliquer quelle hypothèse du théorème de Weierstrass n'est pas vérifiée.

Défi du thème. Vers quoi converge l'incertitude ? Étudier la loi des grands nombres et la saturation de processus en modélisant un phénomène réel.

1. Recueil de données et suite : réaliser avec GeoGebra ou un tableur une simulation de $n=1000$ répétitions d'un événement aléatoire avec $p=0,5$ (ou télécharger les fréquences de jours de pluie sur le site de Météo-France). Générer la suite des fréquences $f_n$ et vérifier expérimentalement comment $\lim_{n \to \infty} f_n = p$, en reliant les suites à l'interprétation fréquentiste de la probabilité.

2. Modèle et asymptotes : concevoir une fonction continue par morceaux $P(t)$ qui modélise cette stabilisation au cours du temps. Étudier formellement sa continuité aux points de raccordement des morceaux et déterminer ses asymptotes horizontales et verticales, en tirant des conclusions sur le comportement à long terme ($t \to +\infty$).

3. Indéterminations et règle de L'Hôpital : étudier la vitesse de convergence en calculant la dérivée ou le taux de variation à l'aide d'une limite présentant une indétermination $\left[\frac{0}{0}\right]$. La résoudre en appliquant rigoureusement la règle de L'Hôpital afin d'obtenir des informations sur la croissance de la fonction.

Rendre un court compte rendu d'une page avec le lien vers votre fichier numérique et les développements algébriques.

Seront évalués :

• L'exactitude du calcul des limites et des indéterminations à l'aide de la règle de L'Hôpital.

• La justification analytique de la continuité en un point et la déduction des asymptotes.

• Le lien conceptuel entre la limite de la suite des fréquences et la probabilité théorique.

• La rigueur du compte rendu et l'usage approprié de GeoGebra ou du tableur.