Exercices: Intégration par parties

Pour s'initier à la méthode d'intégration par parties, il est essentiel de savoir choisir quelle fonction sera $u$ (celle que l'on dérive) et laquelle sera $dv$ (celle que l'on intègre). En utilisant la règle mnémotechnique ALPES (Arcs, Logarithmes, Polynômes, Exponentielles, Sinus/Cosinus), identifier $u$ et $dv$ pour résoudre l'intégrale indéfinie suivante, en appliquant la formule $\int u\,dv = u\cdot v - \int v\,du$ :

Déterminer une primitive de la fonction $f(x) = x \cdot \cos(x)$. Rappelez-vous qu'en appliquant la méthode d'intégration par parties, l'intégrale obtenue doit être plus simple que l'intégrale initiale.

Un classique de l'intégration par parties est la fonction logarithme, car elle n'a pas de primitive immédiate. Dans ce cas, on considère que la fonction est multipliée par $1$ (c'est-à-dire $dv = dx$).

Calculer l'intégrale indéfinie suivante :

Déterminer l'ensemble des primitives de la fonction suivante, en simplifiant le résultat final par factorisation si possible :

Déterminer les primitives de la fonction $g(x) = 2x \cdot \sin(x)$. Indiquer pas à pas votre choix pour $u$ et pour $dv$, ainsi que la différentielle de $u$ ($du$) et l'intégrale de $v$ ($v$) correspondantes.

Le rythme de croissance d'une population de bactéries en laboratoire suit la fonction marginale $B'(t) = \ln(2t)$, où $t$ est le temps en heures. Déterminer la fonction générale de la population $B(t)$ par intégration par parties.

Déterminer l'intégrale de la fonction $f(x) = 5 \ln(x)$ sur l'intervalle $[1 ; e]$.

Calculer l'aire du domaine plan délimité par la courbe $y = x \cdot e^{-x}$, l'axe des abscisses $OX$ et les droites verticales $x = 0$ et $x = 1$.

Pour calculer des primitives, reconnaître la structure de la fonction avant d'opérer évite d'appliquer inutilement des méthodes longues. Observer ces deux intégrales indéfinies :

1. a) Justifier de façon détaillée laquelle des deux intégrales est immédiate (ou calculable à l'aide de la dérivée d'une fonction composée) et laquelle nécessite obligatoirement la méthode d'intégration par parties.
2. b) Pour l'intégrale qui nécessite une intégration par parties, appliquer le critère de la règle ALPES (on choisit pour $u$ la fonction qui apparaît en premier dans la liste : Arcs, c'est-à-dire fonctions trigonométriques réciproques, Logarithmes, Polynômes, Exponentielles, Sinus et cosinus) pour justifier votre choix de $u$ et $dv$, puis déterminer l'ensemble de ses primitives.

Camille a tenté de calculer l'intégrale indéfinie $\int x \cdot \ln(x) \, dx$ lors d'un contrôle et a écrit le développement suivant :

« Étape 1 : Je choisis $u = x \implies du = dx$ et $dv = \ln(x) \, dx \implies v = \frac{1}{x}$.

Étape 2 : J'applique la formule : $\int x \cdot \ln(x) \, dx = x \cdot \frac{1}{x} - \int \frac{1}{x} \, dx = 1 - \ln|x| + C$ ».

1. a) Identifier et expliquer de façon argumentée les deux erreurs conceptuelles commises par Camille (l'une concernant la priorité de choix dans la règle ALPES et l'autre dans l'obtention de $v$ à partir de $dv$).
2. b) Résoudre correctement l'intégrale étape par étape en appliquant la méthode d'intégration par parties, puis vérifier votre résultat en dérivant la fonction obtenue.

Un influenceur connu a analysé la croissance de ses abonnés sur un nouveau réseau social. La vitesse de croissance instantanée (abonnés par jour) est donnée par la fonction $f(t) = (2t + 10) \cdot e^{0,1t}$, où $t$ est le temps en jours depuis le lancement de sa chaîne. Utiliser la méthode d'intégration par parties pour déterminer la fonction $S(t)$ qui représente le nombre total d'abonnés cumulés, sachant qu'au moment du lancement ($t = 0$) la chaîne comptait 500 abonnés.

Dans une étude de psychologie de l'apprentissage, on a établi que la capacité à retenir de nouveaux mots de vocabulaire dans une langue étrangère suit un rythme donné par la fonction $v(t) = t^2 \cdot \ln(t)$, où $t$ est le temps d'étude en heures ($t \geq 1$). Déterminer la primitive de cette fonction dont la courbe passe par le point $(1 ; 2)$.

Une entreprise de sonorisation conçoit un filtre pour égaliser des pistes audio. L'énergie dissipée par un composant sur un intervalle de temps se calcule par l'intégrale de la fonction $E(t) = x \cdot \cos(x)$. Déterminer la valeur exacte de l'aire délimitée par la courbe de la fonction $f(x) = x \cdot \cos(x)$, l'axe des abscisses et les droites verticales $x = 0$ et $x = \frac{\pi}{2}$.

Déterminer les primitives de la fonction $f(x) = \ln(3x + 2)$ en utilisant la méthode d'intégration par parties. Indice : on peut considérer que la fonction est multipliée par 1 pour choisir $u$ et $dv$.

Le bénéfice marginal d'une boutique de vêtements vintage (en centaines d'euros par mois) est défini par la fonction $B'(x) = x^2 \cdot e^{-x}$, où $x$ représente le nombre de mois depuis son ouverture. En appliquant la méthode d'intégration par parties autant de fois que nécessaire, déterminer l'expression du bénéfice total $B(x)$, sachant qu'à la fin du premier mois ($x = 1$) le bénéfice était nul.

Déterminer l'aire du domaine délimité par la courbe représentative de la fonction $f(x) = (x - 1) \cdot e^x$, l'axe $OX$ et les droites $x = 0$ et $x = 1$. Réaliser un petit schéma du domaine avant de calculer l'intégrale.

Le coût marginal de production d'une usine de trottinettes électriques est modélisé par la fonction $C'(x) = \frac{\ln(x)}{x^2}$ pour $x > 1$, où $x$ est le nombre d'unités produites en milliers. Déterminer la fonction de coût total $C(x)$ si les coûts fixes (coût lorsque $x = 1$) s'élèvent à 10 (en milliers d'euros).

Calculer l'intégrale indéfinie suivante, qui combine fonctions trigonométriques et polynomiales :

Veiller à simplifier au maximum le résultat final.

On souhaite calculer l'aire de la région du premier quadrant délimitée par la courbe $f(x) = x \cdot \ln(x)$, l'axe des abscisses $y = 0$ et les droites verticales $x = 1$ et $x = e$.

1. a) Avant d'intégrer, effectuer une estimation géométrique justifiée : majorer l'aire en calculant l'aire du rectangle circonscrit (de base $[1 ; e]$ et de hauteur $f(e)$) et celle du triangle joignant les points $(1 ; 0)$, $(e ; 0)$ et $(e ; f(e))$. Justifier laquelle des deux bornes est la plus précise et calculer sa valeur numérique approchée en prenant $e \approx 2,72$.
2. b) Déterminer la valeur exacte de l'aire en calculant l'intégrale $\int_1^e x \cdot \ln(x) \, dx$ par la méthode d'intégration par parties.
3. c) Exprimer la valeur exacte sous forme décimale avec deux décimales et vérifier si le résultat est cohérent avec votre estimation géométrique précédente.

L'INSEE enregistre l'évolution des dépenses commerciales pendant une campagne de dynamisation économique. Les analystes modélisent le taux de variation instantané des dépenses cumulées par la fonction :

où $t$ est le temps écoulé en mois depuis le lancement ($t \in [0 ; 6]$) et $g(t)$ est exprimé en milliers d'euros par mois.

1. a) En utilisant la méthode d'intégration par parties, déterminer la fonction $G(t)$ qui exprime la dépense totale cumulée au bout de $t$ mois, sachant qu'au début de la campagne ($t = 0$) la dépense cumulée imputable à celle-ci était de 0 euro.
2. b) Calculer la dépense totale cumulée au terme des 4 premiers mois de campagne ($t = 4$) et interpréter vers quelle valeur limite tendrait la dépense si la campagne se poursuivait indéfiniment ($t \to \infty$).

Déterminer la primitive de la fonction suivante dont la courbe passe par le point $(1, 2)$ :

Remarque : après avoir appliqué la formule d'intégration par parties, il se peut que vous deviez effectuer une division de polynômes ou un ajustement pour calculer l'intégrale obtenue.

Une entreprise de développement d'applications mobiles a constaté que le rythme de croissance du nombre de nouveaux utilisateurs de son dernier réseau social suit la fonction :

où $t$ représente le temps en mois depuis son lancement. Déterminer la fonction qui décrit le nombre total d'utilisateurs cumulés, sachant qu'au moment du lancement ($t=0$) l'application comptait $1000$ utilisateurs de la phase bêta.

Calculer la valeur de l'intégrale suivante en utilisant la méthode d'intégration par parties :

Déterminer l'aire du domaine plan délimité par la courbe représentative de la fonction $f(x) = (x-1) \cdot e^x$, l'axe des abscisses $OX$ et les droites verticales $x = 0$ et $x = 2$. Représenter la région colorée sur votre cahier avant d'effectuer le calcul.

Un ingénieur modélise la vitesse de vibration d'une structure soumise à des oscillations forcées par la fonction (en mètres par seconde) :

Déterminer les primitives de cette fonction. Remarquer que ce type d'intégrales est dit « cyclique » : en appliquant deux fois la méthode d'intégration par parties, l'intégrale initiale réapparaît dans le membre de droite de l'égalité.

Déterminer la primitive de la fonction $g(x) = \frac{\ln x}{x^3}$ sachant que sa courbe admet un point d'inflexion dont l'ordonnée $y$ est égale à $\frac{1}{4}$.

Résoudre l'intégrale suivante en utilisant d'abord un changement de variable, puis la méthode d'intégration par parties :

Suggestion : effectuer le changement $t = \sqrt{x}$. Ne pas oublier de calculer le nouveau différentiel $dx$ en fonction de $dt$.

Déterminer la valeur du paramètre réel $k > 0$ sachant que l'aire du domaine délimité par la courbe $f(x) = k \cdot x \cdot e^x$, l'axe $OX$ et les droites $x = 0$ et $x = 1$ est exactement égale à $5$ unités d'aire.

Le service financier d'une entreprise technologique estime que la fonction de recette marginale issue de la commercialisation de $x$ milliers de licences logicielles ($x \ge 1$) suit le modèle :

où $a$ et $b$ sont des paramètres réels constants. La formule complète n'est pas connue, mais un audit externe fournit deux données :

1. La dérivée de la recette marginale en $x = 1$ est $I''(1) = 3$.

2. L'augmentation de la recette totale lorsqu'on passe de 1 à $e$ milliers de licences, donnée par $\int_1^e I'(x) \, dx$, est exactement égale à $\frac{e^2 + 9}{4}$ dizaines de milliers d'euros.

1. a) Déduire en justifiant les valeurs des constantes $a$ et $b$. Pour cela, déterminer la dérivée de $I'(x)$ afin d'utiliser la première donnée, puis calculer l'intégrale en fonction des paramètres par intégration par parties afin d'utiliser la seconde donnée.
2. b) Une fois $a$ et $b$ obtenus, déterminer la fonction de recette totale $I(x)$ sachant que, pour le niveau de ventes de base, il n'y a pas de recette cumulée supplémentaire ($I(1) = 0$).

Dans une étude sur la répartition des revenus dans le secteur agroalimentaire, on modélise la courbe de Lorenz, $L(x)$, où $x \in [0\,;1]$ représente la proportion cumulée de bénéficiaires et $L(x) \in [0\,;1]$ la proportion cumulée du revenu qu'ils perçoivent :

1. a) Toute courbe de Lorenz doit vérifier par définition que $100\,\%$ des bénéficiaires cumulent $100\,\%$ du revenu, c'est-à-dire $L(1) = 1$. Déduire de cette condition la valeur du paramètre $a$ et vérifier si la courbe passe par l'origine $(0\,;0)$.
2. b) L'indice de Gini est donné par $I_G = 2 \int_0^1 (x - L(x)) \, dx$. Appliquer la méthode d'intégration par parties autant de fois que nécessaire pour calculer la valeur exacte de cet indice.
3. c) Sachant que $I_G = 0$ traduit une égalité parfaite de la répartition et que des valeurs supérieures à $0,40$ reflètent une forte concentration du revenu, donner une valeur approchée de votre résultat en prenant $e \approx 2,718$ et interpréter le niveau d'inégalité obtenu.