Exercices: Aire sous une courbe

On considère la fonction affine $f(x) = \frac{1}{2}x + 1$. On demande de calculer l'aire de la région colorée sur le graphique, délimitée par la courbe de la fonction, l'axe $OX$ et les droites verticales $x = 0$ et $x = 4$. Pour cela :

1. Calculer la valeur de l'aire à l'aide de formules géométriques élémentaires (aire d'un trapèze).

2. Calculer l'intégrale définie $\int_{0}^{4} (\frac{1}{2}x + 1) \, dx$ à l'aide d'une primitive et vérifier que les deux résultats coïncident.

Calculer la valeur de l'intégrale définie de la fonction polynôme $f(x) = 3x^2 - 2x + 5$ sur l'intervalle $[1, 2]$. Autrement dit, déterminer le résultat de :

Un tunnel de lavage pour voitures a une structure métallique dont la partie supérieure suit la forme de la parabole $f(x) = -x^2 + 4$. Calculer l'aire de la surface plane (frontale) délimitée par la structure parabolique et le sol (axe $OX$), sachant que les points d'appui au sol sont $x = -2$ et $x = 2$.

En physique, la distance parcourue par un objet peut se calculer comme l'aire sous la courbe d'un graphique vitesse-temps. Si une trottinette électrique se déplace à une vitesse constante de $v(t) = 12$ km/h pendant la première demi-heure ($t = 0,5$ h), écrire et calculer l'intégrale définie qui représente la distance parcourue pendant ce temps.

Déterminer l'aire du domaine plan délimité par la courbe de la fonction $f(x) = x^2 - 9$ et l'axe des abscisses ($OX$).

Utiliser les propriétés de l'intégrale définie pour résoudre le problème suivant :

Sachant que $\int_{1}^{4} f(x) \, dx = 7$ et que $\int_{4}^{6} f(x) \, dx = -3$, calculer en justifiant la valeur de :

1. $\int_{1}^{6} f(x) \, dx$

2. $\int_{4}^{1} 2 \cdot f(x) \, dx$

Calculer l'aire totale de la région comprise entre la droite $f(x) = x - 2$, l'axe $OX$ et les droites verticales $x = 0$ et $x = 3$.

Remarque : on observe que la fonction coupe l'axe $OX$ en un point situé dans l'intervalle donné ; il faudra donc découper le domaine en deux sous-aires.

Une agence de design graphique souhaite créer un logo comportant une forme courbe définie par $f(x) = \sqrt{x}$. Calculer l'aire de la partie du logo comprise entre cette courbe, l'axe $OX$ et la droite verticale $x = 9$.

Lucie doit calculer l'aire du domaine délimité par la courbe $f(x) = x^2 - 1$, l'axe des abscisses $OX$ et les droites verticales $x = 0$ et $x = 2$. Sur sa copie, elle écrit le développement suivant :

1. a) Sans faire de nouveau calcul, expliquer en détail l'erreur conceptuelle commise par Lucie à partir du signe de $f(x)$ sur l'intervalle $[0 ; 2]$, et expliquer pourquoi son résultat final est inférieur à l'aire réelle.
2. b) Corriger l'exercice en découpant correctement l'intervalle d'intégration et calculer la valeur exacte de l'aire.

On souhaite calculer l'aire du domaine fermé délimité par la parabole $f(x) = 4 - x^2$ et les demi-axes positifs du repère dans le premier quadrant.

1. a) Avant d'intégrer, estimer l'aire en l'encadrant entre deux figures géométriques élémentaires : le triangle rectangle de sommets $(0 ; 0)$, $(2 ; 0)$ et $(0 ; 4)$, et le rectangle circonscrit de dimensions $2 \times 4$. À partir de ces deux bornes, proposer une valeur numérique estimée de l'aire.
2. b) Calculer la valeur exacte de l'aire en calculant l'intégrale définie correspondante à l'aide d'une primitive.
3. c) Vérifier si la valeur exacte obtenue se situe entre les bornes établies à la question a) et déterminer l'erreur absolue commise par l'estimation initiale par rapport à la valeur réelle.

Calculer l'aire du domaine plan délimité par la courbe de la fonction $f(x) = -x^2 + 6x - 5$ et l'axe des abscisses $OX$. Représenter graphiquement le domaine avant de faire les calculs afin d'identifier les points d'intersection.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Déterminer l'aire de la région comprise entre la courbe $f(x) = x^3 - 4x$ et l'axe $OX$ sur l'intervalle $[-1, 2]$. La fonction pouvant changer de signe à l'intérieur de l'intervalle, il faudra découper l'intégrale si nécessaire.

Une agence de design graphique souhaite créer un logo contenant une forme de « vague ». Cette forme est définie par la fonction $f(x) = \sin(x) + 1$ sur l'intervalle $[0, \pi]$. Calculer l'aire totale de la figure délimitée par la courbe, l'axe $OX$ et les droites verticales $x = 0$ et $x = \pi$.

Déterminer l'aire du domaine délimité par la courbe de la fonction $f(x) = |x^2 - 1|$ et l'axe des abscisses entre $x = 0$ et $x = 2$. On rappelle que, par définition de la valeur absolue, la fonction est toujours positive ou nulle, mais que son expression change aux points où l'argument s'annule.

On considère la fonction $f(x) = x^2 - 2x + 2$. Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe de $f(x)$, l'axe $OX$, l'axe $OY$ et la tangente à la courbe au point d'abscisse $x = 3$.

Déterminer la valeur d'un paramètre positif $k$ sachant que l'aire de la région délimitée par la parabole $f(x) = kx^2$ et l'axe $OX$ entre $x = 0$ et $x = 3$ est exactement égale à $18$ unités d'aire.

Un architecte conçoit l'entrée d'un tunnel dont la section frontale peut être modélisée par la fonction $f(x) = 4 - \frac{1}{4}x^2$, où $x$ et $y$ sont exprimés en mètres. Le sol du tunnel coïncide avec l'axe $OX$. Calculer l'aire de la section transversale de l'entrée du tunnel.

Calculer l'aire du domaine délimité par la courbe $f(x) = \sqrt{x}$, l'axe $OX$ et la droite $y = -x + 6$ dans le premier quadrant. Aide : identifier d'abord le point d'intersection entre la courbe et la droite pour déterminer les bornes d'intégration.

On considère la famille de courbes donnée par $f_k(x) = kx - x^2$, où $k$ est un paramètre réel positif ($k > 0$).

1. a) Déterminer les points d'intersection de la courbe de $f_k$ avec l'axe $OX$ et déterminer, en fonction du paramètre $k$, l'expression de l'aire du domaine délimité par la courbe et cet axe.
2. b) Calculer la valeur de $k$ pour que l'aire de ce domaine soit exactement égale à $36\text{ u}^2$.
3. c) Pour la valeur de $k$ obtenue à la question précédente, on souhaite tracer une droite verticale d'équation $x = c$ (avec $0 < c < k$) qui partage le domaine en deux régions de même aire. Sans poser de nouvelle équation intégrale, déduire et justifier la valeur exacte de $c$ en s'appuyant sur les propriétés de symétrie de la fonction.

D'après les relevés de rayonnement solaire de Météo-France dans une station météorologique de Toulouse lors d'une journée de printemps dégagée, la puissance instantanée produite par une installation photovoltaïque est modélisée par la fonction :

où $P(t)$ représente la puissance en mégawatts ($\text{MW}$) et $t$ l'heure de la journée, mesurée dans l'intervalle $[0, 24]$.

1. a) Déterminer l'intervalle d'heures $[t_1, t_2]$ pendant lequel l'installation produit effectivement de l'énergie ($P(t) \ge 0$).
2. b) Sachant que l'énergie totale produite (en $\text{MWh}$) est égale à l'aire sous la courbe de puissance pendant les heures de production, calculer l'énergie totale produite au cours de cette journée.
3. c) Si l'énergie est rémunérée à un tarif fixe de $50\text{ €/MWh}$, déterminer le revenu de la journée. Expliquer pourquoi calculer l'énergie à l'aide de l'intégrale directe $\int_0^{24} P(t)\,dt$ aurait été une erreur de méthode.

Un architecte conçoit le profil latéral d'un nouveau gymnase. La structure principale suit la courbe de la fonction $f(x) = -x^2 + 6x$. Pour assurer la stabilité, il faut placer un renfort métallique qui suit la tangente à la courbe au point d'abscisse $x = 4$.

Calculer l'aire du domaine plan délimité par la courbe de la fonction $f(x)$, la tangente mentionnée et l'axe des ordonnées $(Oy)$.

On considère les fonctions $f(x) = e^x$ et $g(x) = e^{-x}$. Soit $R$ le domaine délimité par les courbes de ces deux fonctions et la droite verticale $x = k$ (où $k > 0$).

Déterminer la valeur du paramètre positif $k$ pour que l'aire de ce domaine soit exactement égale à $4$ unités d'aire.

On définit la fonction $f(x) = |x^2 - 4|$. On souhaite étudier la région du plan « emprisonnée » entre cette courbe et la droite horizontale $y = 5$.

Calculer l'aire du domaine délimité au-dessus par la droite $y = 5$ et en dessous par la courbe de la fonction $f(x)$. Remarque : tenir compte des points d'intersection et de la définition de la fonction avec valeur absolue pour découper l'intégrale si nécessaire.

Soit la fonction $f(x) = \ln(x)$. On demande :

1. Déterminer l'équation de la normale à la courbe de $f(x)$ au point $P(e\,;1)$.

2. Calculer l'aire du domaine plan délimité par la courbe $y = \ln(x)$, la normale trouvée à la question précédente et l'axe des abscisses $(Ox)$.

Un réservoir d'eau a une section transversale dont la base est l'axe $OX$ et dont la partie supérieure est définie par la fonction définie par morceaux :

$f(x) = \begin{cases} \sqrt{x+4} & \text{si } -4 \leq x < 0 \\ 2 \cos\left(\frac{\pi x}{4}\right) & \text{si } 0 \leq x \leq 2 \end{cases}$

Calculer l'aire totale de la section transversale du réservoir en calculant l'intégrale définie sur chaque intervalle.

Déterminer la valeur de la constante $a \in \mathbb{R}$ avec $a > 1$, sachant que l'aire du domaine délimité par la courbe $y = \frac{1}{x^2}$, l'axe $OX$ et les droites verticales $x = 1$ et $x = a$ est égale au double de l'aire du domaine délimité par la même courbe $y = \frac{1}{x^2}$, l'axe $OX$ et les droites $x = a$ et $x = a^2$.

Déterminer l'aire du domaine délimité par la courbe de la fonction $f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$ et la droite horizontale passant par le maximum local de cette fonction.

Aide : il faut d'abord localiser le maximum local à l'aide de la dérivée, déterminer l'ordonnée en ce point, puis déterminer les points d'intersection entre la courbe et la droite obtenue.

Soit $A$ le domaine du premier quadrant délimité par la parabole $y = x^2$ et la droite $y = 9$. Il existe une droite verticale d'équation $x = c$ (avec $0 < c < 3$) qui partage le domaine $A$ en deux sous-domaines de même aire.

Calculer la valeur exacte de la constante $c$.

Pour calculer l'aire du domaine délimité par la courbe de $f(x) = x^3 - 4x$, l'axe des abscisses $OX$ et les droites $x = -2$ et $x = 2$, trois camarades de classe proposent des stratégies différentes :

• Marc cherche les racines de $f(x)$ dans $[-2, 2]$ ($x = -2$, $x = 0$, $x = 2$), étudie le signe sur chaque sous-intervalle et écrit : $\text{Aire} = \left|\int_{-2}^0 f(x)\,dx\right| + \left|\int_0^2 f(x)\,dx\right|$.

• Sarah analyse d'abord les propriétés globales de $f(x)$, vérifie que c'est une fonction impaire et affirme que l'aire peut se calculer de façon plus directe et plus propre ainsi : $\text{Aire} = 2 \int_0^2 (-f(x))\,dx$.

• Louis affirme que, comme la définition générale de l'aire sous une courbe est $\int_{-2}^2 |f(x)|\,dx$, il suffit de trouver directement une primitive de $|x^3 - 4x|$ et d'appliquer la formule de Barrow entre $-2$ et $2$ sans découper en morceaux.

1. a) Évaluer la validité mathématique des trois méthodes : expliquer pourquoi l'approche de Louis n'est pas opérationnelle en pratique, et calculer l'aire exacte avec la méthode de Marc puis avec celle de Sarah pour vérifier que les deux sont correctes.
2. b) Justifier laquelle des deux méthodes valides est la plus efficace et minimise le risque d'erreurs de signe dans le calcul avec une primitive.
3. c) On translate maintenant verticalement la courbe en considérant la fonction $g(x) = x^3 - 4x + 1$ : justifier si l'on pourrait encore appliquer le raccourci de symétrie de Sarah pour calculer l'aire entre la courbe $g(x)$ et l'axe $OX$ sur l'intervalle $[-2, 2]$.

On considère la fonction $f_m(x) = x^2 - m^2$, où $m > 0$ est un paramètre réel constant. On souhaite étudier l'aire $A(m)$ du domaine plan délimité par la courbe de $f_m(x)$, l'axe $OX$ et les droites verticales fixes $x = 0$ et $x = 2$.

1. a) Remarquer que la position de la racine positive de la fonction par rapport à l'intervalle $[0 ; 2]$ dépend de la valeur de $m$. Déduire en justifiant l'expression de la fonction aire $A(m)$ en distinguant deux cas : lorsque $m \ge 2$ et lorsque $0 < m < 2$.
2. b) Montrer que la fonction $A(m)$ obtenue est continue au point charnière $m = 2$.
3. c) Déterminer la valeur exacte de $m \in ]0 ; 2[$ pour laquelle l'aire du domaine est exactement égale à $2\text{ u}^2$.