Exercices: Applications de l'intégrale

Calculer la valeur de l'intégrale suivante à l'aide d'une primitive :

Soit la fonction définie par une intégrale $F(x) = \int_{0}^{x} \sqrt{t^2 + 9} \, dt$. Utiliser le théorème fondamental de l'analyse pour déterminer la valeur de sa dérivée au point $x = 4$, c'est-à-dire calculer $F'(4)$.

Un graphiste trace le contour d'un logo qui suit la courbe $f(x) = e^x$. Calculer l'aire du domaine situé sous cette courbe, au-dessus de l'axe $OX$ et entre les droites verticales $x = 0$ et $x = \ln(3)$.

Calculer l'aire du domaine plan délimité par la parabole $f(x) = x^2 - 4x + 3$ et l'axe des abscisses ($OX$). Remarque : pensez à déterminer d'abord les points d'intersection de la fonction avec l'axe.

Sans calculer de primitive, justifier à l'aide des propriétés de l'intégrale pourquoi la valeur de l'intégrale suivante est égale à $0$ :

Déterminer l'aire du domaine compris entre les courbes représentatives des fonctions $f(x) = 6 - x^2$ et $g(x) = 2$.

La vitesse d'une voiture télécommandée (en $m/s$) est donnée par la fonction $v(t) = 2t + 1$. Déterminer la distance totale parcourue par la voiture entre les instants $t = 1$ s et $t = 4$ s en calculant l'intégrale de la vitesse.

Une entreprise de composants électroniques a établi que le coût marginal de production de $x$ unités d'un capteur est de $C'(x) = 3x^2 - 12x + 15$ euros par unité. Calculer l'augmentation totale du coût lorsque la production passe de $10$ à $20$ capteurs.

Pour calculer l'aire du domaine fermé délimité par la courbe représentative de la fonction $f(x) = x^3 - 4x$ et l'axe des abscisses sur l'intervalle $[-2, 2]$, Marc a écrit ceci dans sa copie :

Il en conclut que l'aire du domaine est nulle.

1. a) Expliquer de façon argumentée l'erreur conceptuelle commise par Marc. Pourquoi l'intégrale est-elle nulle alors que le domaine a une aire géométrique non nulle ?
2. b) Corriger sa résolution : déterminer les points d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses, écrire correctement les intégrales permettant de calculer l'aire réelle et en déterminer la valeur exacte à l'aide d'une primitive.

On souhaite calculer l'aire du domaine borné délimité par la parabole $f(x) = 3x - x^2$ et l'axe des abscisses ($y = 0$).

1. a) Avant de calculer la moindre intégrale, estimer cette aire en l'encadrant entre deux valeurs numériques :

• Obtenir un majorant en calculant l'aire du rectangle qui circonscrit exactement le domaine (sa base est le segment entre les points d'intersection avec l'axe $X$ et sa hauteur est l'ordonnée du sommet de la parabole).

• Obtenir un minorant en calculant l'aire du triangle isocèle inscrit qui a pour base ce segment de l'axe $X$ et pour sommet supérieur le sommet de la parabole.

1. b) Calculer maintenant la valeur exacte de l'aire à l'aide d'une primitive.
2. c) Vérifier si le résultat exact obtenu appartient à l'intervalle d'encadrement de la question a) et justifier si votre estimation était raisonnable.

Calculer l'aire du domaine plan borné limité par les courbes des fonctions $f(x) = -x^2 + 5x$ et $g(x) = x + 2$. Représenter graphiquement le domaine avant d'effectuer le calcul.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Soit la fonction $F(x)$ définie par l'intégrale suivante :

$F(x) = \int_{2}^{x^2-1} \frac{\ln(t)}{t} dt$

Déterminer l'équation de la tangente à la courbe de $F(x)$ au point d'abscisse $x = \sqrt{3}$.

Un studio de design conçoit le logo d'une nouvelle entreprise de technologie. La base du logo est délimitée par la fonction $f(x) = x^3 - 4x$ et l'axe des abscisses $OX$. Calculer l'aire totale des deux régions fermées que forme la courbe avec l'axe.

Déterminer la valeur du paramètre positif $k > 0$ pour que l'aire du domaine limité par la parabole $y = kx^2$ et la droite $y = 4$ soit exactement de $16$ unités d'aire.

Déterminer l'aire du domaine limité par la courbe $f(x) = x^2 - 4x + 5$, la tangente à cette courbe au point $(3 ; f(3))$ et l'axe des ordonnées $OY$.

Calculer l'aire de la région du premier quadrant délimitée par la courbe de $f(x) = \frac{8}{x}$, la droite $y = x$ et la droite $y = 4$.

Un véhicule autonome se déplace en ligne droite et sa vitesse (en m/s) est donnée par la fonction $v(t) = t^2 - 6t + 8$, où $t$ est le temps en secondes. Calculer la distance totale parcourue par le véhicule entre l'instant $t = 0$ et $t = 5$. Remarque : la distance est l'intégrale de la valeur absolue de la vitesse.

On considère le domaine limité par les courbes $y = e^x$, $y = e^{-x}$ et la droite verticale $x = \ln(2)$.

1. a) Dessiner un schéma du domaine.

1. b) Calculer l'aire de ce domaine.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Lors d'un épisode pluvieux enregistré par Météo-France dans un bassin du sud-est, le débit d'eau entrant dans une retenue durant les $8$ premières heures de l'épisode ($0 \le t \le 8$) est modélisé par la fonction :

où $t$ est mesuré en heures et $c(t)$ en milliers de mètres cubes par heure ($10^3\text{ m}^3/\text{h}$). Simultanément, le barrage maintient un débit de vidange constant de $22$ milliers de mètres cubes par heure afin d'éviter les débordements.

1. a) Écrire la fonction $r(t) = c(t) - 22$, qui représente le rythme net de variation du volume de la retenue, et déterminer en justifiant à quel instant $t \in [0 ; 8]$ le volume d'eau stockée atteint son maximum local durant l'épisode. Justifier la réponse à l'aide de la dérivée de la fonction de volume accumulé.
2. b) Sachant qu'au début de l'épisode ($t = 0$) la retenue contenait une réserve de $500$ milliers de mètres cubes d'eau, calculer à l'aide d'une intégrale le volume total exact stocké à l'instant de stockage maximal trouvé à la question précédente.

On considère la parabole $f(x) = 4x - x^2$ et le faisceau de droites passant par l'origine du repère, d'équation $y = mx$, où $m$ est un paramètre réel tel que $0 < m < 4$.

1. a) Déterminer, en fonction de $m$, les points d'intersection entre la droite et la parabole, et justifier laquelle des deux courbes est située au-dessus de l'autre sur l'intervalle ouvert compris entre ces points.
2. b) Exprimer à l'aide d'une intégrale l'aire de la région délimitée par les deux courbes et démontrer, à l'aide d'une primitive, que cette aire est donnée par l'expression :

1. c) Poser et résoudre le problème inverse : déterminer en justifiant la valeur exacte que doit prendre le coefficient directeur $m$ pour que l'aire de la région délimitée soit exactement égale à $4,5\text{ u}^2$.

Soit la fonction $f(x)$ définie par l'expression suivante faisant intervenir une intégrale :

$F(x) = \int_{0}^{x^2} \frac{t-1}{2+e^t} dt$

On demande de déterminer en justifiant :

1. a) Les intervalles de croissance et de décroissance de $F(x)$ sur tout son ensemble de définition.
2. b) L'abscisse des points où $F(x)$ atteint ses extremums locaux, en les classant en maximums ou minimums.
3. c) La fonction $F(x)$ présente-t-elle un point d'inflexion sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$ ? Justifier la réponse à l'aide de la dérivée seconde.

Une équipe d'ingénieurs conçoit l'arche d'entrée d'un tunnel technologique. La forme de l'arche supérieure est donnée par la fonction $f(x) = 4 - x^2$ pour $x \in [-2, 2]$. Pour renforcer la structure, on doit tracer une droite $y = k$ (où $0 < k < 4$) de telle manière que l'aire de la section supérieure (au-dessus de la droite de renfort) soit exactement le double de l'aire de la section inférieure (entre la droite de renfort et le sol, situé sur l'axe $OX$).

Calculer la valeur exacte de la constante $k$ qui vérifie cette condition.

On considère la région du plan $R$ limitée par la courbe $y = \ln(x)$, la tangente à cette courbe au point d'abscisse $x = e$, et l'axe des abscisses $OX$.

1. a) Déterminer l'équation de la tangente mentionnée.
2. b) Calculer l'aire du domaine $R$.
3. c) Calculer le volume du solide de révolution engendré par la rotation du domaine $R$ autour de l'axe $OX$.

Un drone de surveillance se déplace en ligne droite. Sa vitesse en mètres par seconde est donnée par la fonction avec valeur absolue :

$v(t) = |t^2 - 6t + 5|$ pour $t \in [0 ; 6]$ secondes.

1. a) Déterminer la distance totale parcourue par le drone pendant les 6 premières secondes.
2. b) Calculer la valeur du temps $T \in ]0 ; 6[$ telle que la distance parcourue sur l'intervalle $[0 ; T]$ soit exactement la moitié de la distance totale calculée à la question précédente.

On souhaite fabriquer une pièce métallique dont la section transversale est délimitée par les courbes $y = \sqrt{x}$, $y = x - 2$ et l'axe des ordonnées $OY$.

1. a) Représenter graphiquement le domaine et déterminer ses points d'intersection.

1. b) Calculer l'aire de cette section.

1. c) Si la pièce est obtenue par rotation de ce domaine autour de l'axe des ordonnées $OY$, écrire (sans calculer) l'intégrale ou la somme d'intégrales qui donnerait le volume de la pièce.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Calculer la valeur de la limite suivante en appliquant le théorème fondamental de l'analyse et la règle de L'Hôpital :

$\lim_{x \to 0} \frac{x \cdot \int_{0}^{x} e^{-t^2} dt}{1 - \cos(x^2)}$

Indiquer en détail les étapes suivies et les hypothèses nécessaires à l'application de chaque théorème.

Soit la fonction $f(x) = \frac{x^2}{x^2 + 1}$. On considère le domaine limité par la courbe de $f(x)$, son asymptote horizontale et les droites verticales $x = -1$ et $x = 1$.

1. a) Identifier l'équation de l'asymptote horizontale de la fonction.
2. b) Calculer l'aire de ce domaine.
3. c) Déterminer le volume du solide engendré par la rotation de ce domaine autour de son asymptote horizontale.

(Aide : effectuer un changement de variable ou une translation pour faciliter le calcul du volume.)

Une entreprise de design graphique crée un logo ayant la forme du domaine limité par les courbes des fonctions $f(x) = \sin(x)$ et $g(x) = \cos(x)$ et par les droites verticales $x = 0$ et $x = \pi$ (c'est-à-dire sur l'intervalle $x \in [0 ; \pi]$). La figure montre les deux courbes et le logo colorié.

1. a) Déterminer les points d'intersection des deux fonctions sur cet intervalle.

1. b) Le logo est divisé en deux régions par l'axe des abscisses $OX$. Calculer l'aire de la région du logo située au-dessus de l'axe $OX$.

1. c) Justifier si le logo complet (le domaine entre les deux courbes sur $[0 ; \pi]$) est symétrique par rapport à une droite verticale $x = a$ avec $a \in [0 ; \pi]$.

On souhaite calculer l'aire du domaine plan borné situé dans le premier quadrant, délimité conjointement par la courbe $y = x^2$, la droite $y = 2 - x$ et l'axe des abscisses ($y = 0$).

1. a) Concevoir et décrire deux stratégies analytiques différentes pour calculer cette aire :

• Méthode 1 (intégration par rapport à la variable $x$) : déterminer les points d'intersection et les intervalles nécessaires, en exprimant l'aire comme somme d'intégrales par rapport à $x$.

• Méthode 2 (intégration par rapport à la variable $y$) : exprimer la variable $x$ en fonction de $y$ dans chaque équation et exprimer l'aire totale comme une unique intégrale par rapport à la variable $y$.

1. b) Comparer les deux méthodes et justifier laquelle est la plus avantageuse en termes d'économie de calcul et de moindre risque d'erreurs algébriques.
2. c) Appliquer la méthode jugée optimale (ou combiner l'intégration et la géométrie élémentaire sur le tronçon linéaire) pour obtenir la valeur exacte de l'aire du domaine.

Dans un projet d'ingénierie hydraulique visant à moderniser un réseau d'irrigation dans le bassin de la Loire, on prévoit un canal dont la section transversale a un profil parabolique symétrique par rapport à l'axe vertical, modélisé par la fonction $y = ax^2$ (avec $a > 0$, où $x$ et $y$ sont mesurés en mètres). Le niveau maximal de l'eau est fixé par une droite horizontale à une profondeur $y = h$ (avec $h > 0$). La conception doit satisfaire simultanément deux exigences techniques :

1. La largeur du miroir d'eau supérieur (distance entre les deux rives à la hauteur $y = h$) doit être exactement de $6\text{ m}$.

2. L'aire de la section mouillée transversale (la surface comprise entre la parabole et la surface libre $y = h$) doit être de $12\text{ m}^2$ afin d'assurer le débit de conception.

1. a) À partir de la première exigence technique, obtenir une relation mathématique simple exprimant la profondeur $h$ en fonction du paramètre de courbure $a$.
2. b) Écrire l'intégrale qui permet de calculer l'aire de la section mouillée et en obtenir la valeur en fonction de $a$ et $h$ à l'aide d'une primitive.
3. c) Déterminer les valeurs exactes de la profondeur $h$ et du paramètre $a$ qui vérifient les deux spécifications du projet.
4. d) Raisonnement de conception : si, à la suite d'une augmentation exceptionnelle du débit, la hauteur d'eau double et atteint un niveau $H = 2h$, raisonner analytiquement (en s'appuyant sur les propriétés de l'intégrale et sans tout recalculer numériquement depuis le début) pour déterminer si l'aire de la section mouillée sera doublée, plus que doublée ou moins que doublée.