Exercices: Sans ordre

Un tournoi d'échecs réunit $14$ joueurs. Si chaque joueur doit affronter une seule fois tous les autres, déterminer le nombre total de parties qui seront disputées pendant le tournoi.

Pour préparer une salade, vous disposez de $8$ ingrédients différents (laitue, tomate, carotte, oignon, concombre, thon, maïs et olives). Calculer combien de salades différentes de $4$ ingrédients vous pouvez préparer.

Un examen comporte $10$ questions. Le professeur indique que les élèves doivent choisir et traiter seulement $6$ d'entre elles. Déterminer de combien de façons différentes un élève peut choisir les questions à traiter.

Lors d'une réunion de travail, il y a $12$ personnes. À la fin, chacun dit au revoir en serrant la main des autres une seule fois. Calculer le nombre total de poignées de main échangées.

Déterminer la valeur de $x$ dans l'égalité suivante entre coefficients binomiaux, sachant que $x \neq 4$ :

$\binom{x}{4} = \binom{x}{7}$

Calculer la valeur de l'expression suivante en utilisant les propriétés des coefficients binomiaux :

$\binom{8}{3} + \binom{8}{4}$

Dans un jeu de $40$ cartes, on tire simultanément et au hasard $3$ cartes. Déterminer combien de résultats différents on peut obtenir.

On marque $7$ points sur un cercle. Calculer combien de segments différents on peut tracer en reliant deux de ces points.

Pour le cours de français de seconde, l'équipe pédagogique propose une liste de 7 lectures recommandées, parmi lesquelles chaque élève doit en choisir 3 pour réaliser un travail pendant le trimestre. Sergio affirme avec assurance : « Pour choisir le premier livre, j'ai 7 possibilités ; pour le deuxième, 6 ; et pour le troisième, 5. Donc il y a en tout $7 \cdot 6 \cdot 5 = 210$ façons possibles de choisir mes 3 lectures ».

1. a) Identifier l'erreur de raisonnement commise par Sergio et expliquer pourquoi son calcul donne un nombre beaucoup plus grand que le nombre réel de choix.
2. b) Combien de fois Sergio compte-t-il chaque groupe possible de 3 livres ? Relier la réponse aux permutations de ces 3 éléments.
3. c) Écrire la formule correcte avec la notation du coefficient binomial $\binom{n}{k}$ et calculer combien de sélections différentes de 3 livres on peut réellement faire.

Dans une classe de 24 élèves de seconde, il faut élire une délégation de vie scolaire formée de 2 représentants pour assister aux réunions de l'établissement.

1. a) Avant d'appliquer une formule, faire une estimation argumentée sans calcul détaillé : pensez-vous que le nombre de binômes possibles sera de l'ordre des dizaines, des centaines ou des milliers ? Argumenter en réfléchissant aux possibilités qu'a chaque élève.
2. b) Modéliser la situation à l'aide du coefficient binomial adéquat, effectuer le calcul et vérifier si l'estimation initiale était correcte.
3. c) À partir de la propriété de symétrie des coefficients binomiaux $\binom{n}{k} = \binom{n}{n-k}$, expliquer pourquoi choisir les 2 représentants de la délégation équivaut mathématiquement à choisir les 22 élèves qui restent à l'écart, sans avoir à calculer d'autres factorielles.

Une entreprise doit former une équipe de projet composée de $3$ ingénieurs et $2$ économistes. Si l'effectif compte $8$ ingénieurs et $5$ économistes disponibles, calculer combien d'équipes différentes on peut former.

Une pâtisserie vend $6$ types de gâteaux différents. Déterminer de combien de façons différentes on peut acheter $4$ gâteaux, sachant qu'on peut en choisir plusieurs du même type.

Calculer le nombre total de diagonales que l'on peut tracer dans un polygone régulier à $10$ côtés (décagone).

Résoudre l'équation suivante pour trouver la valeur de l'entier naturel $n$ :

$\binom{n}{2} = 45$

On tire simultanément $5$ cartes dans un jeu espagnol de $40$ cartes (réparties en $4$ couleurs de $10$ cartes chacune). Déterminer dans combien de résultats possibles il y a exactement $3$ cartes de la couleur « oros » (les deniers, l'une des $4$ couleurs du jeu espagnol).

Un robot se déplace sur un quadrillage du point $A$ au point $B$. Il ne peut effectuer que des déplacements vers la droite ou vers le haut, en avançant d'une intersection à chaque pas. Calculer le nombre de trajets différents qu'il peut suivre.

Vous disposez de $8$ billets identiques pour un concert et vous voulez les répartir entre vos $4$ meilleurs amis. Calculer de combien de façons vous pouvez les distribuer, sachant qu'un ami peut recevoir plusieurs billets, voire aucun.

Dans un questionnaire de $12$ questions, vous devez obligatoirement en traiter $8$ au total. Cependant, les $3$ premières questions sont obligatoires. Déterminer de combien de façons différentes vous pouvez compléter votre sélection de questions.

Lors d'un tournoi régional de padel fédéral en Centre-Val de Loire, la phase préliminaire se joue par poules indépendantes. Dans chaque poule, toutes les paires inscrites jouent exactement un match contre chacune des autres paires de la même poule (système de championnat à un seul tour). À la clôture de la feuille de la phase préliminaire, l'organisation confirme que dans la poule A, exactement 45 matchs ont été disputés au total.

1. a) Écrire une équation combinatoire avec la notation $\binom{n}{k}$ où intervient le nombre inconnu $n$ de paires inscrites dans la poule A.
2. b) Développer algébriquement le coefficient binomial pour transformer l'égalité en une équation du second degré sous forme générale.
3. c) Résoudre l'équation, analyser les deux solutions obtenues en écartant avec justification celle qui n'a pas de sens dans ce contexte, et indiquer combien de paires participaient à cette poule.

Météo-France va auditer la maintenance d'un réseau de stations météorologiques automatiques dans les Alpes et sur le littoral méditerranéen. Elle dispose de 9 stations situées en zone de montagne et de 6 stations en zone littorale. Le protocole technique prévoit de sélectionner un échantillon de 6 stations composé obligatoirement de 4 stations de montagne et de 2 stations littorales.

1. a) Justifier mathématiquement pourquoi la sélection de chaque catégorie doit être modélisée par des combinaisons sans répétition et non par des arrangements ou des permutations.
2. b) Appliquer le principe multiplicatif du dénombrement pour calculer combien d'échantillons différents de 6 stations on peut constituer en respectant le quota fixé.
3. c) Si, pour des raisons techniques, on décide que la station de montagne située au Mont Blanc doit obligatoirement faire partie de l'échantillon, calculer combien d'échantillons différents de 6 stations (4 de montagne et 2 littorales) on peut maintenant sélectionner.

Un hôpital doit former une équipe de garde de nuit de $5$ personnes, choisies dans un groupe de $7$ médecins et $6$ infirmiers. Calculer combien d'équipes différentes on peut former si la réglementation exige que l'équipe compte au moins $3$ médecins.

Dans un quadrillage formé de $9$ points répartis sur $3$ lignes et $3$ colonnes, déterminer combien de triangles différents on peut former en utilisant ces points comme sommets. Attention : trois points alignés ne forment pas un triangle.

Trouver la valeur de $x$ qui vérifie l'équation combinatoire suivante :

$\binom{x}{2} + \binom{x-1}{2} = 25$

Le jeu du Loto consiste à choisir $6$ numéros parmi $49$. Si l'on connaît déjà la combinaison gagnante de $6$ numéros, calculer combien de grilles différentes parmi les grilles possibles obtiendraient exactement $4$ bons numéros.

Un robot se déplace sur un quadrillage du nœud $A$ au nœud $B$, en se déplaçant uniquement vers la droite et vers le haut. Il doit obligatoirement passer par le nœud $C$ pour récupérer un colis. Déterminer combien de trajets valides existent.

Un glacier propose $5$ parfums différents. Vous voulez acheter $8$ pots de glace pour une fête, mais vous tenez à prendre au moins un pot de chacun des $5$ parfums. Calculer de combien de façons différentes vous pouvez passer votre commande.

Une urne contient $6$ boules rouges, $5$ boules bleues et $4$ boules vertes. On tire $4$ boules simultanément. Calculer combien de résultats différents contiennent exactement $2$ boules rouges et au moins $1$ boule bleue.

Le jeu de dominos traditionnel va jusqu'au double-six (les points vont de $0$ à $6$). Un fabricant décide de créer un « super domino » qui va jusqu'au double-neuf (les points vont de $0$ à $9$). Calculer combien de dominos comptera au total ce nouveau jeu et combien d'entre eux ne seront pas des doubles.

Un jury médical chargé de l'évaluation des épreuves de l'internat de médecine au ministère de la Santé doit être formé de 6 personnes, choisies dans une équipe composée de 4 spécialistes en médecine générale et de 7 spécialistes en médecine interne. La réglementation exige que le jury comporte au moins un spécialiste en médecine générale.

Deux membres du comité proposent des méthodes différentes pour calculer le nombre de jurys valides :

• Méthode 1 (directe) : diviser le problème en cas disjoints selon le nombre de médecins généralistes (1, 2, 3 ou 4), calculer les combinaisons de chaque cas en multipliant par les internistes nécessaires, puis additionner tous les résultats.

• Méthode 2 (par complémentaire) : calculer tous les jurys possibles de 6 personnes que l'on peut former avec les 11 médecins disponibles sans aucune restriction, puis soustraire les jurys non valides (ceux où il n'y a aucun spécialiste en médecine générale).

1. a) Développer entièrement les deux méthodes en posant leurs coefficients binomiaux et vérifier numériquement qu'elles conduisent au même résultat.
2. b) Comparer de façon critique les deux méthodes : laquelle jugez-vous la plus efficace en temps et avec le moins de risque d'erreur de calcul en situation d'examen ? Justifier votre choix en analysant le nombre d'opérations de chacune.
3. c) Si la réglementation changeait et exigeait qu'il y ait « au moins 3 spécialistes en médecine générale » dans le jury, la méthode par complémentaire serait-elle encore plus courte que la méthode directe ? Justifier la réponse en raisonnant sur le nombre de cas favorables par rapport aux cas défavorables.

Dans le plan en damier du centre de Lyon, un livreur de colis à vélo doit aller du carrefour A au carrefour B. Pour optimiser son itinéraire, le livreur avance uniquement vers l'est ou vers le nord à chaque carrefour, ce qui demande un trajet exact de 5 pâtés de maisons vers l'est et 3 vers le nord (soit 8 pâtés de maisons au total).

1. a) Modéliser le trajet par du dénombrement : expliquer pourquoi tout itinéraire optimal de 8 pâtés de maisons revient à choisir les moments d'avancée dans l'une des deux directions, et calculer combien d'itinéraires différents relient A à B grâce à l'expression $\binom{m+p}{m}$.
2. b) La police municipale a fermé pour travaux le carrefour intermédiaire C, situé exactement à 2 pâtés de maisons à l'est et 1 au nord du point A. Modéliser combien des itinéraires possibles passeraient obligatoirement par le carrefour C et en déduire combien d'itinéraires alternatifs sans travaux restent disponibles pour le livreur.
3. c) On suppose que le livreur doit obligatoirement livrer un colis urgent au carrefour D (situé à 4 pâtés de maisons à l'est et 2 au nord de A) et que le carrefour C reste fermé. Poser et calculer l'expression combinatoire qui détermine combien d'itinéraires différents permettent d'aller de A à B en passant obligatoirement par D tout en évitant en permanence le carrefour fermé C.

Défi du thème. Comment l'ordre et la sélection influencent-ils la formation d'un comité de jeunes ? Concevoir une proposition mathématique fondée sur des données démographiques réelles.

1. Recueil de données : Aller sur le site de l'INSEE et repérer les $8$ prénoms les plus fréquents de votre département l'année de votre naissance.

2. Modélisation combinatoire : Avec ces $8$ prénoms comme candidats, calculer et justifier :

3. Élection d'un président, d'un secrétaire et d'un membre (postes différenciés où l'ordre compte) : arrangements $V_{8,3}$.

4. Commission de vie scolaire de $3$ membres identiques (regroupement sans ordre) : combinaisons $C_{8,3}$.

5. Positions possibles pour une photographie en rang des $8$ membres : permutations $P_8$.

6. Tableur et compte rendu : Concevoir un tableau dans un tableur qui calcule automatiquement $V_{n,3}$, $C_{n,3}$ et $P_n$ pour des valeurs de $n$ comprises entre $5$ et $12$. Rédiger un bref compte rendu expliquant pourquoi $C_{n,3}$ est toujours inférieur à $V_{n,3}$ et conseiller votre établissement sur le système (postes différenciés ou commission sans postes) le plus adapté, en expliquant pourquoi un plus grand nombre de configurations possibles n'implique pas à lui seul une plus grande diversité dans le comité.

Seront évalués :

• La rigueur dans le recueil des données de l'INSEE et l'exactitude du calcul combinatoire ($V$, $P$ et $C$).

• La bonne maîtrise du tableur pour automatiser les formules.

• Une argumentation claire sur le rôle de l'ordre dans la prise de décision.