Exercices: Opérations sur les nombres complexes sous forme algébrique

Effectuer les additions et soustractions suivantes de nombres complexes : étant donnés $z_1 = 3 - 4i$, $z_2 = -1 + 2i$ et $z_3 = 5i$, calculer sous forme algébrique le résultat de l'expression $z_1 - z_2 + z_3$.

Multiplier les nombres complexes suivants écrits sous forme algébrique et simplifier le résultat en regroupant la partie réelle et la partie imaginaire : $(2 + 5i)(-3 + i)$.

Effectuer la division de nombres complexes suivante en multipliant le numérateur et le dénominateur par le conjugué du dénominateur. Exprimer le résultat final sous la forme $a + bi$ :

$\frac{4 - 3i}{1 + 2i}$

Simplifier les puissances suivantes de l'unité imaginaire $i$ en appliquant la périodicité de leurs valeurs :

• $i^{45}$

• $i^{102}$

• $i^{2024}$

• $i^{-13}$

Étant donné le nombre complexe $z = -7 + 8i$, déterminer son conjugué $\bar{z}$ et son opposé $-z$. Effectuer ensuite l'opération $z + \bar{z}$ et vérifier algébriquement que le résultat est un nombre réel.

Résoudre l'équation du second degré suivante dans l'ensemble des nombres complexes $\mathbb{C}$ et donner ses deux solutions :

$x^2 + 25 = 0$

Déterminer les valeurs des nombres réels $x$ et $y$ pour que l'égalité suivante entre nombres complexes soit vérifiée :

$(x + 2) + (y - 3)i = 5 + 4i$

Calculer la valeur numérique du polynôme $P(z) = z^2 - 4z + 5$ lorsqu'on l'évalue en le nombre complexe $z = 2 + i$.

Lucas essaie de simplifier la fraction de nombres complexes $\dfrac{5+2i}{2-i}$ pour l'écrire sous forme algébrique. Dans son devoir, il écrit la démarche suivante :

1. a) Repérer, en justifiant, l'erreur conceptuelle commise par Lucas au dénominateur et expliquer pourquoi son calcul de $(2-i)(2+i)$ contredit la règle de multiplication par le conjugué.
2. b) Effectuer correctement l'opération et exprimer le résultat final sous la forme algébrique $a + bi$.

On cherche à construire un polynôme du second degré $P(x) = x^2 + bx + c$ à coefficients réels ($b, c \in \mathbb{R}$) dont l'une des racines est le nombre complexe $z_1 = 2 - 3i$.

1. a) Justifier, sans effectuer de calculs algébriques, quelle est nécessairement la seconde racine $z_2$ de ce polynôme, en s'appuyant sur les propriétés des équations à coefficients réels vues en cours.
2. b) Obtenir les valeurs exactes des coefficients $b$ et $c$ en développant le produit de facteurs $(x - z_1)(x - z_2)$ sous forme algébrique et en remplaçant $i^2 = -1$.

Dans un circuit électrique en courant alternatif, deux composants sont montés en parallèle. Leurs impédances complexes sont données par $Z_1 = 4 + 3i \ \Omega$ et $Z_2 = 2 - i \ \Omega$. Calculer l'impédance équivalente du circuit, sous forme algébrique, à l'aide de la formule physique :

$Z_{eq} = \frac{Z_1 \cdot Z_2}{Z_1 + Z_2}$

Déterminer la valeur du paramètre réel $k$ pour que le résultat du quotient suivant soit un nombre réel pur (c'est-à-dire que sa partie imaginaire soit nulle) :

$\frac{k + 2i}{3 - 4i}$

Dans le développement d'un jeu vidéo 2D, la position d'un personnage dans le plan est représentée par le nombre complexe $z = 5 + 2i$. Pour appliquer une rotation de $90^\circ$ dans le sens direct autour de l'origine, puis une translation de vecteur $(-1, 3)$, le moteur graphique effectue l'opération $z' = z \cdot i + (-1 + 3i)$. Calculer la nouvelle position $z'$ du personnage.

Développer et simplifier l'expression $(1 - i)^4$ en opérant exclusivement sous forme algébrique. Vous pouvez utiliser la formule du binôme de Newton ou appliquer les propriétés des puissances $( (1-i)^2 )^2$.

Dans l'étude de l'écoulement d'un fluide parfait autour d'un obstacle cylindrique, la fonction potentiel complexe est donnée par l'expression $W(z) = V \cdot z + \frac{m}{z}$. Sachant que la vitesse du fluide est $V = 2$ et que le paramètre vaut $m = 8$, évaluer le potentiel au point $z = 2 + 2i$. Exprimer le résultat final $W(2+2i)$ sous la forme $a + bi$.

Effectuer les opérations combinées suivantes en respectant les priorités opératoires et exprimer le résultat final sous forme algébrique :

$\frac{(3 - i)(1 + 2i)}{2 + i} - (1 - 3i)$

Déterminer la valeur du nombre réel $x$ pour que le produit des nombres complexes $(x - 3i)$ et $(2 + 5i)$ soit un imaginaire pur (c'est-à-dire de partie réelle nulle).

Dans un modèle mathématique simplifié de mécanique quantique, l'état d'une particule est décrit par l'amplitude de probabilité $\psi = \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}}i$. Vérifier si cet état satisfait la condition de normalisation, qui exige que le produit du nombre complexe par son conjugué soit exactement égal à 1 ($\psi \cdot \bar{\psi} = 1$).

Pour calculer sous forme algébrique l'inverse du nombre complexe $z = \dfrac{1+2i}{3-i}$, deux camarades de classe proposent des méthodes différentes :

• Alexandre propose de calculer d'abord la division $\dfrac{1+2i}{3-i}$ en multipliant par le conjugué du dénominateur puis, une fois le résultat $A + Bi$ obtenu, de calculer son inverse $\dfrac{1}{A+Bi}$ en multipliant à nouveau par son conjugué.

• Berthe propose d'inverser d'abord algébriquement la fraction, en écrivant $z^{-1} = \dfrac{3-i}{1+2i}$, puis de résoudre une unique division en multipliant par le conjugué de ce nouveau dénominateur.

1. a) Comparer les deux méthodes : justifier si elles sont toutes deux valides mathématiquement et laquelle minimise le nombre d'opérations et le risque d'erreur.
2. b) Appliquer la méthode choisie pour calculer $z^{-1}$ et exprimer le résultat sous la forme $a + bi$.

On considère la multiplication des nombres complexes $z_1 = 5 + 0,2i$ et $z_2 = 4 - 0,1i$.

1. a) Avant de calculer exactement, estimer en justifiant la valeur approchée de la partie réelle et de la partie imaginaire de $z_1 \cdot z_2$. Justifier cette estimation en analysant lesquels des quatre termes du produit développé $(ac - bd) + (ad + bc)i$ auront un impact significatif et lesquels seront presque négligeables.
2. b) Effectuer la multiplication complète sous forme algébrique en remplaçant $i^2 = -1$.
3. c) Comparer la valeur exacte à l'estimation initiale, calculer l'écart sur la partie réelle et expliquer dans quelles situations pratiques (comme des calculs avec des tolérances de mesure) il peut être acceptable de négliger le terme $-bd$.

Résoudre le système d'équations linéaires suivant, où les inconnues $z$ et $w$ sont des nombres complexes. Exprimer les deux solutions sous forme algébrique :

$\begin{cases} (1+i)z - w = 2 + i \\ 2z + (1-i)w = 3 - i \end{cases}$

Déterminer les nombres complexes $z = x + yi$ qui sont racines carrées du nombre complexe $-5 + 12i$. Pour cela, poser l'équation $(x + yi)^2 = -5 + 12i$, identifier les parties réelles et les parties imaginaires pour former un système d'équations non linéaire, et le résoudre dans $\mathbb{R}$.

Déterminer l'ensemble des points images des nombres complexes $z = x + yi$ tels que l'expression $\frac{z - 2}{z + i}$ soit un imaginaire pur (c'est-à-dire de partie réelle nulle et de partie imaginaire non nulle).

1. a) Obtenir l'équation de l'ensemble des points en fonction de $x$ et $y$.

1. b) Identifier la courbe : indiquer son centre et son rayon.

1. c) Indiquer quels points de cette courbe il faut exclure et pourquoi.

Démontrer algébriquement, en définissant les nombres complexes sous forme algébrique par $z = a + bi$ et $w = c + di$, que le conjugué du produit de deux nombres complexes est égal au produit de leurs conjugués. Autrement dit, prouver pas à pas que $\overline{z \cdot w} = \overline{z} \cdot \overline{w}$.

En théorie du contrôle des systèmes dynamiques, un système est considéré comme stable si toutes les racines de son polynôme caractéristique ont une partie réelle négative. Étant donnée l'équation caractéristique $z^3 - 4z^2 + 6z - 4 = 0$ :

1. Vérifier par substitution algébrique si $z_1 = 1 + i$ est solution de l'équation.

2. Sachant que les polynômes à coefficients réels ont des racines complexes conjuguées, déterminer les deux autres solutions de l'équation.

3. Conclure si le système décrit est stable ou instable.

Déterminer tous les nombres complexes $z$ qui vérifient l'équation non linéaire $z^2 + 3\bar{z} = 0$. Considérer $z = x + yi$ et résoudre le système obtenu en analysant les différents cas possibles pour $x$ et $y$.

Dans un algorithme de génération de fractales, la position de chaque nouveau nœud dans le plan complexe est calculée à partir de la somme de puissances consécutives. Calculer la position du nœud donnée par la somme des 10 premiers termes de la suite géométrique :

$S = \sum_{k=0}^{9} (1+i)^k$

Appliquer la formule de la somme des termes d'une suite géométrique et exprimer le résultat final sous forme algébrique.

Dans l'étude des fractales et de l'ensemble de Mandelbrot, on analyse le comportement de la suite itérative définie par $z_{n+1} = z_n^2 + c$, à partir de la condition initiale $z_0 = 0$. Pour la constante complexe $c = -1 + i$ :

1. Calculer les termes $z_1$, $z_2$ et $z_3$ en opérant sous forme algébrique.

2. Déterminer le module $|z_3|$ et vérifier s'il dépasse la valeur seuil d'échappement (c'est-à-dire si $|z_3| > 2$).

Dans un projet d'ingénierie industrielle sur une centrale photovoltaïque à Toulouse, deux branches sont montées en parallèle et leur impédance équivalente est donnée par $Z_p = \dfrac{Z_1 \cdot Z_2}{Z_1 + Z_2}$. La première branche présente une impédance $Z_1 = 3 + i\ \Omega$, tandis que la seconde a une impédance $Z_2 = R - 2i\ \Omega$, où $R > 0$ est une résistance ohmique réglable en ohms.

Les techniciens doivent régler $R$ pour que le circuit entre en résonance parallèle, ce qui signifie que l'impédance globale $Z_p$ doit être un nombre réel pur (sa partie imaginaire doit être nulle), afin d'éviter les déphasages entre la tension et le courant.

1. a) Développer l'expression de $Z_p$ sous forme algébrique en fonction du paramètre $R$, en multipliant le numérateur et le dénominateur par le conjugué approprié.
2. b) Égaler à zéro la partie imaginaire obtenue pour calculer la valeur exacte de la résistance $R$ à choisir.
3. c) Avec cette valeur de $R$, déterminer la valeur finale de la résistance équivalente $Z_p$ du circuit.

Une élève affirme en classe : « Comme, pour toute équation du second degré à solutions complexes, celles-ci vont par paires conjuguées, alors dans l'équation $x^2 - (3+i)x + (4+3i) = 0$, sachant qu'une solution est $x_1 = 1+2i$, l'autre solution est obligatoirement son conjugué $x_2 = 1-2i$ ».

1. a) Vérifier par substitution directe et calculs sous forme algébrique si $x_1 = 1+2i$ et son prétendu conjugué $1-2i$ vérifient l'équation du second degré donnée.
2. b) Expliquer l'erreur de raisonnement de l'élève : quelle condition indispensable, indiquée dans le cours, cette équation ne remplit-elle pas, empêchant d'appliquer la propriété des racines conjuguées ?
3. c) En utilisant les relations entre coefficients et racines pour la somme ($x_1 + x_2 = 3+i$), calculer la véritable seconde racine $x_2$ sous forme algébrique et vérifier que le produit $x_1 \cdot x_2$ coïncide avec le terme constant $4+3i$.