Exercices: Optimisation de fonctions

Déterminer deux nombres réels positifs dont la somme est exactement $60$ et dont le produit est le plus grand possible.

Sur la figure, le segment de longueur $60$ est partagé en deux parties, $x$ et $y$. Le point de partage est placé n'importe où : il n'indique pas la solution.

Un jeune éleveur dispose de $120$ mètres de clôture pour enclore un enclos rectangulaire destiné au pâturage. Comme l'un des côtés de l'enclos sera un mur en pierre déjà existant, il n'a besoin de clôturer que les trois autres côtés. Calculer les dimensions de l'enclos pour que l'aire enfermée soit maximale.

On lance verticalement vers le haut une petite sonde météorologique. La hauteur $h$ (en mètres) atteinte par la sonde en fonction du temps $t$ (en secondes) est donnée par l'expression $h(t) = -5t^2 + 40t + 1,5$.

À quel instant la sonde atteindra-t-elle sa hauteur maximale ? Quelle sera cette hauteur ?

Une entreprise technologique a déterminé que le bénéfice mensuel $B$ (en milliers d'euros) réalisé grâce à la vente d'un nouveau modèle d'écouteurs sans fil dépend du nombre d'unités fabriquées $x$ (en centaines) selon la fonction $B(x) = -2x^2 + 32x - 40$.

Déterminer le nombre d'unités à fabriquer chaque mois pour maximiser le bénéfice et calculer la valeur de ce bénéfice maximal.

Un studio de design graphique veut créer une carte de vœux rectangulaire contenant exactement $32 \text{ cm}^2$ de surface imprimée. Si l'on ne tient pas compte des marges, quelles doivent être les dimensions de la carte pour que le périmètre soit minimal et ainsi économiser sur la découpe du papier ?

Le nombre de « likes » d'une publication d'une célèbre « influenceuse » pendant les $10$ premières heures suit la fonction $L(t) = -t^3 + 12t^2 + 45t$, où $t$ est le temps écoulé en heures ($0 \le t \le 10$). Déterminer à quel moment la publication atteint son plus grand succès (nombre maximal de likes) et combien de likes elle obtient à cet instant.

On souhaite construire une boîte ouverte (sans couvercle) à partir d'une feuille de carton carrée de $30 \text{ cm}$ de côté. Pour cela, on découpe un carré de côté $x$ à chacun des coins et on replie les bords vers le haut. Exprimer le volume de la boîte en fonction de $x$ et déterminer la valeur de $x$ pour que le volume de la boîte soit maximal.

Décomposer le nombre $12$ en deux termes positifs dont la somme des carrés est minimale.

Marc doit résoudre le problème d'optimisation suivant : « On souhaite construire une boîte ouverte sans couvercle à partir d'une pièce carrée de carton de $30\text{ cm}$ de côté, en découpant quatre carrés identiques de côté $x$ à chacun des coins et en repliant les rabats vers le haut. Déterminer la valeur de $x$ qui maximise le volume de la boîte ».\nMarc écrit dans sa copie :\n1. Volume : $V(x) = x(30 - 2x)^2 = 4x^3 - 120x^2 + 900x$.\n2. Dérivée : $V'(x) = 12x^2 - 240x + 900 = 0 \implies x^2 - 20x + 75 = 0$, dont les solutions sont $x = 15$ et $x = 5$.\n3. Conclusion de Marc : « Le volume maximal est obtenu pour $x = 15\text{ cm}$ car $15 > 5$ ».\n\na) Identifier et expliquer les deux erreurs conceptuelles commises par Marc : l'une relative à l'ensemble de définition physique de la variable $x$ et l'autre relative au critère permettant de classer maximums et minimums avec la dérivée.\nb) Corriger l'exercice en suivant les cinq étapes : définir l'ensemble de définition physique admissible, classer correctement les points critiques à l'aide du signe de $V''(x)$ ou de $V'(x)$, puis calculer les dimensions de la boîte et son volume maximal.

Un agriculteur de la plaine de la Limagne dispose d'un mur de pierre rectiligne de $30\text{ m}$ de longueur et de $50\text{ m}$ de grillage métallique pour clôturer un potager rectangulaire. Il veut adosser le potager au mur existant, de sorte que le côté appuyé contre le mur ne nécessite pas de grillage, mais sa longueur $y$ ne peut pas dépasser les $30\text{ m}$ du mur disponible. Les trois autres côtés seront fermés avec les $50\text{ m}$ de grillage.\n\na) Estimer : Avant tout calcul analytique, répondre intuitivement : pensez-vous qu'il vaille mieux utiliser les $30\text{ m}$ entiers de mur pour « économiser » le plus de grillage possible, ou qu'il soit préférable de laisser une partie du mur libre pour obtenir une forme plus proche du carré ? Proposer une estimation raisonnée de l'aire maximale que vous espérez obtenir.\nb) Calculer : Exprimer l'aire de l'enclos $A(x)$ en fonction de la longueur $x$ des deux côtés perpendiculaires au mur. Déterminer l'ensemble de définition de la fonction en tenant compte de la contrainte physique du mur ($y = 50 - 2x \le 30$). Calculer la valeur de $x$ qui annule la dérivée première et la classer.\nc) Vérifier et réfléchir : Déterminer les dimensions optimales définitives et l'aire maximale. Comparer le résultat avec votre estimation initiale et expliquer pourquoi l'intuition consistant à utiliser toujours la totalité du mur disponible est trompeuse dans ce cas.

Un refuge pour animaux a reçu un don de $120$ mètres de grillage pour construire deux enclos rectangulaires contigus destinés aux chiens et aux chats. Les enclos doivent partager un côté commun, comme le montre la figure, afin d'utiliser au mieux le matériau. Déterminer les dimensions de la structure extérieure ($x$ et $y$) pour que l'aire totale enclose soit maximale.

Une plateforme de streaming analyse sa politique tarifaire pour une nouvelle offre premium. Actuellement, elle compte $10\,000$ abonnés qui paient $12$ € par mois. Une étude de marché indique que pour chaque euro de baisse du prix de l'abonnement, $1\,000$ nouveaux utilisateurs s'abonneront. À l'inverse, pour chaque euro d'augmentation du prix, $1\,000$ utilisateurs seront perdus. Sachant que les coûts fixes de maintenance sont de $20\,000$ € par mois et que chaque abonné génère un coût de gestion de $2$ €, quel prix d'abonnement mensuel maximisera le bénéfice net de la plateforme ?

Un studio de design graphique veut créer une boîte d'emballage promotionnelle à partir d'un carton carré de $24$ cm de côté. Pour cela, on découpe un carré de côté $x$ à chacun des coins et on replie les rabats vers le haut pour former une boîte sans couvercle. Déterminer la valeur de $x$ pour que la contenance de la boîte soit la plus grande possible.

Dans un jeu vidéo de stratégie, une unité d'exploration se trouve au point $A(0 ; 5)$ d'une carte munie d'un repère. Il existe un chemin dont la trajectoire a la forme de la parabole $y = x^2$. Les programmeurs doivent calculer les points exacts du chemin qui se trouvent à la distance minimale de l'unité afin de déclencher un événement de proximité. Déterminer les coordonnées de ces points.

Une entreprise chimique doit fabriquer des réservoirs cylindriques fermés d'une capacité de $16 \pi$ mètres cubes. Le matériau utilisé pour les bases (supérieure et inférieure) coûte $5$ € le mètre carré, tandis que le matériau de la surface latérale, plus léger, coûte $2$ € le mètre carré. Déterminer le rayon de la base et la hauteur du cylindre qui minimisent le coût total de fabrication de chaque réservoir.

On souhaite concevoir un panneau publicitaire en forme de triangle isocèle inscrit dans un demi-cercle de rayon $R = 6$ mètres. L'un de ses sommets est au centre $O$ du demi-cercle, et les deux autres sommets sont sur l'arc, reliés par une corde $b$ (la base) parallèle au diamètre. On note $h$ la hauteur du triangle, c'est-à-dire la distance de $O$ à la base, avec $0 < h < 6$.

Déterminer les dimensions du triangle (base et hauteur) pour que l'aire de la surface publicitaire soit maximale.

Une page d'un livre d'art doit avoir une aire totale de $600$ $cm^2$. Les marges haute et basse doivent mesurer $3$ cm chacune, et les marges latérales $2$ cm chacune. Déterminer les dimensions de la page (largeur et hauteur) pour que l'aire de la zone imprimée (où se trouvent le texte et les images) soit maximale.

Dans une menuiserie métallique, on doit découper une poutre en acier de section rectangulaire dans un tronc cylindrique de $40$ cm de diamètre. La résistance mécanique $R$ de cette poutre est proportionnelle au produit de la largeur $x$ par le carré de la hauteur $y$, c'est-à-dire $R = k \cdot x \cdot y^2$ (où $k$ est une constante de résistance du matériau). Déterminer les dimensions $x$ et $y$ que doit avoir la poutre pour que sa résistance soit maximale.

Une entreprise de logistique effectue un trajet quotidien aller-retour entre Paris et Bordeaux par l'autoroute A10, pour un parcours total de $640\text{ km}$. La vitesse moyenne de croisière $v$ (en $\text{km/h}$) doit être constante pendant le trajet et, en raison des limitations de circulation des véhicules utilitaires et de la fluidité de la voie, doit appartenir à l'intervalle $[70 ; 110]$.\nLa consommation de carburant de la camionnette (en litres de gazole pour $100\text{ km}$) dépend de la vitesse selon la fonction empirique $C(v) = 5,5 + 0,00075\cdot v^2$. Le prix du gazole sur le trajet est de $1,45\text{ \euro{}/L}$. De plus, l'entreprise compte un coût d'exploitation et de salaire du conducteur de $19\text{ \euro{}}$ par heure de trajet.\n\na) Modéliser la fonction de coût total du trajet, $K(v)$, en additionnant le coût du carburant consommé et le coût horaire de la main-d'œuvre en fonction de la vitesse $v$.\nb) Déterminer la vitesse moyenne qui minimise le coût total du trajet. Justifier rigoureusement qu'il s'agit d'un minimum local en étudiant le signe de la dérivée seconde $K''(v)$.\nc) Évaluer et comparer le coût total aux bornes de l'ensemble de définition légal ($v = 70\text{ km/h}$ et $v = 110\text{ km/h}$) par rapport au minimum trouvé, et donner le coût total optimal du trajet.

On souhaite déterminer le point $P(x ; y)$ de la parabole $y = x^2$ qui se trouve à la plus petite distance possible du point extérieur $A(0 ; 2)$. Pour cela, on envisage trois méthodes :\n- Méthode 1 : Écrire la distance euclidienne $d(x) = \sqrt{(x-0)^2 + (x^2-2)^2}$ et dériver directement la racine avec la formule de dérivation d'une composée.\n- Méthode 2 : Minimiser la fonction auxiliaire $f(x) = [d(x)]^2 = x^2 + (x^2-2)^2 = x^4 - 3x^2 + 4$.\n- Méthode 3 : Déterminer le point $P(x ; x^2)$ en imposant que le vecteur $\vec{AP} = (x ; x^2 - 2)$ soit orthogonal au vecteur directeur de la tangente à la parabole en $P$, c'est-à-dire $\vec{AP} \cdot (1 ; 2x) = 0$.\n\na) Justifier formellement pourquoi la méthode 2 conduit exactement aux mêmes points critiques et extremums que la méthode 1, en expliquant pourquoi elle est préférable sur le plan algébrique.\nb) Appliquer la méthode 2 pour déterminer les candidats au minimum, les classer à l'aide du signe de $f''(x)$ et écarter ceux qui ne correspondent pas à la distance minimale.\nc) Résoudre avec la méthode 3 et vérifier que l'équation obtenue est identique à celle de la méthode 2. Laquelle des trois méthodes choisiriez-vous lors d'un examen d'entrée à l'université pour sa rapidité et son moindre risque d'erreur de calcul ? Donner les coordonnées des points les plus proches et la distance minimale.

On souhaite concevoir une gélule pour un nouveau médicament, ayant la forme d'un cylindre droit prolongé à ses extrémités par deux demi-boules de même rayon que le cylindre. Pour des raisons de stabilité chimique, le volume total de la gélule doit être exactement de $36\pi \text{ mm}^3$. Le matériau utilisé pour les extrémités hémisphériques est 50 % plus cher par unité de surface que celui utilisé pour la partie cylindrique. Déterminer les dimensions de la gélule (rayon $r$ et longueur de la partie cylindrique $h$) qui minimisent le coût total de fabrication.

Un drone de surveillance doit se déplacer d'une base située au point $A(0 ; 4)$ jusqu'à un objectif au point $B(10 ; 0)$, les coordonnées étant exprimées en kilomètres. Le terrain est divisé en deux zones par la droite $y = 2$. Dans la zone supérieure ($y > 2$), en raison des conditions de vent, le drone peut voler à une vitesse de $60 \text{ km/h}$. Dans la zone inférieure ($y \leq 2$), le drone peut atteindre $100 \text{ km/h}$. Écrire la fonction qui modélise le temps total du trajet et l'équation qui détermine le point de la droite de séparation par lequel le drone doit passer pour que ce temps soit minimal (il n'est pas nécessaire de la résoudre).

Une entreprise de logistique construit un entrepôt d'une superficie de $400 \text{ m}^2$. L'entrepôt doit avoir une forme rectangulaire et être divisé en deux secteurs par un mur intérieur parallèle à l'un de ses côtés. Le coût des murs extérieurs est de $120 \text{ €}$ le mètre linéaire, tandis que le mur intérieur, moins résistant, coûte $80 \text{ €}$ le mètre linéaire. Déterminer les dimensions de l'entrepôt pour lesquelles le coût des murs est le plus bas possible.

On souhaite installer un panneau solaire rectangulaire sur un mur ayant la forme d'un triangle isocèle, de base $6 \text{ m}$ et de hauteur $4 \text{ m}$. Le panneau doit être placé de sorte que sa base repose sur la base du triangle et que ses deux sommets supérieurs touchent les côtés égaux du triangle. Cependant, en raison de la structure du mur, l'efficacité du panneau varie avec sa hauteur, de sorte que l'énergie totale produite est donnée par la fonction $E = A \cdot (5 - h)$, où $A$ est l'aire du panneau et $h$ sa hauteur. Déterminer les dimensions du panneau qui maximisent l'énergie produite.

On considère la fonction $f(x) = \frac{1}{x^2}$ pour $x > 0$. On trace la tangente à la courbe de cette fonction en un point quelconque $P(a\,;\,f(a))$. Cette tangente forme, avec les axes de coordonnées dans le premier quadrant, un triangle rectangle. Déterminer s'il existe une valeur de $a$ pour laquelle l'aire de ce triangle est minimale et, le cas échéant, calculer la valeur de cette aire.

Un fabricant de boîtes de conserve veut créer un nouvel emballage cylindrique d'un volume de $500 \text{ cm}^3$. Le matériau du couvercle et du fond coûte $0,02 \text{ €/cm}^2$, tandis que celui de la paroi latérale coûte $0,01 \text{ €/cm}^2$. De plus, pour renforcer la structure, on doit placer une bande métallique autour de la jonction entre le couvercle et la paroi latérale et une autre autour du fond, pour un coût de $0,05 \text{ €/cm}$ de bande. Déterminer le rayon et la hauteur de la boîte qui minimisent le coût total de production.

Deux points $A$ et $B$ sont situés du même côté d'une droite $r$. Le point $A$ est à une distance de $3 \text{ km}$ de la droite et le point $B$ à $6 \text{ km}$. La distance entre les projections de $A$ et $B$ sur la droite $r$ est de $12 \text{ km}$. On cherche un point $C$ de la droite $r$ tel que la somme des carrés des distances de $C$ à $A$ et de $C$ à $B$ soit minimale. Démontrer que ce point coïncide avec le milieu de la projection de $AB$ sur la droite.

On dispose d'un morceau de câble de longueur $20 \text{ mètres}$. On veut le couper en deux morceaux (pas nécessairement égaux) pour former avec l'un un carré et avec l'autre un triangle équilatéral. Comment faut-il effectuer la coupe pour que la somme des aires des deux figures soit maximale ? Et pour qu'elle soit minimale ? Justifier la réponse en analysant les extrémités de l'intervalle de définition de la variable.

Une coopérative agricole commande la conception d'un silo vertical à grain composé d'un cylindre droit de rayon $r$ et de hauteur $h$, fermé à sa base inférieure par un fond plat circulaire de rayon $r$, et surmonté d'une coupole hémisphérique de rayon $r$. Pour des raisons de résistance, les coûts de fabrication par mètre carré sont :\n- Fond plat inférieur : $20\text{ \euro{/m}}^2$.\n- Paroi latérale cylindrique : $30\text{ \euro{/m}}^2$.\n- Coupole hémisphérique : $k\text{ \euro{/m}}^2$ (où $k$ est un coût unitaire positif fixé par l'atelier de cintrage).\n\nL'équipe d'ingénieurs établit comme critère de conception que, quel que soit le volume de grain fixé $V_0 > 0$ que le silo doit contenir, les dimensions optimales $(r\,;\,h)$ qui rendent minimal le coût total doivent obligatoirement vérifier la relation esthétique et structurelle $h = 2r$.\n\na) Écrire la fonction de coût total $C(r)$ en fonction uniquement du rayon $r$ et des constantes $k$ et $V_0$, en utilisant la contrainte sur le volume total du silo ($V_0 = \pi r^2 h + \frac{2}{3}\pi r^3$).\nb) Dériver la fonction $C(r)$ par rapport à $r$ et imposer la condition de point critique $C'(r) = 0$.\nc) Déterminer la valeur exacte que doit avoir le prix au mètre carré $k$ de l'hémisphère pour que la condition optimale coïncide avec $h = 2r$. Démontrer par le calcul que cette valeur de $k$ ne dépend pas du volume $V_0$ choisi.\nd) Vérifier, grâce au signe de $C''(r)$, que la solution trouvée correspond bien à un minimum absolu du coût.

RTE projette la ligne d'évacuation de l'énergie depuis une sous-station en mer $S$ appartenant à un parc éolien sur les côtes bretonnes. La sous-station $S$ est située en mer, à une distance perpendiculaire de $6\text{ km}$ de la côte rectiligne au point $A$. La sous-station réceptrice terrestre $B$ est située sur la même ligne de côte, à une distance de $15\text{ km}$ de $A$.\nLa ligne électrique passera par le fond marin de $S$ jusqu'à un point d'atterrage $P$ situé sur la côte entre $A$ et $B$ (à une distance $x$ de $A$, avec $0 \le x \le 15$), puis continuera sous terre de $P$ jusqu'à $B$ le long de la côte. Le coût d'installation du câble sous-marin est de $1,5\text{ millions d'euros/km}$ et celui du câble terrestre est de $0,9\text{ millions d'euros/km}$.\n\na) Écrire la fonction de coût total $C(x)$ en millions d'euros et définir son ensemble de définition physique $[0 ; 15]$.\nb) Calculer la position de $P$ (valeur de $x$) qui minimise le coût total et justifier qu'il s'agit du minimum absolu en comparant la valeur obtenue avec les extrémités de l'intervalle fermé.\nc) Si $\theta$ représente l'angle que forme le tracé sous-marin $SP$ avec la perpendiculaire à la côte, démontrer qu'au point optimal la loi de Snell est exactement vérifiée : $\frac{\sin \theta}{c_{\text{terre}}} = \frac{1}{c_{\text{mer}}}$, avec $c_{\text{mer}} = 1,5$ et $c_{\text{terre}} = 0,9$.\nd) Problème de transfert et de seuil : On suppose que le coût sous-marin diminue jusqu'à une valeur générique $c$ (le coût terrestre restant à $0,9\text{ millions/km}$). Déterminer à partir de quelle valeur critique de $c$ il n'existera plus de point d'atterrage intermédiaire $P \in ]0 ; 15[$ et il sera plus économique de tirer le câble directement en ligne droite par la mer de $S$ jusqu'à $B$. Justifier votre raisonnement en étudiant le signe de $C'(x)$ à l'extrémité supérieure de l'ensemble de définition.

Défi du thème. Comment notre pays gère-t-il son réseau électrique ? Vous allez conseiller une coopérative énergétique en analysant la demande électrique réelle de la France métropolitaine.

1. Obtention et modélisation : Rendez-vous sur le site éCO2mix (RTE) et téléchargez les données de demande horaire ($24\text{ h}$) d'une journée récente. Dans GeoGebra ou dans un tableur, représentez le nuage de points et réalisez un ajustement polynomial pour obtenir $D(t)$ (avec $0 \le t \le 24$).

2. Convexité et optimisation : Utilisez la dérivée première pour calculer et classer les pics et les creux de consommation quotidienne ($D'(t) = 0$). Déterminez la dérivée seconde $D''(t)$, étudiez les intervalles de concavité/convexité et déterminez les points d'inflexion, en expliquant ce qu'ils représentent par rapport au rythme d'accélération de la consommation.

3. Intégrale et proposition : Calculez l'énergie totale consommée dans la journée au moyen de l'intégrale $E = \int_{0}^{24} D(t)\,dt$. Rédigez un court rapport (une page) comprenant le graphique obtenu et une proposition justifiée de tarification horaire (heures creuses et heures pleines) pour inciter à économiser.

Seront évalués :

• La rigueur dans l'ajustement analytique des données réelles avec GeoGebra ou le tableur.

• L'exactitude et la justification mathématique des extremums, de la convexité, des points d'inflexion et de l'intégration.

• L'interprétation contextualisée de la signification physique des dérivées et la faisabilité de la proposition finale.