Exercices: Noyaux atomiques et stabilité des isotopes

Le potassium des bananes contient une petite fraction de l'isotope potassium 40, dont le noyau a pour numéro atomique $Z = 19$ et pour nombre de masse $A = 40$.

1. a) Indiquer combien de protons et combien de neutrons contient ce noyau.
2. b) Écrire son symbole avec la notation ${}^{A}_{Z}\text{X}$.
3. c) Combien d'électrons possède l'atome neutre de potassium 40 ? Justifier la réponse.

Dans un noyau d'hélium, deux protons sont confinés dans une région d'environ $10^{-15}\ \text{m}$ de diamètre. Comme ils ont tous deux une charge positive, ils se repoussent électriquement avec une force considérable ; pourtant, le noyau ne se désintègre pas.

1. a) Expliquer ce qu'est l'interaction nucléaire forte et pourquoi elle parvient à maintenir la cohésion du noyau.
2. b) Justifier pourquoi, malgré cette interaction, les noyaux comportant trop de protons finissent par être instables.

Le carbone possède trois isotopes naturels : le carbone 12, le carbone 13 et le carbone 14, tous avec $Z = 6$.

1. a) Expliquer ce que signifie que deux noyaux sont isotopes.
2. b) Calculer le nombre de neutrons du noyau de chacun des trois isotopes.
3. c) Les trois isotopes ont-ils les mêmes propriétés chimiques ? Justifier en raisonnant sur leurs électrons.

L'unité de masse atomique (u) est définie comme la douzième partie de la masse d'un atome de carbone 12, et vaut $1\ \text{u} = 1,66 \cdot 10^{-27}\ \text{kg}$.

1. a) La masse du noyau d'oxygène 16 est d'environ $16\ \text{u}$ : l'exprimer en kilogrammes, en notation scientifique.
2. b) Justifier pourquoi, en physique nucléaire, il est plus commode de travailler en unités u qu'en kilogrammes.

Sur les quelque $3000$ nucléides connus, seuls environ $250$ sont stables ; les autres finissent tôt ou tard par se désintégrer.

1. a) Expliquer ce que signifie qu'un noyau est stable et ce qui arrive à un noyau instable.
2. b) Dans les noyaux légers stables, le nombre de neutrons $N$ et le nombre de protons $Z$ sont presque égaux : indiquer la valeur approximative du rapport $\frac{N}{Z}$ dans ces noyaux.

Le rayon d'un atome est de l'ordre de $10^{-10}\ \text{m}$, tandis que celui de son noyau est de l'ordre de $10^{-15}\ \text{m}$, comme le montre la figure.

1. a) Calculer combien de fois le rayon de l'atome est plus grand que celui du noyau.
2. b) Le volume d'une sphère est proportionnel au cube du rayon : estimer combien de fois le volume de l'atome est plus grand que celui du noyau.
3. c) Expliquer, au vu du résultat, pourquoi l'on dit que l'atome est presque vide.

Des mesures de précision montrent que la masse d'un noyau d'hélium 4 est inférieure à la somme des masses de ses deux protons et de ses deux neutrons mesurés séparément.

1. a) Expliquer ce qu'est le défaut de masse d'un noyau.
2. b) En quoi la masse « manquante » s'est-elle transformée ? Mentionner dans l'explication la relation d'Einstein $E = \Delta m \cdot c^2$.

L'énergie de liaison par nucléon est l'énergie moyenne qu'il faut fournir pour arracher un nucléon d'un noyau.

1. a) Définir l'énergie de liaison d'un noyau.
2. b) L'énergie de liaison par nucléon est maximale pour les noyaux de masse intermédiaire, comme le fer, et plus faible pour les très légers et les très lourds : justifier quels noyaux sont les plus stables.

Considérer ces cinq nucléides : ${}^{14}_{6}\text{C}$, ${}^{14}_{7}\text{N}$, ${}^{12}_{6}\text{C}$, ${}^{16}_{8}\text{O}$ et ${}^{15}_{7}\text{N}$.

1. a) Calculer le nombre de protons et de neutrons de chacun.
2. b) Indiquer quelles paires sont isotopes (même $Z$) et quelle paire est isobare (même $A$).
3. c) Repérer deux nucléides ayant le même nombre de neutrons (isotones).

Données : masse du proton $m_p = 1,0073\ \text{u}$, masse du neutron $m_n = 1,0087\ \text{u}$, masse du noyau d'hélium 4 $m_{\alpha} = 4,0015\ \text{u}$ et $1\ \text{u} = 1,66 \cdot 10^{-27}\ \text{kg}$.

1. a) Calculer la somme des masses des deux protons et des deux neutrons qui constituent le noyau d'hélium 4, mesurés séparément.
2. b) Calculer le défaut de masse $\Delta m$ du noyau, en unités u.
3. c) Exprimer ce défaut de masse en kilogrammes, en notation scientifique.

Le défaut de masse du noyau d'hélium 4 est $\Delta m = 0,0305\ \text{u}$, équivalent à $5,06 \cdot 10^{-29}\ \text{kg}$. Données : $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$ et $1\ \text{eV} = 1,6 \cdot 10^{-19}\ \text{J}$.

1. a) Calculer l'énergie de liaison du noyau avec la relation d'Einstein, $E = \Delta m \cdot c^2$, exprimée en joules.
2. b) Convertir le résultat en $\text{MeV}$ (tenir compte de $1\ \text{MeV} = 10^{6}\ \text{eV}$).
3. c) Calculer l'énergie de liaison par nucléon de l'hélium 4.

Dans les tables de nucléides, on lit que l'énergie de liaison par nucléon du fer 56 vaut $8,8\ \text{MeV}$ et celle de l'uranium 235, $7,6\ \text{MeV}$, comme le montre la figure.

1. a) Calculer l'énergie de liaison totale de chacun de ces deux noyaux.
2. b) Expliquer pourquoi le fer 56 est plus stable que l'uranium 235 bien que son énergie de liaison totale soit plus faible.
3. c) Relier le résultat au fait que l'uranium 235 libère de l'énergie lors de sa fission.

Deux protons à l'intérieur d'un noyau sont séparés par une distance de $10^{-15}\ \text{m}$, comme le montre la figure. Données : constante de Coulomb $K = 9 \cdot 10^{9}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{C}^2$ et charge du proton $e = 1,6 \cdot 10^{-19}\ \text{C}$.

1. a) Calculer la force électrique de répulsion entre eux en appliquant la loi de Coulomb, $F = K \cdot \frac{e^2}{r^2}$.
2. b) La valeur obtenue est énorme pour une force entre particules : expliquer quelle conclusion on en tire sur l'intensité de l'interaction nucléaire forte qui les maintient ensemble.

Le rapport $\frac{N}{Z}$ des noyaux stables vaut environ $1$ pour les noyaux légers et augmente jusqu'à environ $1,5$ pour les plus lourds, comme le montre la figure.

Calculer le rapport $\frac{N}{Z}$ de chacun de ces nucléides et prévoir, en comparant avec cette tendance, s'ils sont plutôt stables ou instables :

1. a) ${}^{12}_{6}\text{C}$
2. b) ${}^{14}_{6}\text{C}$
3. c) ${}^{206}_{82}\text{Pb}$
4. d) ${}^{238}_{92}\text{U}$

Marie Curie a isolé le radium en $1898$, et pendant des décennies l'activité de $1\ \text{g}$ de radium 226 a servi d'unité de mesure, le curie. Données : $N_A = 6,02 \cdot 10^{23}\ \text{mol}^{-1}$ et masse molaire du radium 226 : $226\ \text{g/mol}$.

1. a) Calculer combien de noyaux de radium 226 contient un échantillon de $1\ \text{mg}$.
2. b) Calculer combien de noyaux contiennent $1\ \text{g}$, la quantité qui définissait le curie.

En physique nucléaire, on utilise l'équivalence masse-énergie $1\ \text{u} \cdot c^2 = 931,5\ \text{MeV}$.

1. a) Le défaut de masse du deutérium (noyau d'hydrogène 2) est $\Delta m = 0,0024\ \text{u}$ : calculer son énergie de liaison en $\text{MeV}$.
2. b) Calculer son énergie de liaison par nucléon et la comparer à celle du fer 56 ($8,8\ \text{MeV}$ par nucléon) : justifier lequel des deux noyaux est le plus stable.

Données : masse du proton $m_p = 1,0073\ \text{u}$, masse du neutron $m_n = 1,0087\ \text{u}$, masse du noyau de fer 56 $m(\text{Fe}) = 55,9207\ \text{u}$ et $1\ \text{u} \cdot c^2 = 931,5\ \text{MeV}$.

1. a) Le fer 56 a $Z = 26$ : indiquer combien de protons et combien de neutrons contient son noyau.
2. b) Calculer son défaut de masse, en unités u.
3. c) Calculer son énergie de liaison totale et son énergie de liaison par nucléon, en $\text{MeV}$.
4. d) Sachant que l'énergie de liaison par nucléon du carbone 12 est de $7,7\ \text{MeV}$, justifier lequel des deux noyaux est le plus stable et quel processus, fusion ou fission, pourrait libérer de l'énergie à partir de chacun.

La courbe de l'énergie de liaison par nucléon en fonction du nombre de masse $A$ croît rapidement à partir des noyaux les plus légers, atteint un maximum autour du fer 56 ($8,8\ \text{MeV}$ par nucléon), puis décroît doucement jusqu'à environ $7,6\ \text{MeV}$ pour l'uranium 235.

1. a) Esquisser cette courbe sur le cahier en repérant le maximum et les zones des noyaux légers et lourds.
2. b) Expliquer, à partir de l'allure de la courbe, pourquoi la fusion de noyaux légers libère de l'énergie.
3. c) Expliquer, avec le même argument, pourquoi la fission de noyaux très lourds libère aussi de l'énergie.
4. d) Justifier pourquoi on ne peut obtenir d'énergie ni par fusion ni par fission de noyaux de fer.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

L'énergie de liaison totale du tritium (noyau d'hydrogène 3) est de $8,48\ \text{MeV}$. Données : $1\ \text{u} \cdot c^2 = 931,5\ \text{MeV}$, $m_p = 1,0073\ \text{u}$ et $m_n = 1,0087\ \text{u}$.

1. a) Calculer le défaut de masse du tritium, en unités u.
2. b) Sachant que le tritium possède un proton et deux neutrons, calculer la masse de son noyau.
3. c) Calculer son énergie de liaison par nucléon et, en la comparant à celle de l'hélium 4 ($7,1\ \text{MeV}$), justifier pourquoi la fusion du deutérium et du tritium pour former de l'hélium libère de l'énergie.

L'oxygène n'a que trois isotopes stables : ${}^{16}_{8}\text{O}$, ${}^{17}_{8}\text{O}$ et ${}^{18}_{8}\text{O}$. Les isotopes avec un excès de neutrons tendent à se désintégrer par émission bêta moins ($\beta^{-}$ : un neutron se transforme en proton), et ceux avec un déficit de neutrons, par émission bêta plus ($\beta^{+}$ : un proton se transforme en neutron).

1. a) Calculer le rapport $\frac{N}{Z}$ de ${}^{14}_{8}\text{O}$ et de ${}^{21}_{8}\text{O}$ et le comparer à celui de ${}^{16}_{8}\text{O}$.
2. b) Prévoir quel type de désintégration subira chacun de ces deux isotopes instables, en justifiant la réponse.
3. c) Écrire l'équation de chaque processus et identifier le nucléide fils formé dans chaque cas.

Peu après le Big Bang, les protons et les neutrons de l'univers primitif se sont unis pour former du deutérium, et chaque union a émis un photon gamma. Données : $m_p = 1,0073\ \text{u}$, $m_n = 1,0087\ \text{u}$, masse du noyau de deutérium $m_d = 2,0136\ \text{u}$ et $1\ \text{u} \cdot c^2 = 931,5\ \text{MeV}$.

1. a) Calculer le défaut de masse du processus dans lequel un proton et un neutron forment un noyau de deutérium.
2. b) Calculer l'énergie libérée lors de la formation de chaque noyau de deutérium, en $\text{MeV}$.
3. c) Où va cette énergie ? Expliquer le rôle du photon gamma émis.

Le rayon d'un noyau peut être estimé par l'expression $R = R_0 \cdot A^{1/3}$, où $R_0 = 1,2 \cdot 10^{-15}\ \text{m}$ et $A$ est le nombre de masse. Pour le fer 56, prendre $A^{1/3} \approx 3,8$ et une masse nucléaire de $9,3 \cdot 10^{-26}\ \text{kg}$. Le volume d'une sphère est $V = \frac{4}{3} \cdot \pi \cdot R^3$, avec $\pi \approx 3,14$.

1. a) Calculer le rayon du noyau de fer 56.
2. b) Calculer son volume et sa masse volumique, en $\text{kg/m}^3$.
3. c) La matière d'une étoile à neutrons a une masse volumique proche de celle du noyau : calculer la masse que aurait une cuillerée à café de $5\ \text{cm}^3$ de cette matière et commenter le résultat.

Lorsqu'une étoile massive épuise le combustible de son cœur, elle finit par produire du fer 56, un nucléide situé pratiquement au maximum de l'énergie de liaison par nucléon.

1. a) Expliquer, à partir de la courbe de l'énergie de liaison par nucléon, pourquoi fusionner du fer ne libère pas d'énergie mais en consomme.
2. b) Justifier la conséquence pour l'étoile, qui n'a plus de source d'énergie dans son cœur.
3. c) Les éléments plus lourds que le fer se forment surtout par capture de neutrons lors des explosions de supernova : expliquer pourquoi ces éléments sont beaucoup plus rares dans l'univers que le fer.

Toute l'électricité consommée en France en une année est de l'ordre de $9 \cdot 10^{17}\ \text{J}$. Données : $c = 3 \cdot 10^{8}\ \text{m/s}$.

1. a) Supposer que cette énergie soit obtenue en convertissant directement de la masse en énergie, avec un rendement de $100\ \%$ : calculer, avec $E = \Delta m \cdot c^2$, la masse qu'il faudrait convertir.
2. b) Commenter le résultat : cette masse vous paraît-elle importante ou faible pour alimenter en électricité un pays entier pendant un an ?
3. c) Un élève affirme : « dans les réactions nucléaires la masse se conserve, comme dans les réactions chimiques ». Corriger son affirmation et expliquer ce qui se conserve effectivement dans une réaction nucléaire.