Exercices: Grandeurs cinématiques : vecteurs position, vitesse et accélération

Un drone de livraison se trouve au point de coordonnées $(4 ; 3)$ d'une carte, les distances étant en mètres. La figure montre le point et son vecteur position.

1. a) Écrire son vecteur position $\vec{r}$ en fonction des vecteurs unitaires $\vec{i}$ et $\vec{j}$.
2. b) Calculer la norme de $\vec{r}$ et expliquer ce qu'elle représente physiquement.

Un robot d'un entrepôt automatisé passe de la position $\vec{r}_1 = 2\,\vec{i} + \vec{j}$ à la position $\vec{r}_2 = 8\,\vec{i} + 9\,\vec{j}$, les positions étant en mètres. La figure représente les deux positions et le déplacement entre elles.

1. a) Calculer le vecteur déplacement $\Delta\vec{r} = \vec{r}_2 - \vec{r}_1$.
2. b) Calculer sa norme.

Un athlète fait exactement un tour de piste et revient à son point de départ après avoir parcouru $400\ \text{m}$.

1. a) Quelle est la valeur de son déplacement ?
2. b) Quelle est la valeur de la distance qu'il a parcourue ?
3. c) Expliquer avec vos propres mots la différence entre la distance parcourue et le déplacement.

Une patineuse se déplace en ligne droite et avance de $20\ \text{m}$ dans la direction de l'axe $x$ en $4\ \text{s}$.

1. a) Écrire son vecteur déplacement en fonction du vecteur unitaire $\vec{i}$.
2. b) Calculer sa vitesse moyenne $\vec{v}_m$ sous forme vectorielle, sachant que $\vec{v}_m = \frac{\Delta\vec{r}}{\Delta t}$.

Le déplacement d'un coureur d'orientation entre deux balises est $\Delta\vec{r} = 30\,\vec{i} - 40\,\vec{j}$, en mètres, et il l'effectue en $10\ \text{s}$.

1. a) Calculer son vecteur vitesse moyenne.
2. b) Calculer la norme de cette vitesse moyenne.

Un livreur à vélo va du magasin à une maison et revient au magasin par le même chemin.

1. a) Quelle est la valeur de son déplacement total ?
2. b) Quelle est la valeur de sa vitesse moyenne sur l'ensemble du trajet ?
3. c) Sa vitesse moyenne en valeur (rapidité moyenne) est-elle aussi nulle ? Justifier la réponse et expliquer la différence entre vitesse moyenne et rapidité moyenne.

La position d'un chariot de laboratoire est donnée, en unités du Système International, par $\vec{r}(t) = 3t\,\vec{i} + 2\,\vec{j}$.

1. a) Quelle est sa position initiale ?
2. b) Calculer sa position lorsque $t = 4\ \text{s}$.
3. c) Justifier pourquoi la trajectoire est une droite horizontale : observer ce qui se passe pour la coordonnée $y$.

Une moto en ligne droite passe de $\vec{v}_1 = 5\,\vec{i}\ \text{m/s}$ à $\vec{v}_2 = 20\,\vec{i}\ \text{m/s}$ en $5\ \text{s}$. Les vecteurs vitesse initial et final sont représentés sur la figure.

1. a) Calculer la variation de vitesse $\Delta\vec{v} = \vec{v}_2 - \vec{v}_1$.
2. b) Calculer son accélération moyenne $\vec{a}_m = \frac{\Delta\vec{v}}{\Delta t}$.
3. c) Expliquer ce que signifie le résultat : de combien varie sa vitesse chaque seconde ?

Un robot de nettoyage d'un centre commercial est à la position $\vec{r}_1 = \vec{i} + \vec{j}$ lorsque $t = 0$ et à la position $\vec{r}_2 = 7\,\vec{i} + 9\,\vec{j}$ lorsque $t = 2\ \text{s}$, les positions étant en mètres.

1. a) Calculer le vecteur déplacement et sa norme.
2. b) Calculer le vecteur vitesse moyenne et sa norme.

Une station météorologique mesure la vitesse du vent sous la forme $\vec{v} = 12\,\vec{i} - 5\,\vec{j}\ \text{m/s}$, où l'axe $x$ pointe vers l'est et l'axe $y$ vers le nord. La figure montre le vecteur vitesse du vent et ses composantes.

1. a) Calculer la norme de la vitesse du vent.
2. b) Calculer l'angle qu'elle forme avec le demi-axe $x$ positif et décrire avec des mots vers où souffle le vent.

La position d'un bateau télécommandé sur un étang est, en unités du Système International, $\vec{r}(t) = 2t\,\vec{i} + t^2\,\vec{j}$. La trajectoire et les deux positions sont représentées sur la figure.

1. a) Calculer les positions aux instants $t_1 = 1\ \text{s}$ et $t_2 = 3\ \text{s}$.
2. b) Calculer le déplacement entre ces instants et sa norme.
3. c) Calculer la vitesse moyenne sur cet intervalle et sa norme.

Un ferry part du port A, situé au point $(2\,;\,3)$, et arrive au port B, au point $(14\,;\,15)$, les coordonnées étant en kilomètres. La traversée dure $2\ \text{h}$.

1. a) Calculer le vecteur déplacement.
2. b) Calculer le vecteur vitesse moyenne en $\text{km/h}$ et sa norme.
3. c) Exprimer la norme de la vitesse moyenne en $\text{m/s}$, avec un chiffre après la virgule.

Un avion en manœuvre passe de $\vec{v}_1 = 2\,\vec{i} + 3\,\vec{j}\ \text{m/s}$ à $\vec{v}_2 = 8\,\vec{i} + 9\,\vec{j}\ \text{m/s}$ en $2\ \text{s}$. La figure représente les deux vecteurs vitesse.

1. a) Calculer la variation de vitesse $\Delta\vec{v}$.
2. b) Calculer le vecteur accélération moyenne et sa norme.

Une trottinette électrique en location part de l'origine et sa position, en unités du Système International, est $\vec{r}(t) = 3t\,\vec{i} + 2t\,\vec{j}$.

1. a) Calculer sa position lorsque $t = 10\ \text{s}$.
2. b) À quel instant passe-t-elle par un point de coordonnée $x = 90\ \text{m}$ ? Quelle est sa position complète à ce moment ?
3. c) Obtenir l'équation de la trajectoire $y(x)$ en éliminant le temps et justifier de quel type de courbe il s'agit.

Un randonneur part du refuge et se déplace de $1,2\ \text{km}$ vers l'est puis de $1,6\ \text{km}$ vers le nord, en un temps total de $0,5\ \text{h}$. Le schéma montre le parcours du randonneur.

1. a) Calculer la norme de son déplacement total.
2. b) Écrire son vecteur vitesse moyenne en $\text{km/h}$ et calculer sa norme.
3. c) Calculer l'angle que forme son déplacement avec la direction est.

Un capteur de laboratoire enregistre qu'un chariot est au point $(2\ ;\ 5)$ lorsque $t_1 = 1\ \text{s}$ et au point $(14\ ;\ 17)$ lorsque $t_2 = 5\ \text{s}$, les positions étant en mètres.

1. a) Calculer le déplacement du chariot et l'intervalle de temps écoulé.
2. b) Calculer le vecteur vitesse moyenne et sa norme.
3. c) Quel angle la vitesse moyenne forme-t-elle avec l'axe $x$ ? Le justifier à partir des composantes.

La position d'une particule, en unités du Système International, est $\vec{r}(t) = 3t\,\vec{i} + (t^2 + 1)\,\vec{j}$.

1. a) Calculer les positions en $t = 0$ et en $t = 4\ \text{s}$.
2. b) Calculer le déplacement sur cet intervalle et sa norme.
3. c) Calculer le vecteur vitesse moyenne sur cet intervalle et sa norme.
4. d) La trajectoire entre les deux points est courbe : justifier si la rapidité moyenne sur cet intervalle peut coïncider avec la norme de la vitesse moyenne.

Une particule se déplace selon $\vec{r}(t) = 2t\,\vec{i} + t^2\,\vec{j}$, en unités du Système International.

1. a) Écrire les équations paramétriques $x(t)$ et $y(t)$.
2. b) Éliminer le temps et obtenir l'équation de la trajectoire $y(x)$. De quel type de courbe s'agit-il ?
3. c) Vérifier si la particule passe par le point $(6\,;\,9)$, en mètres, et, si oui, indiquer à quel instant.

La position d'un bateau, en unités du Système International, est $\vec{r}(t) = (2 + 3t)\,\vec{i} + 4t\,\vec{j}$.

1. a) Quelle est sa position initiale ?
2. b) Obtenir l'équation de la trajectoire $y(x)$ et la classer.
3. c) Vérifier s'il passe par le point $(8 ; 8)$, en mètres, et indiquer à quel instant.
4. d) Calculer la distance du bateau à l'origine à cet instant.

Une voiture entre dans un rond-point avec la vitesse $\vec{v}_1 = 12\,\vec{i}\ \text{m/s}$ et en sort avec $\vec{v}_2 = 12\,\vec{j}\ \text{m/s}$ après $3\ \text{s}$. La figure montre la trajectoire dans le rond-point et les deux vecteurs vitesse.

1. a) Vérifier que la norme de la vitesse n'a pas changé.
2. b) Calculer la variation de vitesse $\Delta\vec{v}$ et sa norme.
3. c) Calculer le vecteur accélération moyenne et sa norme.
4. d) Expliquer pourquoi il existe une accélération alors que la valeur de la vitesse est restée constante.

Une personne marche $30\ \text{m}$ vers l'est en $10\ \text{s}$ puis $40\ \text{m}$ vers le nord en $10\ \text{s}$ supplémentaires.

1. a) Calculer la distance totale parcourue et la rapidité moyenne.
2. b) Calculer le déplacement total, sa norme et la norme de la vitesse moyenne.
3. c) Comparer les résultats des deux questions et énoncer la relation générale entre la rapidité moyenne et la norme de la vitesse moyenne, en indiquant quand elles coïncident.

Un robot tondeuse se déplace dans un jardin selon $\vec{r}(t) = 2t\,\vec{i} + (12 - t)\,\vec{j}$, en unités du Système International.

1. a) Calculer sa position initiale.
2. b) Déterminer l'instant où il croise la bissectrice du premier quadrant, c'est-à-dire lorsque ses coordonnées $x$ et $y$ coïncident, et la position à ce moment.
3. c) Calculer sa distance à l'origine à cet instant.
4. d) Calculer la vitesse moyenne entre $t = 0$ et cet instant.

Deux drones de surveillance se déplacent, en unités du Système International, selon $\vec{r}_A(t) = 5t\,\vec{i} + 3t\,\vec{j}$ et $\vec{r}_B(t) = (60 - 5t)\,\vec{i} + 18\,\vec{j}$. Les trajectoires des deux drones sont représentées sur la figure.

1. a) Écrire les équations $x(t)$ et $y(t)$ de chaque drone.
2. b) Déterminer l'instant et la position de leur rencontre.
3. c) Calculer la distance du point de rencontre à l'origine.
4. d) Justifier si les trajectoires des deux drones pourraient se croiser en un autre point.

Un chariot sur un rail se déplace selon $\vec{r}(t) = t^2\,\vec{i}$, en unités du Système International. La courbe $x$-$t$ du chariot, avec deux de ces sécantes et la tangente en $t = 1\ \text{s}$, est représentée sur la figure.

1. a) Calculer sa vitesse moyenne entre $t = 1\ \text{s}$ et $t = 3\ \text{s}$.
2. b) Refaire le calcul pour les intervalles $[1;\ 2]\ \text{s}$, $[1;\ 1,1]\ \text{s}$ et $[1;\ 1,01]\ \text{s}$.
3. c) Observer la suite de valeurs obtenues, prévoir la valeur de la vitesse instantanée en $t = 1\ \text{s}$ et justifier le raisonnement qui conduit à cette valeur.