Exercices: Limite d'une suite

Déterminer si la suite de terme général $a_n = \frac{(-1)^n \cdot 5}{n}$ est convergente, divergente ou sans limite. Si elle est convergente, indiquer sa limite.

Calculer la limite de la suite polynomiale suivante lorsque $n$ tend vers l'infini :

$b_n = -2n^3 + 7n^2 - 4n + 12$

Déterminer la limite de la suite rationnelle donnée par l'expression :

$c_n = \frac{3n^2 - 5n + 1}{8n^3 + 2n^2 - n}$

Calculer la limite de la suite suivante, en identifiant au préalable les degrés du numérateur et du dénominateur :

$d_n = \frac{6n^2 - 3n + 5}{2n^2 + 4n - 1}$

Déterminer la valeur vers laquelle tend la suite $e_n$ pour de très grandes valeurs de $n$ :

$e_n = \frac{n^4 + 2n^2 - 7}{5n^2 - 3n + 1}$

Étudier le comportement et calculer la limite de la suite de type exponentiel :

$f_n = 12 \cdot \left(\frac{3}{4}\right)^n$

En appliquant la définition du nombre $e$, calculer la limite de la suite suivante :

$g_n = \left(1 + \frac{1}{n}\right)^{7n}$

Calculer la limite de la suite comportant une racine carrée simple au numérateur :

$h_n = \frac{\sqrt{16n^2 + 3n}}{2n + 5}$

Lucas calcule la limite de la suite $a_n = \dfrac{3n + (-1)^n \cdot 4}{2n - 1}$ et écrit dans sa copie : « Comme le terme $(-1)^n$ alterne indéfiniment entre $-1$ et $1$, la suite fait des sauts tout le temps et est donc une suite oscillante qui n'a pas de limite ». Identifier l'erreur conceptuelle de Lucas, expliquer pourquoi son affirmation est fausse et calculer correctement $\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n$, en classant la suite comme convergente, divergente ou sans limite.

Considérer la suite de terme général $a_n = \dfrac{4n^2 - 5}{2n^2 + 3n}$. Avant tout calcul formel, calculer avec deux décimales la valeur des termes pour $n = 10$, $n = 100$ et $n = 1000$, et en déduire une estimation argumentée de la valeur dont la suite semble se rapprocher. Calculer ensuite la limite par le calcul en comparant les degrés des polynômes et vérifier si votre estimation initiale était correcte, en indiquant si la suite est convergente ou divergente.

La température en degrés Celsius d'une pièce de métal qui refroidit dans une pièce suit la suite $T_n = 22 + 85 \cdot (0,82)^n$, où $n$ est le temps écoulé en minutes. Calculer la limite de la suite $T_n$ lorsque $n \to \infty$ et interpréter le résultat dans le contexte du problème.

Lever l'indétermination qui se présente dans le calcul de la limite de la différence de suites rationnelles suivante :

$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n^2 + 5n}{n + 2} - n \right)$

Calculer la limite de la suite irrationnelle suivante, en multipliant et en divisant par l'expression conjuguée pour lever l'indétermination :

$\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{n^2 + 6n} - n \right)$

La population de poissons d'une pisciculture durable croît selon le modèle mathématique $P_n = \frac{150000n}{3n + 250}$, où $n$ représente le nombre de jours depuis l'introduction des alevins. Déterminer la capacité d'accueil du milieu, c'est-à-dire la limite de la population de poissons à long terme.

Calculer la limite de la suite, en transformant l'expression pour appliquer la limite du nombre $e$ :

$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n + 7}{n + 2} \right)^{4n}$

On place $5000$ euros dans un fonds de placement offrant un intérêt annuel de $3,5\%$. Si l'établissement capitalise les intérêts $n$ fois par an, le capital accumulé après $10$ années est donné par la suite $C_n = 5000 \cdot \left(1 + \frac{0,035}{n}\right)^{10n}$. Calculer le capital limite que l'on obtiendrait si la capitalisation était continue ($n \to \infty$).

Déterminer la limite de la suite suivante, en développant au préalable les identités remarquables du numérateur pour identifier les termes de plus haut degré :

$\lim_{n \to \infty} \frac{(3n+2)^2 - (3n-2)^2}{n+5}$

À partir d'un carré d'aire $A_1 = 400 \text{ cm}^2$, on construit une suite de carrés en joignant les milieux des côtés du carré précédent, comme le montre la figure. Sachant que l'aire de chaque nouveau carré est la moitié de l'aire du carré précédent, calculer la limite de la somme des aires des infinis carrés ainsi construits : $S_\infty = \lim_{n \to \infty} (A_1 + A_2 + \dots + A_n)$.

L'INSEE projette l'évolution de la population d'une petite commune rurale de la Creuse. Selon ce modèle, la population $P_n$ (exprimée en centaines d'habitants) au bout de $n$ décennies écoulées depuis l'année 2020 est donnée par la suite $P_n = \dfrac{18n + 45}{3n + 5}$. Calculer la population initiale estimée en 2020 ($n = 0$), celle prévue pour 2040 ($n = 2$) et la limite $\displaystyle\lim_{n \to \infty} P_n$. À partir de cette dernière valeur, interpréter dans le contexte du problème si le modèle prédit la disparition du village par dépeuplement ou sa stabilisation à long terme, en indiquant vers quel nombre exact d'habitants la population tendrait.

Concevoir le terme général d'une suite rationnelle $a_n = \dfrac{P(n)}{Q(n)}$ (où $P(n)$ et $Q(n)$ sont des polynômes de degré 1 à coefficients entiers) vérifiant simultanément trois conditions : son premier terme doit être $a_1 = 2$, elle doit être strictement croissante pour tout $n \geq 1$ et sa limite lorsque $n \to \infty$ doit être exactement $5$. Une fois votre formule pour $a_n$ trouvée, calculer à partir de quel entier naturel $N$ la distance entre les termes de la suite et sa limite est inférieure à $\varepsilon = 0,02$ (c'est-à-dire $|a_n - 5| < 0,02$ pour tout $n > N$).

Déterminer les valeurs des paramètres réels $a$ et $b$ (avec $b > 0$) pour que l'égalité suivante soit vérifiée :

$\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{9n^2 + an + 2} - bn \right) = 4$

Soit la suite $a_n = \frac{4n - 3}{n + 1}$, dont on sait que la limite est $L = 4$. À l'aide de la définition formelle de la limite, déterminer à partir de quel rang $n$ la distance entre les termes de la suite et sa limite est strictement inférieure à un millième, c'est-à-dire $|a_n - 4| < 0,001$.

Calculer la limite suivante, qui conduit à une indétermination de la forme $1^\infty$, en portant une attention particulière aux calculs algébriques dans l'exposant :

$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n^2 - n + 3}{n^2 + n + 1} \right)^{n^2 - 1}$

La figure montre les trois premières itérations de la construction de la courbe de Koch. Si l'on part d'un segment initial de longueur $L_0 = 1$ mètre (panneau A), à chaque étape $n$ la longueur totale de la courbe est multipliée par $\frac{4}{3}$ par rapport à l'étape précédente. Écrire l'expression de la longueur $L_n$ à l'étape $n$ et calculer $\lim_{n \to \infty} L_n$. Quelle conclusion géométrique peut-on tirer de ce résultat ?

Calculer la limite de la suite suivante, qui comporte une double racine carrée et nécessite d'appliquer avec soin la technique de l'expression conjuguée :

$\lim_{n \to \infty} n \cdot \left( \sqrt{n^2 + 4} - n \right)$

Un patient reçoit une dose quotidienne d'un médicament. Après l'absorption et l'élimination au cours de la journée, la concentration du médicament dans le sang juste avant la dose suivante suit la relation de récurrence $C_n = 15 + C_{n-1} \cdot 0,4$, où $15 \text{ mg/L}$ est l'apport de la nouvelle dose et le facteur $0,4$ indique qu'il reste $40\%$ du médicament de la veille. Si la concentration initiale est $C_1 = 15$, calculer la concentration d'équilibre dans le sang à long terme, c'est-à-dire $\lim_{n \to \infty} C_n$.

On définit une suite par la relation de récurrence suivante : le premier terme est $a_1 = \sqrt{6}$, et chaque terme suivant est obtenu par $a_{n+1} = \sqrt{6 + a_n}$. En admettant que la suite est croissante et majorée (donc convergente, de limite $L$), poser l'équation que doit vérifier la limite et la déterminer.

Un câble élastique de haute technologie est soumis à des tests d'étirement itératifs. Sa longueur initiale au repos est de $20$ mètres. Lors du premier test, il s'étire de $4$ mètres. À chaque test suivant, le matériau perd de son élasticité et s'étire de $75\%$ de ce dont il s'est étiré lors du test précédent. La longueur totale après $n$ tests est donnée par $L_n = 20 + \sum_{k=1}^n 4 \cdot (0,75)^{k-1}$. Calculer la longueur maximale théorique que le câble atteindra s'il est soumis à une infinité de tests.

Pour calculer la limite de la suite $a_n = \sqrt{4n^2 + 7n} - 2n$, deux élèves discutent de la stratégie à suivre. Candice propose un raccourci : « Comme $7n$ croît beaucoup plus lentement que $4n^2$, on peut le négliger sous la racine ; il reste donc $\sqrt{4n^2} - 2n = 2n - 2n = 0$, d'où la limite $0$ ». Daniel soutient que ce n'est pas valable car il s'agit d'une indétermination $\infty - \infty$ et qu'il faut multiplier et diviser par l'expression conjuguée. Résoudre la limite en appliquant la méthode rigoureuse de Daniel, expliquer pourquoi le raccourci de Candice conduit à un résultat erroné et analyser ce qui se passerait si la suite était $b_n = \sqrt{4n^2 + 7n} - 3n$ : l'expression conjuguée est-elle encore nécessaire dans ce second cas ou existe-t-il une déduction directe fondée sur les ordres de grandeur ?

Soit la suite $a_n = \dfrac{3n - 1}{n + 2}$ : calculer d'abord $\displaystyle\lim_{n \to \infty} a_n$ et démontrer formellement ce résultat en appliquant la définition rigoureuse de la limite, en déduisant une formule donnant la valeur minimale de $N \in \mathbb{N}$ en fonction de toute marge $\varepsilon > 0$. Utiliser cette formule pour calculer $N$ lorsque $\varepsilon = 0,001$. Enfin, un camarade observe que pour $n = 100$ la distance entre termes consécutifs est déjà très petite ($|a_{101} - a_{100}| < 0,001$) et en déduit que $a_{100}$ doit donc déjà être à une distance de sa limite inférieure à $0,001$. Vérifier numériquement si sa déduction est vraie ou fausse pour ce terme et expliquer la différence conceptuelle entre la proximité de deux termes consécutifs et la proximité d'un terme à sa limite.