Exercices: Convexité et représentation complète de fonctions

Soit la fonction $f(x) = x^3 - 6x^2$. Utiliser la dérivée seconde pour déterminer :

1. Les intervalles de concavité et de convexité.

2. Les coordonnées du point d'inflexion.

Soit la fonction $f(x) = x^4 - 6x^2$ :

• a) Calculer sa dérivée seconde.

• b) Déterminer les intervalles de concavité ($\cap$) et de convexité ($\cup$).

• c) Déterminer les coordonnées de ses points d'inflexion.

La figure montre la courbe représentative d'une fonction polynôme de degré 3.

À partir de la courbe, et sans connaître la formule :

• a) Indiquer les intervalles de croissance et de décroissance.

• b) Repérer où se trouvent un maximum et un minimum locaux.

• c) Indiquer les intervalles de concavité et de convexité et où se situe le point d'inflexion.

Vrai ou faux, en justifiant la réponse : « Si $f''(2) = 0$, alors $f$ admet un point d'inflexion en $x = 2$ ». Illustrer votre réponse avec la fonction $f(x) = x^4$ en $x = 0$.

La température d'un liquide lors d'une expérience suit, en degrés Celsius, la fonction $T(t) = t^3 - 6t^2 + 9t + 1$, avec $t$ en heures et $0 \leq t \leq 4$.

• a) Étudier sur quels intervalles la température augmente et sur lesquels elle diminue.

• b) Déterminer le point d'inflexion et interpréter ce qui se passe, à cet instant, pour la vitesse de variation de la température.

Esquisser la courbe d'une fonction continue définie sur tout $\mathbb{R}$, croissante et concave ($\cap$) sur tout son ensemble de définition. Vérifier que la fonction $f(x) = -e^{-x}$ remplit ces conditions en calculant ses deux premières dérivées.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Pour chaque cas, esquisser la courbe d'une fonction vérifiant ce qui est indiqué :

• a) Croissante et convexe ($\cup$) sur tout son ensemble de définition.

• b) Décroissante et concave ($\cap$) sur tout son ensemble de définition.

• c) Croissante jusqu'à $x = 1$, décroissante à partir de $x = 1$, et convexe sur tout son ensemble de définition.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Soit la fonction $f(x) = x + e^{-x}$.

• a) Calculer $f'$ et $f''$.

• b) Démontrer que la fonction est convexe ($\cup$) sur tout $\mathbb{R}$.

• c) Déterminer son unique extremum local et en préciser la nature.

Marc doit déterminer les points d'inflexion de la fonction $f(x) = (x - 3)^4 + 2x - 1$. Sur sa copie, il écrit le raisonnement suivant :

« Je calcule la dérivée première : $f'(x) = 4(x - 3)^3 + 2$.

Je calcule la dérivée seconde : $f''(x) = 12(x - 3)^2$.

Je résous l'équation où elle s'annule pour trouver l'inflexion : $12(x - 3)^2 = 0 \implies x = 3$.

Donc la courbe de la fonction présente un point d'inflexion en $(3 ; f(3)) = (3 ; 5)$ ».

1. Expliquer en justifiant l'erreur conceptuelle commise par Marc. Pourquoi la condition $f''(x_0) = 0$ est-elle nécessaire mais non suffisante pour assurer l'existence d'un point d'inflexion ?

2. Corriger l'exercice en étudiant rigoureusement le signe de $f''(x)$ sur ℝ et déterminer la convexité (intervalles de concavité et de convexité) de la fonction. Existe-t-il finalement un point d'inflexion ?

Une coopérative agricole de Murcie modélise la production attendue de citrons $Q(x)$ (en tonnes) en fonction de la dépense en engrais biologiques $x$ (en centaines d'euros) par la fonction :

La direction technique souhaite justifier que la fonction présente des rendements décroissants sur tout son ensemble de définition (c'est-à-dire que chaque euro investi apporte un gain de récolte plus faible que l'euro précédent). Deux membres de l'équipe proposent deux méthodes différentes :

• Méthode A : calculer les valeurs $Q(0), Q(1), Q(2), \dots, Q(10)$ et vérifier que les accroissements consécutifs $\Delta Q = Q(x+1) - Q(x)$ diminuent.

• Méthode B : calculer la dérivée seconde $Q''(x)$ et déterminer son signe sur l'intervalle $]0 ; 10[$.

• Appliquer la méthode B en déterminant le signe de $Q''(x)$ et indiquer si la fonction est concave ou convexe.

• Comparer les deux méthodes et justifier laquelle des deux est préférable d'un point de vue mathématique pour démontrer, avec une validité générale, la propriété sur un intervalle continu.

Un analyste financier étudie l'évolution du bénéfice attendu d'une start-up technologique (en milliers d'euros) à l'aide de la fonction $f(x) = \frac{4x^2}{x^2+4}$, où $x$ représente le temps en années depuis sa création ($x \ge 0$).

Réaliser une étude complète de la fonction en analysant :

1. L'ensemble de définition et les points d'intersection avec les axes.

2. Les asymptotes et la position de la courbe par rapport à elles.

3. Les intervalles de croissance et de décroissance et l'existence de maxima ou de minima.

4. La convexité (concavité et convexité).

5. Esquisser la courbe représentative de la fonction à partir des données précédentes.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

La température d'une réaction chimique a été relevée pendant les 6 premières minutes. La fonction qui décrit la température (en $^\circ C$) est $T(t) = -t^3 + 9t^2 - 15t + 40$.

Réaliser l'étude de la fonction sur l'intervalle $t \in [0, 6]$ en indiquant :

1. À quels instants la température augmente-t-elle et à quels instants diminue-t-elle ?

2. Déterminer les températures maximale et minimale atteintes sur cet intervalle.

3. Déterminer l'instant où la vitesse de variation de la température change de tendance (point d'inflexion).

4. Tracer la courbe.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Tracer la courbe représentative d'une fonction $f(x)$, continue sur $\mathbb{R} \setminus \{2\}$, vérifiant simultanément toutes les conditions suivantes :

• $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x) = 0$ et $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x) = +\infty$.

• Elle admet une asymptote verticale en $x = 2$, telle que $\displaystyle \lim_{x \to 2^-} f(x) = +\infty$ et $\displaystyle \lim_{x \to 2^+} f(x) = -\infty$.

• Elle passe par le point $(0 ; 4)$.

• Elle admet un minimum local au point $(4 ; 1)$.

• Elle est convexe ($\cup$) sur l'intervalle $]-\infty ; 2[$.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

On considère la fonction $f(x) = \ln(x^2 - 4x + 5)$.

1. Déterminer son ensemble de définition (justifier si c'est $\mathbb{R}$ tout entier).

2. Étudier si elle présente une symétrie.

3. Déterminer les intervalles de croissance et de décroissance, ainsi que les coordonnées de l'extremum local.

4. Étudier la convexité et les points d'inflexion.

5. Esquisser sa courbe représentative.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Soit la fonction définie par morceaux :

$f(x) = \begin{cases} x^2 + 4x & \text{si } x \le 0 \\ \dfrac{4x}{x+2} & \text{si } x > 0 \end{cases}$

1. a) Étudier la continuité en $x = 0$.

1. b) Pour le premier morceau ($x \le 0$), déterminer le sommet de la parabole et les points d'intersection avec les axes.

1. c) Pour le second morceau ($x > 0$), déterminer ses asymptotes.

1. d) Représenter graphiquement la fonction.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

La figure montre la courbe représentative d'une fonction dont le point d'inflexion est signalé.

• a) Indiquer les intervalles de concavité et de convexité de la fonction.

• b) Esquisser le signe de la dérivée seconde sur chaque intervalle.

• c) Expliquer ce qui arrive au coefficient directeur de la tangente lorsque l'on passe par le point d'inflexion.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Le nombre d'écoutes hebdomadaires d'une chanson qui vient de sortir suit le modèle $S(t) = t \cdot e^{-t/2}$ (en milliers), avec $t \geq 0$ en semaines.

• a) Déterminer la semaine où il y a le plus d'écoutes et calculer ce maximum.

• b) Étudier le comportement à long terme (asymptote horizontale) et l'interpréter.

• c) Étudier la convexité : à partir de quand la baisse des écoutes commence-t-elle à s'atténuer ?

• d) Esquisser la courbe complète.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Réaliser l'étude complète de la fonction $f(x) = \frac{x^2}{x - 1}$ et la représenter : ensemble de définition, intersections avec les axes, asymptotes (verticales et oblique), intervalles de monotonie, extremums locaux, convexité et tracé de la courbe.

Une étude de l'INSEE sur la numérisation dans les petites communes rurales modélise la proportion de foyers $P(t)$ (en proportion de 1) disposant d'une connexion par fibre optique $t$ mois après le début du déploiement par la fonction :

1. Estimer : avant de calculer des dérivées :

a) Justifier vers quelle proportion maximale de couverture la commune tendra à long terme (lorsque $t \to \infty$).

b) Estimer si le rythme des nouveaux raccordements mensuels sera de plus en plus grand ou de plus en plus faible au fil du temps (effet de saturation). À partir de cette intuition, pensez-vous que la fonction soit concave ($\cap$) ou convexe ($\cup$) ?

1. Vérifier :

a) Calculer l'asymptote horizontale de $P(t)$ à l'aide de la limite correspondante et la comparer à votre estimation.

b) Déterminer la dérivée première et la dérivée seconde de $P(t)$. À partir du signe de $P''(t)$, vérifier formellement la convexité de la fonction et interpréter le résultat en termes de rendements décroissants du déploiement.

Une entreprise de commerce électronique basée à Bordeaux analyse la relation entre le budget quotidien consacré à la publicité numérique $x$ (en centaines d'euros, avec $0 \le x \le 8$) et le nombre de ventes quotidiennes réalisées $V(x)$, selon la fonction :

1. Déterminer les intervalles où la fonction est convexe (rendements marginaux croissants, où chaque euro supplémentaire produit une augmentation des ventes de plus en plus grande) et ceux où elle est concave (rendements marginaux décroissants ou saturation).

2. Calculer les coordonnées exactes du point d'inflexion de la fonction et interpréter sa signification économique : pourquoi ce point est-il appelé « point d'efficacité marginale maximale » de l'investissement ?

3. Un dirigeant propose : « Pour obtenir la rentabilité publicitaire maximale, nous devons investir exactement la somme qui produit le maximum absolu de ventes quotidiennes ». Justifier, grâce à l'étude de $V'(x)$ et $V''(x)$, pourquoi cette affirmation confond le volume maximal avec la meilleure efficacité de la dépense.

Une entreprise de biotechnologie a modélisé la croissance d'une population de bactéries dans un environnement contrôlé par la fonction $P(t) = 10 \cdot t^2 \cdot e^{-0,5t}$, où $P$ est le nombre de bactéries en milliers et $t$ est le temps en jours depuis le début de l'expérience ($t \geq 0$).

Réaliser une étude exhaustive de la fonction comprenant :

1. Points d'intersection avec les axes.

2. Comportement à long terme (asymptotes horizontales).

3. Intervalles de croissance et de décroissance, en déterminant à quel moment la population est maximale.

4. Intervalles de convexité et de concavité, en localisant les points d'inflexion où le rythme de croissance commence à diminuer.

5. Esquisse graphique de l'évolution de la population.

Soit la fonction $f(x) = \dfrac{x^3}{x^2 - k}$. On demande :

1. a) Déterminer la valeur de $k$ pour que la fonction admette un point d'inflexion en $x = \sqrt{3}$.
2. b) Pour $k = 1$, réaliser l'étude complète de la fonction : ensemble de définition, parité, asymptotes (verticales et obliques), extrema locaux et convexité.
3. c) Tracer la courbe en précisant la position de la courbe par rapport à ses asymptotes.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

On considère la fonction avec valeur absolue $f(x) = \dfrac{|x^2 - 1|}{x}$.

1. Exprimer la fonction comme une fonction définie par morceaux.

2. Étudier la continuité et la dérivabilité de la fonction sur tout son ensemble de définition.

3. Déterminer les asymptotes et la position de la courbe par rapport à celles-ci.

4. Déterminer les intervalles de monotonie et les extrema locaux.

5. Réaliser une représentation graphique précise, en portant une attention particulière aux points où la fonction change d'expression.

Une étude de marché indique que le bénéfice mensuel $B(x)$ (en milliers d'euros) d'une application mobile dépend des dépenses de publicité $x$ (en milliers d'euros) selon la fonction :

$B(x) = \ln(x^2 - 2x + 5) - \dfrac{x}{4}$ pour $x \in [0, 10]$.

Étudier la viabilité de la dépense publicitaire en réalisant les étapes suivantes :

1. a) Justifier l'ensemble de définition de la fonction dans le contexte du problème.
2. b) Déterminer la dépense publicitaire qui rend le bénéfice maximal.
3. c) Étudier s'il existe des intervalles de « rendements décroissants », c'est-à-dire où la fonction est concave ($\cap$).
4. d) Tracer la courbe représentative de la fonction bénéfice sur l'intervalle donné.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Soit la fonction $f(x) = \sqrt{\dfrac{x^2 - 4}{x^2 - 1}}$. Réaliser une étude complète en vue de sa représentation graphique :

1. a) Déterminer l'ensemble de définition (attention aux intervalles où le quotient est négatif).

1. b) Étudier les symétries de la courbe.

1. c) Calculer les asymptotes horizontales et verticales, en étudiant le comportement de la fonction à leur voisinage.

1. d) Déterminer les intervalles où la fonction est croissante et ceux où elle est décroissante. Existe-t-il des maxima ou des minima locaux ?

1. e) Tracer la courbe représentative de la fonction à partir des résultats précédents (en faisant figurer aussi les points d'intersection avec les axes).

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Déterminer une fonction polynôme de degré 3 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ vérifiant simultanément les conditions suivantes :

• Elle admet un point d'inflexion en $I(0 ; 1)$.

• La tangente à la courbe en ce point d'inflexion est $y = -3x + 1$.

• Elle admet un extremum local en $x = 1$.

Après avoir déterminé l'expression de la fonction, en réaliser l'étude complète (intersections avec les axes, extremums, convexité) et la représenter graphiquement.

La figure montre la courbe représentative complète d'une fonction.

À partir de la courbe, réaliser son étude complète :

• a) Ensemble de définition et points d'intersection avec les axes.

• b) Asymptotes et branches infinies.

• c) Intervalles de monotonie et extremums locaux.

• d) Intervalles de concavité et de convexité et points d'inflexion.

• e) Proposer une expression algébrique possible pour la fonction et justifier qu'elle est cohérente avec tout ce qui a été observé.

Déterminer les coefficients $a$ et $b$ de la fonction $f(x) = x^3 + ax^2 + bx$ sachant qu'elle admet un point d'inflexion au point $(1 ; 2)$.

• a) Poser les conditions à vérifier et déterminer $a$ et $b$.

• b) Avec la fonction obtenue, réaliser son étude complète : intersections avec les axes, sens de variation, extremums, convexité et tracé.

On souhaite déterminer les coefficients d'une fonction polynôme de degré 3 $f(x) = ax^3 + bx^2 + cx + d$ destinée à modéliser un cycle économique. On dispose des informations suivantes sur sa courbe représentative :

1. La courbe admet un point d'inflexion en $I(1 ; 4)$.

2. La tangente à la courbe en ce point d'inflexion est $y = -3x + 7$.

3. La fonction admet un extremum local en $x = 0$.

1. a) Poser un système d'équations linéaires traduisant les conditions données et déterminer, en justifiant, les valeurs des paramètres $a$, $b$, $c$ et $d$.
2. b) Avec la fonction obtenue, étudier les intervalles de concavité et de convexité et déterminer la nature de l'extremum local situé en $x = 0$ (maximum ou minimum) à l'aide du critère de la dérivée seconde.
3. c) Justifier théoriquement si toute fonction polynôme de degré 3 $P(x) = \alpha x^3 + \beta x^2 + \gamma x + \delta$ (avec $\alpha \ne 0$) admet nécessairement un unique point d'inflexion sur ℝ, ou si elle pourrait en avoir plusieurs ou aucun.

La puissance de charge $P(t)$ (en kW) que la batterie d'un véhicule électrique accepte dans une station de recharge ultrarapide dépend du temps écoulé $t$ (en minutes, pour $0 \le t \le 60$) selon la fonction définie par morceaux suivante :

1. Étudier la continuité et la dérivabilité de $P(t)$ au point de changement de régime $t = 20$. La courbe admet-elle une tangente unique à cet instant ou présente-t-elle un point anguleux ?

2. Déterminer l'expression de la dérivée seconde $P''(t)$ sur chacun des intervalles et déterminer la concavité et la convexité de la courbe sur $]0 ; 20[$ et sur $]20 ; 60[$.

3. Justifier de façon rigoureuse si le point $(20 ; P(20))$ est un point d'inflexion de la fonction, en analysant si les conditions théoriques sont rigoureusement remplies (continuité, existence d'une tangente et changement de convexité), sachant que la dérivée seconde n'est pas définie en $t = 20$.

4. Interpréter l'évolution de la recharge : sur quel intervalle la perte de puissance s'accélère-t-elle et sur lequel le rythme de la baisse s'atténue-t-il en tendant à se stabiliser ?