Exercices: Primitives usuelles

Calculer l'intégrale indéfinie suivante d'une fonction polynôme simple à l'aide des propriétés de linéarité (séparation des sommes et factorisation des constantes) :

Déterminer la famille des primitives de la fonction suivante, qui contient une racine carrée. Penser à écrire la racine sous forme de puissance d'exposant fractionnaire avant d'intégrer :

Pour pouvoir intégrer la fonction rationnelle suivante, il faut d'abord simplifier l'expression en divisant chaque terme du numérateur par le dénominateur :

Calculer les primitives de cette fonction qui combine une exponentielle de base $e$ et une puissance négative. Attention au signe lors de l'application de la formule des puissances :

Déterminer la primitive de la fonction $f(x) = \frac{1}{x} + \cos(x)$. Rappeler quelle est la fonction dont la dérivée est $\frac{1}{x}$ et faire attention à la valeur absolue :

Une étude de marché indique que le rythme de croissance du nombre d'abonnés d'une nouvelle « influenceuse » est donné par la fonction $f(x) = 6x + 10$ (où $x$ est le temps en jours).

Déterminer la fonction $F(x)$ qui donne le nombre total d'abonnés, sachant qu'au moment du lancement (jour $x=0$) elle comptait déjà $500$ abonnés.

Déterminer la valeur des intégrales suivantes, presque immédiates (type logarithmique et type exponentiel avec constante) :

1. a) $\int \frac{3}{x+2} \, dx$

1. b) $\int e^{5x} \, dx$

Dans une entreprise de fabrication de coques de téléphone, le coût marginal (le coût de production d'une unité supplémentaire) est estimé par la fonction $C'(x) = 0,6x + 4$.

Déterminer l'expression du coût total $C(x)$ sachant que les coûts fixes de l'entreprise (loyer, électricité, etc.), qui correspondent à la production de 0 unité, s'élèvent à $1200$ euros.

Lors d'un devoir de mathématiques, Charles doit calculer l'intégrale suivante :

Pour la calculer, il écrit dans sa copie :

1. a) Identifier et expliquer en détail l'erreur conceptuelle commise par Charles. Justifier pourquoi l'intégrale d'un quotient n'est pas le quotient des intégrales en s'appuyant sur la relation entre dérivation et intégration.
2. b) Expliquer comment il faut réécrire algébriquement la fonction à intégrer, en divisant chaque terme par le monôme du dénominateur, pour pouvoir appliquer le tableau des primitives usuelles.
3. c) Corriger l'exercice et déterminer la bonne famille de primitives.

Pour déterminer la famille des primitives de la fonction $f(x) = (2x - 3)(x + 5)$, deux camarades de classe débattent du chemin à suivre :

• Hélène affirme que, comme il s'agit d'un produit de deux facteurs dépendant de $x$, il est obligatoire d'utiliser l'intégration par parties en prenant $u = 2x - 3$ et $dv = (x + 5) \, dx$.

• Sergio propose de développer d'abord le produit en utilisant la distributivité pour obtenir un polynôme, puis d'intégrer terme à terme en utilisant la formule des primitives des puissances.

1. a) Comparer de façon argumentée les deux propositions : expliquer laquelle des deux méthodes est la plus directe et la plus adaptée à ce problème, et si la proposition d'Hélène est erronée ou simplement inutilement compliquée.
2. b) Résoudre l'intégrale en suivant la stratégie la plus efficace et vérifier le résultat en dérivant la fonction obtenue.

Calculer les primitives de la fonction suivante, qui comporte des termes avec des puissances fractionnaires et négatives. Exprimer le résultat sous la forme la plus simple possible :

Déterminer la primitive $F(x)$ de la fonction $f(x) = \frac{3x^2 + 2}{x^3 + 2x - 5}$ sachant que sa courbe passe par le point $P(1\,;\,4)$. Commencer par examiner si le numérateur est la dérivée du dénominateur.

Une entreprise de messagerie a déterminé que le rythme de variation de ses coûts d'entretien mensuels (en euros) est donné par la fonction de coût marginal $C'(x) = 0,09x^2 - 0,8x + 20$, où $x$ représente le nombre de camionnettes de la flotte. Si les coûts fixes (le coût lorsqu'il n'y a aucune camionnette) s'élèvent à $1500$ euros, déterminer la fonction de coût total $C(x)$.

Calculer l'intégrale de la fonction exponentielle suivante en ajustant la constante nécessaire pour que l'expression à intégrer coïncide avec la dérivée de la fonction composée :

Déterminer les primitives de la fonction trigonométrique donnée ci-dessous. Remarquer qu'un petit ajustement numérique est nécessaire pour se ramener à une primitive usuelle :

Déterminer une fonction $f(x)$ dont la dérivée est $f'(x) = \frac{1}{\sqrt{3x + 1}}$ et qui vérifie la condition $f(1) = 0$.

Résoudre l'intégrale suivante d'une fonction rationnelle dont la primitive fait intervenir la fonction arc tangente. Penser à transformer le dénominateur pour qu'il ait la forme $1 + [g(x)]^2$ :

Calculer les primitives de la fonction suivante à l'aide des propriétés des puissances et de la linéarité de l'intégrale :

Une coopérative agricole de Jaén spécialisée dans la mise en bouteille d'huile d'olive vierge extra estime que le coût marginal de conditionnement (en centaines d'euros par millier de litres) suit la fonction :

où $x$ est le volume conditionné en milliers de litres ($x \ge 1$). On sait que le coût fixe initial de mise en route des machines avant de traiter le premier millier de litres ($x = 1$) est de $12$ centaines d'euros, c'est-à-dire $C(1) = 12$.

1. a) Modéliser la fonction de coût total $C(x)$ en déterminant la constante d'intégration correspondante à l'aide des primitives usuelles.
2. b) Justifier pourquoi, dans la primitive du terme $-\frac{1}{x}$, il n'est pas indispensable d'écrire la valeur absolue dans ce cas précis, au vu du contexte et de l'ensemble de définition de la variable $x$.
3. c) Calculer le coût total prévu pour un lot de $x = 4$ milliers de litres (utiliser l'approximation $\ln 4 \approx 1,39$).

La Sécurité routière surveille le rythme d'entrée des véhicules aux accès de Paris par l'autoroute A6 lors d'une période de retours de vacances. Entre les minutes $t = 1$ et $t = 9$, le rythme d'afflux (en dizaines de véhicules par minute) est donné par la fonction :

On souhaite calculer le nombre total cumulé de véhicules $N(t)$ qui entrent sur la voie à partir de la minute $t = 1$, de sorte que $N(1) = 0$.

1. a) Avant d'intégrer, estimer le nombre total de véhicules qui entreront pendant ces $8$ minutes : calculer le rythme aux extrémités $r(1)$ et $r(9)$, calculer la moyenne arithmétique de ces deux rythmes et la multiplier par la durée de l'intervalle ($\Delta t = 8$ minutes).
2. b) Déterminer la fonction $N(t)$ en décomposant le quotient en somme de puissances et en intégrant avec la condition $N(1) = 0$.
3. c) Calculer la valeur exacte de $N(9)$ et apprécier si l'estimation préalable était raisonnable, en expliquant pourquoi la moyenne linéaire surestime ou sous-estime légèrement la valeur réelle en raison de la concavité ou de la convexité du rythme.

Une célèbre entreprise de développement d'applications mobiles a déterminé que le rythme de croissance de ses revenus quotidiens (en centaines d'euros) est donné par la fonction de revenu marginal $f'(x) = 3x^2 \cdot e^{x^3} + \frac{2x}{x^2+1}$, où $x$ représente le temps en semaines depuis le lancement de sa dernière mise à jour. Sachant qu'au moment du lancement ($x=0$) les revenus cumulés étaient de 500 euros ($5$ unités dans la fonction), déterminer l'expression de la fonction de revenus totaux $f(x)$.

Calculer la primitive de la fonction $g(x) = \frac{x^3 - 2x^2 + 5x - 3}{x^2 + 4}$ dont la courbe passe par le point $P(0 ; 1)$. Indication : effectuer d'abord la division de polynômes pour décomposer la fraction.

Un « influenceur » analyse la vitesse de perte d'abonnés sur un réseau social après une polémique. La fonction qui décrit cette variation est $s'(t) = \frac{-6t}{(t^2+3)^2} - \cos(2t)$, où $t$ est le temps en jours. Si l'influenceur avait initialement $100\,000$ abonnés, déterminer la fonction $s(t)$ qui permet de calculer le nombre d'abonnés à tout instant $t$.

Déterminer la famille de fonctions $F(x)$ dont la dérivée est $f(x) = \frac{5}{1+9x^2} + \sqrt[3]{x^2}$. Parmi elles, identifier celle dont la tangente au point d'abscisse $x=0$ a pour équation $y = 5x - 2$.

Déterminer les primitives de la fonction $h(x) = \frac{(e^x + 2)^2}{e^x} + \sin(x) \cdot \cos^4(x)$. Pour cela, essayer de simplifier le premier terme en développant le carré et en séparant la fraction, et repérer la forme de la dérivée d'une fonction composée dans le second terme.

Le coût marginal de production d'une usine de trottinettes électriques est défini par la fonction $C'(q) = \frac{100}{2q+10} + 15$, où $q$ est le nombre de trottinettes fabriquées. Si les coûts fixes de l'usine (le coût lorsque $q=0$) s'élèvent à $2\,500$ euros, déterminer la fonction de coût total $C(q)$. À combien s'élèverait le coût total si l'on fabrique $50$ trottinettes ?

Déterminer la fonction $f(x)$ sachant que sa dérivée seconde est $f''(x) = 12x^2 - 6x + 2$ et que sa courbe passe par le point $A(1 ; 10)$, où le coefficient directeur de la tangente vaut $5$.

Calculer l'intégrale indéfinie suivante à l'aide des propriétés des puissances et des primitives usuelles :

Déterminer ensuite la primitive qui prend la valeur $4$ lorsque $x=1$.

Un service d'analyse financière détermine que la fonction qui modélise le bénéfice cumulé $B(x)$ d'un fonds d'investissement (en milliers d'euros, avec $x > 0$) admet une famille de primitives donnée par l'expression :

1. a) Résoudre le problème inverse : déterminer la fonction marginale initiale $b(x) = B'(x)$ et l'écrire sous la forme d'une seule fraction $\frac{P(x)}{x^2}$, où $P(x)$ est un polynôme écrit sous forme développée. Indiquer le degré et les coefficients de $P(x)$.
2. b) Démontrer théoriquement qu'aucune fonction de la forme $\frac{Q(x)}{x^2}$, où $Q(x)$ est un polynôme, ne peut donner, une fois intégrée, un terme contenant la fonction $\arctan(x)$. Fonder la justification sur le tableau des dérivées et des primitives usuelles et sur les puissances entières obtenues en divisant par un monôme.
3. c) Sachant qu'au bout de $x = 1$ an le bénéfice cumulé est de $B(1) = 20$ milliers d'euros, déterminer la constante $C$ et justifier si la fonction marginale $b(x)$ admet un point d'inflexion dans l'intervalle $]0\,;+\infty[$ en étudiant le signe de sa dérivée seconde.

RTE enregistre la variation instantanée de la consommation électrique d'une zone industrielle pendant la nuit au moyen de la fonction $D'(t)$ (en mégawatts par heure, MW/h), où $t \in [1 ; 6]$ représente les heures écoulées depuis minuit :

1. a) Décomposer algébriquement le quotient en puissances de $t$ et déterminer la fonction générale de consommation cumulée $D(t)$ à l'aide des primitives usuelles.
2. b) Dans la décomposition apparaît le terme $-\frac{5}{t} = -5t^{-1}$. Justifier rigoureusement pourquoi il n'est pas possible d'appliquer la formule des puissances $\int t^n \, dt = \frac{t^{n+1}}{n+1}$ à ce terme : expliquer quel problème mathématique apparaît si l'on remplace $n = -1$ et quelle fonction résout cette indétermination, et pourquoi.
3. c) Si à une heure du matin ($t = 1$) le compteur indiquait une consommation cumulée de $D(1) = 4e + \frac{5\pi}{2}$ mégawattheures (MWh), calculer la valeur exacte de la constante d'intégration $C$ en simplifiant les expressions symboliques faisant intervenir $e$ et $\pi$ (rappel : $\arctan(1) = \frac{\pi}{4}$ rad), et écrire l'expression finale de $D(t)$.