Exercices: Fonctions exponentielle et logarithme

Sans les représenter, indiquer lesquelles de ces fonctions exponentielles sont croissantes et lesquelles sont décroissantes, en justifiant la réponse à partir de la base :

1. a) $f(x) = 3^{x}$

1. b) $g(x) = 0,5^{x}$

1. c) $h(x) = e^{x}$

1. d) $i(x) = \left(\frac{1}{4}\right)^{x}$

1. e) $j(x) = 1,03^{x}$

Toute fonction exponentielle $f(x) = a^{x}$ (avec $a > 0$ et $a \neq 1$) passe par un même point, et toute fonction logarithme $g(x) = \log_{a} x$ passe par un autre. Quels sont ces points ? Les démontrer en calculant $f(0)$ et $g(1)$ pour une base quelconque.

Indiquer l'équation de l'asymptote de chaque fonction et préciser son type (horizontale ou verticale) :

1. a) $f(x) = 2^{x}$

1. b) $g(x) = 5^{-x}$

1. c) $h(x) = \log_{3} x$

1. d) $i(x) = \ln x$

Soient $f(x) = 3^{x}$ et $g(x) = \log_{2} x$. Calculer, sans calculatrice :

1. a) $f(-2)$, $f(0)$ et $f(3)$

1. b) $g(8)$, $g(1)$ et $g\left(\frac{1}{2}\right)$

Associer chaque phénomène au type de modèle exponentiel qui le décrit le mieux, croissant (base supérieure à $1$) ou décroissant (base comprise entre $0$ et $1$), et justifier le choix :

• Le refroidissement d'une tasse de café jusqu'à atteindre la température ambiante.

• Le capital d'un compte d'épargne à intérêts composés.

• La radioactivité restante d'une source médicale au fil des années.

• Le nombre de personnes touchées par une chaîne de solidarité dans laquelle chaque personne prévient trois amis.

Déterminer l'ensemble de définition des fonctions suivantes :

1. a) $f(x) = \log(x - 3)$

1. b) $g(x) = 2^{x - 1}$

1. c) $h(x) = \ln(10 - x)$

1. d) $i(x) = e^{x} + 1$

Indiquer l'ensemble image des fonctions suivantes, en justifiant à partir des courbes de $f(x) = 2^{x}$ et de $g(x) = \log x$ :

1. a) $f(x) = 2^{x}$

1. b) $g(x) = 2^{x} - 1$

1. c) $h(x) = \log x$

1. d) $i(x) = \log x + 2$

La courbe d'une fonction exponentielle $f(x) = a^{x}$ passe par le point $(2 ; 9)$.

1. a) Quelle est la valeur de la base $a$ ?

1. b) Avec la base trouvée, calculer $f(3)$ et $f(-1)$.

1. c) Par quel point la courbe passe-t-elle quelle que soit la valeur de $a$ ?

Marc résout deux exercices sur les fonctions et commet des erreurs conceptuelles fréquentes :

1. a) Pour trouver l'ensemble de définition de la fonction $f(x) = \log_3(x - 5)$, Marc affirme : « Comme dans les fractions on ne peut pas diviser par zéro, ici le seul nombre interdit est celui qui annule la parenthèse, c'est-à-dire $x - 5 = 0 \implies x = 5$ ; donc $\text{Dom}(f) = \mathbb{R} \setminus \{5\}$ ». Expliquer en justifiant pourquoi le raisonnement de Marc est incorrect, quelle condition un logarithme exige réellement et quel est l'ensemble de définition correct de $f$.

1. b) Pour résoudre l'équation $4^x = -2$, Marc écrit : « Je passe le $4$ en divisant et il reste $x = \dfrac{-2}{4} = -0,5$ ». Expliquer pourquoi cette manipulation n'a pas de sens mathématique et justifier, à partir de l'ensemble image de la fonction exponentielle, combien de solutions réelles possède cette équation.

Résoudre les questions suivantes en construisant les fonctions à partir de leurs propriétés géométriques :

1. a) Écrire la formule d'une fonction exponentielle de la forme $f(x) = a^x$ sachant qu'elle est décroissante et que sa courbe passe par le point $(-2\,;\,9)$. Justifier le choix de la valeur de la base $a$.

1. b) Écrire l'expression de la fonction logarithme $g(x) = \log_b x$ qui est la réciproque de la fonction $f(x)$ obtenue à la question précédente. Par quel point du plan la courbe de $g(x)$ passe-t-elle nécessairement, sans faire aucun calcul ?

1. c) Indiquer en justifiant l'équation de l'asymptote de $f(x)$ et celle de $g(x)$, en précisant dans chaque cas s'il s'agit d'une asymptote horizontale ou verticale.

Considérer la fonction exponentielle $f(x) = 2^{x}$.

1. a) Recopier et compléter le tableau de valeurs de la fonction pour $x \in \{-2, -1, 0, 1, 2, 3\}$.

1. b) Quels sont l'ensemble de définition et l'ensemble image de la fonction ? Est-elle croissante ou décroissante ?

1. c) Quelle droite est son asymptote ? La courbe la touche-t-elle en un point ? Justifier la réponse.

Sur la figure apparaissent les courbes de $f(x) = 3^{x}$ et $g(x) = \left(\frac{1}{3}\right)^{x}$.

1. a) En quel point se coupent-elles ? Justifier que toute exponentielle de la forme $h(x) = a^{x}$ passe par ce même point.

1. b) Par rapport à quel axe les deux courbes sont-elles symétriques ? Le vérifier en calculant $f(2)$ et $g(-2)$.

1. c) Sans la représenter, décrire la courbe de $k(x) = 0,7^{x}$ : sens de variation, asymptote et position par rapport aux deux précédentes.

La figure montre la courbe de la fonction logarithme $f(x) = \log_{2} x$. Chaque carreau du quadrillage mesure 1 unité sur les deux axes.

1. a) Indiquer son ensemble de définition et son ensemble image.

1. b) Quelle est son asymptote et de quel type est-elle ?

1. c) Calculer $f(16)$ et $f\left(\frac{1}{4}\right)$ à partir de la définition du logarithme et vérifier qu'ils correspondent à la courbe.

1. d) Cela a-t-il un sens de calculer $f(-2)$ ? Pourquoi ?

À partir de la courbe de $f(x) = 2^{x}$ (en bleu), on a tracé celle de $g(x) = 2^{x} + 3$ (en vert), comme on le voit sur la figure.

1. a) Quelle transformation relie les deux courbes ?

1. b) Quelle est l'asymptote horizontale de $g$ ? Et son ensemble image ?

1. c) Écrire l'expression de la fonction dont la courbe est celle de $f$ décalée de $2$ unités vers la gauche, et indiquer son asymptote.

La valeur d'une voiture suit le modèle $V(t) = 24\,000 \cdot 0,85^{t}$, avec $t$ en années.

1. a) Quel était le prix de la voiture neuve ?

1. b) Calculer la valeur au bout de $5$ ans, en arrondissant à l'euro.

1. c) La voiture perd-elle la même valeur chaque année ? Calculer ce qu'elle perd durant la première année et ce qu'elle perd entre la quatrième et la cinquième année, puis expliquer la différence.

Le graphique montre le pourcentage de carbone 14 restant dans un échantillon au cours du temps.

1. a) Quel pourcentage reste-t-il au bout de $5\,730$ ans ? Comment appelle-t-on cette durée ?

1. b) Lire sur le graphique le pourcentage restant au bout de $17\,190$ ans (repéré par « ? ») et le vérifier en calculant combien de demi-vies se sont écoulées.

1. c) Encadrer entre quelles deux graduations de l'axe du temps se situe l'instant où il reste moins de $1 \%$ et le justifier.

La figure montre la courbe de $f(x) = \log_{2}(x + 2)$.

1. a) Quel est l'ensemble de définition de $f$ ? Le relier à la zone grisée et à l'asymptote de la courbe.

1. b) Quel est son ensemble image ?

1. c) Déterminer, sans les représenter, l'ensemble de définition de ces fonctions : $g(x) = \log_{2}(x - 5)$, $h(x) = \ln(4 - x)$, $i(x) = \log(2x + 8)$.

Déterminer l'ensemble de définition des fonctions suivantes :

1. a) $f(x) = 2^{x - 1}$

1. b) $g(x) = e^{\frac{1}{x}}$

1. c) $h(x) = \ln(x^{2} - 4)$

1. d) $i(x) = \log_{3} x + \sqrt{x + 1}$

1. e) $j(x) = \frac{1}{1 - 2^{x}}$

Un plan d'épargne retraite commercialisé en France offre un rendement moyen estimé à $7\,\%$ par an en intérêts composés. Si l'on effectue un versement initial de $2\,500$ €, le capital accumulé au bout de $t$ ans est donné par la fonction $C(t) = 2\,500 \cdot 1,07^t$. On souhaite savoir combien d'années doivent s'écouler pour doubler le capital investi (atteindre $5\,000$ €).

1. a) Avant de calculer avec les logarithmes, faire une estimation : sachant que $1,07^2 \approx 1,14$ et que $1,07^{10} \approx 1,97$, encadrer le temps nécessaire entre deux nombres entiers consécutifs d'années. Justifier cette estimation.

1. b) Poser l'équation correspondante et la résoudre pas à pas à l'aide des logarithmes pour déterminer la valeur exacte de $t$ (arrondir le résultat au dixième).

1. c) Vérifier si le résultat obtenu confirme l'estimation initiale et apprécier s'il est cohérent avec la règle financière des 72 (qui prédit que le temps de doublement à $r\,\%$ par an est d'environ $\dfrac{72}{r}$).

D'après les données de l'Institut national de la statistique espagnol (INE), une commune rurale de Castille-et-León comptait $1\,200$ habitants au 1er janvier 2015. En raison de l'exode des jeunes et du vieillissement de la population, sa population diminue à un rythme d'environ $3\,\%$ par an, selon le modèle $P(t) = 1\,200 \cdot 0,97^t$, où $t$ est le temps en années écoulées depuis 2015.

1. a) Interpréter dans le contexte du problème la signification du coefficient $1\,200$ et de la base $0,97$. Justifier, à partir de la base, pourquoi la fonction est strictement décroissante.

1. b) L'administration considère qu'une commune entre en risque sévère de dépeuplement si elle passe sous les $800$ habitants. Si la tendance se maintient, en quelle année civile cette commune atteindra-t-elle ce seuil critique ? Poser et résoudre l'équation correspondante à l'aide des logarithmes.

1. c) Un titre de presse locale affirme : « À ce rythme constant de perte de $3\,\%$ chaque année, dans 34 ans le village aura perdu $102\,\%$ de ses habitants et aura complètement disparu ». Justifier la fausseté mathématique de cette affirmation en s'appuyant sur les propriétés de la décroissance exponentielle et des asymptotes horizontales.

Le carbone 14 se désintègre de sorte que la quantité restante dans un échantillon suit le modèle $N(t) = N_0 \cdot 0,5^{t/5\,730}$, où $t$ est le temps en années et $N_0$ la quantité initiale. Une équipe d'archéologues analyse un fragment d'os découvert dans une grotte.

1. a) Quel pourcentage de carbone 14 restera-t-il au bout de $2\,000$ ans ? Arrondir au dixième.

1. b) Si le fragment conserve $38 \%$ du carbone 14 d'origine, poser l'équation permettant de déterminer son âge et la résoudre à l'aide des logarithmes.

1. c) Un titre de presse affirme : « au bout de $11\,460$ ans, il ne reste plus de carbone 14, car deux périodes de demi-vie se sont écoulées ». Expliquer pourquoi c'est faux et calculer le pourcentage réel restant à cet instant.

La concentration d'un médicament dans le sang, en mg/l, évolue selon le modèle $C(t) = 120 \cdot 0,82^{t}$, où $t$ est le nombre d'heures écoulées depuis son administration.

1. a) Quelle était la concentration au moment de l'injection ? Et au bout de $6$ heures ? Arrondir au dixième.

1. b) Le médicament cesse d'être efficace lorsque la concentration descend sous $30$ mg/l. Poser l'inéquation correspondante et calculer, à l'aide des logarithmes, pendant combien d'heures l'effet dure.

1. c) Si un patient reçoit une seconde dose identique $12$ heures après la première, quelle concentration totale aura-t-il dans le sang juste après la nouvelle injection, en supposant que les concentrations s'additionnent ?

La population d'une ville côtière évolue selon le modèle $P(t) = 180\,000 \cdot 1,015^{t}$, où $t$ est le nombre d'années écoulées depuis 2025.

1. a) Quelle population peut-on prévoir en 2035 ? Arrondir à la centaine.

1. b) En quelle année la ville dépassera-t-elle $250\,000$ habitants ? Poser l'inéquation et la résoudre à l'aide des logarithmes.

1. c) Expliquer quelle hypothèse sur la croissance ce modèle sous-entend et justifier pourquoi il pourrait cesser d'être réaliste à très long terme.

En représentant ensemble les fonctions $f(x) = 2^{x}$ et $g(x) = 2^{-x}$, une élève affirme : « elles sont symétriques par rapport à l'axe $X$, car l'une est l'exponentielle et l'autre son opposée ». Évaluer cette affirmation en justifiant : indiquer si elle est vraie ou fausse, faire un schéma des deux courbes, expliquer par rapport à quel axe elles sont réellement symétriques et le confirmer en comparant $f(2)$ et $g(-2)$.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Deux analystes d'une application de musique débattent de l'évolution du nombre d'utilisateurs. Le premier propose un modèle linéaire et le second un modèle exponentiel ; les deux modèles partent de $100$ utilisateurs à la semaine $0$ et sont représentés sur la figure.

1. a) La droite passe par les points $(0 ; 100)$ et $(10 ; 1\,000)$ : écrire son équation.

1. b) La courbe exponentielle est de la forme $u(t) = 100 \cdot a^{t}$ et passe par le point $(5 ; 420)$ : calculer la base $a$ à l'aide des logarithmes et arrondir au millième.

1. c) Avec les deux modèles complets, déterminer entre quelles deux semaines consécutives la prévision exponentielle dépasse la prévision linéaire, le vérifier sur la figure et expliquer la différence entre les deux prévisions à long terme.

Le niveau d'intensité sonore se mesure en décibels (dB) avec l'échelle logarithmique $L = 10 \cdot \log \frac{I}{I_0}$, où $I_0 = 10^{-12}\ \text{W/m}^{2}$ est le seuil d'audition.

1. a) Calculer le niveau, en dB, d'une conversation normale dont l'intensité est $I = 10^{-6}\ \text{W/m}^{2}$.

1. b) Le seuil de douleur est de $130$ dB. Quelle est l'intensité correspondante ? L'exprimer comme puissance de $10$.

1. c) Combien de fois plus intense est le son d'un concert de $110$ dB que celui d'une bibliothèque de $40$ dB ? Expliquer pourquoi, même si l'écart n'est que de « seulement » $70$ dB, l'intensité est multipliée par $10^{7}$.

Avec une inflation annuelle de $3 \%$, le pouvoir d'achat de $1\,000\ \text{ €}$ gardés « sous le matelas » évolue selon $V(t) = 1\,000 \cdot 1,03^{-t}$, où $t$ est le nombre d'années écoulées.

1. a) Calculer le pouvoir d'achat au bout de $5$ ans, arrondi au centime.

1. b) Combien d'années doivent s'écouler pour que cet argent « vaille » la moitié ? Poser l'équation et la résoudre à l'aide des logarithmes.

1. c) Représenter approximativement la fonction pour $t \in [0, 30]$ (échelle suggérée : $1$ cm $= 5$ ans sur l'axe horizontal et $1$ cm $= 100\ \text{ €}$ sur l'axe vertical) et y placer les résultats des questions précédentes.

La valeur d'une voiture électrique neuve de $32\,000\ \text{ €}$ suit le modèle exponentiel $V(t) = 32\,000 \cdot 0,85^{t}$, avec $t$ en années.

1. a) Quelle sera sa valeur au bout de $4$ ans ? Arrondir à l'euro.

1. b) Un concessionnaire propose de la racheter lorsque sa valeur passe sous $12\,000\ \text{ €}$. Combien de temps s'écoulera-t-il jusque-là ? Utiliser les logarithmes.

1. c) Un autre vendeur utilise un modèle linéaire selon lequel la voiture perd $4\,500\ \text{ €}$ de valeur chaque année. Comparer la valeur donnée par chaque modèle au bout de $4$ ans et expliquer lequel des deux avantage le propriétaire qui souhaite la vendre à moyen terme.

On propose de résoudre en classe l'équation exponentielle $4^x - 5 \cdot 2^x + 4 = 0$. Deux élèves suggèrent des méthodes différentes :

• Alba suggère d'appliquer directement les logarithmes aux deux membres pour « faire descendre » les exposants dès le début : $\log(4^x - 5 \cdot 2^x + 4) = \log(0)$.

• Borja suggère d'exprimer $4^x$ sous la forme $(2^x)^2$ et d'effectuer le changement de variable $u = 2^x$.

1. a) Évaluer la méthode d'Alba : indiquer deux raisons mathématiques rigoureuses pour lesquelles sa démarche n'est pas applicable (l'une relative à l'ensemble de définition de la fonction logarithme et l'autre relative aux propriétés opératoires du logarithme d'une somme ou d'une différence).

1. b) Développer complètement la méthode de Borja pour trouver les solutions réelles de l'équation, en justifiant chaque étape lors du retour à la variable initiale grâce à la définition du logarithme.

1. c) Si l'équation avait été $4^x - 5 \cdot 2^x - 6 = 0$, le changement de variable aurait conduit à $u_1 = 6$ et $u_2 = -1$. Justifier pourquoi la valeur $u_2 = -1$ doit être écartée, en reliant votre explication à l'ensemble image de la fonction exponentielle $g(x) = 2^x$.

L'atténuation du signal lumineux dans une liaison interurbaine en fibre optique est modélisée par une fonction exponentielle décroissante $I(x) = I_0 \cdot a^x$, où $x$ représente la distance parcourue par la lumière en kilomètres et $I(x)$ la puissance du signal reçu en milliwatts ($\text{mW}$).

À la station émettrice ($x = 0$), le signal part avec une puissance de $100\text{ mW}$. En arrivant à une station de contrôle située à $15\text{ km}$, on constate que la puissance est exactement réduite à $25\text{ mW}$.

1. a) Déduire en justifiant les valeurs exactes de $I_0$ et de la base $a$. Exprimer $a$ comme une puissance de base irréductible (sans recourir à des valeurs approchées décimales) et écrire l'expression complète de $I(x)$.

1. b) Les amplificateurs de signal disponibles nécessitent que la puissance lumineuse qui leur parvient soit d'au moins $1,5\text{ mW}$ pour pouvoir traiter les données sans pertes. Poser et résoudre à l'aide des logarithmes la question de la distance maximale à laquelle on peut placer l'amplificateur par rapport à la station émettrice. Arrondir au dixième de kilomètre.

1. c) Construire la fonction réciproque $x(I)$ qui permet de calculer la distance parcourue en fonction de l'intensité finale observée. Déterminer son ensemble de définition mathématique et celui qui a un sens dans le contexte de cette liaison en fibre, en justifiant par le calcul de quel type de fonction il s'agit.

Défi du thème. Quel est l'impact de l'inflation sur l'économie des familles ? Vous allez modéliser l'évolution du coût de la vie réel à l'aide de fonctions.

1. Données et interpolation : Rendez-vous sur le site de l'INSEE (insee.fr) et relevez l'indice des prix à la consommation moyen annuel des $5$ dernières années. Appliquez une interpolation linéaire pour estimer l'indice à un semestre intermédiaire, puis ajustez les données à un modèle exponentiel $f(t) = a \cdot b^t$.

2. Réciproque et opérations : Obtenez par le calcul la fonction réciproque $f^{-1}$ à l'aide des logarithmes pour déterminer en quelle année l'indice dépassera une augmentation de $50\,\%$. Modélisez l'erreur d'ajustement au moyen d'une fonction définie par morceaux qui intègre la valeur absolue de l'écart, $E(t) = |f(t) - y_{\text{réel}}|$, et analysez si une fonction racine $g(t) = k \cdot \sqrt{t}$ décrirait mieux des périodes de stagnation.

3. Étude et production finale : Représentez les fonctions avec GeoGebra ou un tableur. Réalisez l'étude complète pas à pas : ensemble de définition, ensemble image, asymptotes, points d'intersection avec les axes et signe. Rendez un rapport synthétique d'une page avec vos graphiques et une appréciation critique des résultats.

Seront évalués :

• La précision mathématique dans l'interpolation linéaire et le calcul des réciproques logarithmiques.

• La rigueur dans l'étude analytique (ensemble de définition, ensemble image, signe, fonctions définies par morceaux et valeur absolue).

• La qualité technique de la représentation graphique avec GeoGebra ou le tableur.

• La cohérence et l'esprit critique dans les conclusions socio-économiques du rapport.