Exercices: Ajustement non linéaire et causalité

Dans un ajustement linéaire par la méthode des moindres carrés, on a obtenu un coefficient de corrélation $r = -0,9$. Calculer le coefficient de détermination $r^2$ et interpréter sa signification : quel pourcentage de la variation de la variable $y$ est expliqué par la variation de $x$ ?

Les trois nuages de points de la figure correspondent à trois études différentes. Pour chacun d'eux, indiquer quel type de modèle semble le plus adapté — linéaire ($y = a + bx$), du second degré ($y = a + bx + cx^2$) ou exponentiel ($y = a \cdot b^x$) — et justifier brièvement votre choix.

Déterminer si l'affirmation suivante est vraie ou fausse : « Le coefficient de corrélation entre les ventes de glaces et le nombre de noyades en piscine est élevé et positif ; par conséquent, vendre plus de glaces provoque plus de noyades ». Si elle est fausse, expliquer l'erreur d'interprétation et nommer une variable qui pourrait expliquer les deux à la fois.

Dans deux études statistiques, on a obtenu les coefficients de corrélation $r_1 = 0,8$ et $r_2 = -0,95$. Lequel des deux ajustements linéaires permet de faire des prévisions plus fiables ? Expliquer pourquoi le signe du coefficient n'affecte pas la fiabilité.

Un observatoire de Météo-France dans une grande ville de l'intérieur du pays relève les températures lors d'une journée très chaude de juillet, de 8 h 00 ($x = 0$) à 20 h 00 ($x = 12$). Les thermomètres indiquent $21\,^\circ\text{C}$ en début de matinée, atteignent un maximum de $41\,^\circ\text{C}$ vers 16 h 00 ($x = 8$) et redescendent à $33\,^\circ\text{C}$ à 20 h 00. Une équipe d'élèves hésite entre trois modèles pour ajuster les données : le modèle linéaire $y = a + bx$, le modèle exponentiel $y = a \cdot b^x$ ($a > 0$, $b > 0$) et le modèle du second degré $y = ax^2 + bx + c$.

1. a) Comparer les propriétés graphiques et le sens de variation des trois modèles et écarter, en justifiant, deux d'entre eux en expliquant pourquoi leur comportement est physiquement incompatible avec l'évolution de la température sur cet intervalle.
2. b) Pour le modèle que vous avez jugé adapté, indiquer en justifiant quel doit être le signe du paramètre $a$ pour traduire l'existence d'une température maximale dans la journée.
3. c) Si le calcul du coefficient de corrélation linéaire donne une valeur faible de $r = 0,38$, un élève affirme : « Comme $r$ est si faible, il est démontré que l'heure de la journée n'influence presque pas la température ». Expliquer quelle erreur conceptuelle il commet en interprétant cette valeur de $r$.

Lucie étudie la dépréciation de la valeur d'un véhicule électrique sur le marché français de l'occasion en fonction de son ancienneté $x$ (en années). Pour ajuster un modèle exponentiel décroissant $y = a \cdot b^x$ ($y > 0$), elle applique la transformation par le logarithme népérien $z = \ln y$ et obtient par la méthode des moindres carrés la droite :

Dans les conclusions de son travail de fin d'année, Lucie écrit :

« Le prix de départ du véhicule neuf est de $a = 10,2$ euros et chaque année qui passe, sa valeur est multipliée par $b = -0,15$. Comme le coefficient de corrélation de la droite transformée est $r = -0,98$, le passage du temps est la cause directe et unique de toute la perte de valeur de l'automobile ».

1. a) Repérer les deux erreurs algébriques que commet Lucie en déduisant les paramètres $a$ et $b$ à partir de la droite linéarisée et calculer leurs valeurs correctes (on peut les laisser sous forme de puissances du nombre $e$ et donner une valeur approchée à deux décimales).
2. b) Repérer l'erreur conceptuelle dans son affirmation sur la causalité et proposer au moins une variable latente, indépendante de l'âge de la voiture, qui influence aussi de façon déterminante sa valeur de revente.

On soupçonne que la variable $y$ dépend de $x$ de façon quadratique. Avec les cinq données du tableau

on a calculé les sommes $\sum x_i = 10$, $\sum x_i^2 = 30$, $\sum x_i^3 = 100$, $\sum x_i^4 = 354$, $\sum y_i = 25$, $\sum x_i y_i = 60$ et $\sum x_i^2 y_i = 204$.

1. a) Poser le système de trois équations que doivent vérifier les coefficients de la parabole de régression $y = a x^2 + bx + c$.

1. b) Le résoudre et écrire l'équation de l'ajustement du second degré.

1. c) Estimer la valeur de $y$ pour $x = 5$ et commenter la fiabilité de cette prévision.

Le nombre d'utilisateurs d'une application croît de façon approximativement exponentielle : $y = a \cdot b^x$, où $x$ est le nombre de mois écoulés. En prenant les logarithmes népériens, $\ln y = \ln a + x \cdot \ln b$, de sorte que les couples $(x, \ln y)$ s'ajustent à une droite. Les données linéarisées sont :

1. a) Vérifier que les quatre points linéarisés sont exactement alignés sur une droite et déterminer son équation.

1. b) Déduire les valeurs de $a$ et $b$ (exprimer $a$ et $b$ comme puissances de $e$ et les approcher à deux décimales).

1. c) Estimer le nombre d'utilisateurs au bout de $6$ mois.

Pour les mêmes données, on a testé deux modèles : un ajustement linéaire avec $r = 0,84$ et un ajustement du second degré de coefficient de détermination $r^2 = 0,93$.

1. a) Calculer le coefficient de détermination du modèle linéaire.

1. b) Quel pourcentage de la variation de $y$ chaque modèle explique-t-il ?

1. c) Lequel choisiriez-vous pour faire des prévisions ? Justifier votre réponse.

Dans une ville, on observe une corrélation $r = 0,92$ entre le nombre de camions de pompiers qui se rendent sur un incendie et les dégâts économiques qu'il provoque. Un élu affirme : « Pour réduire les dégâts des incendies, nous devrions envoyer moins de camions de pompiers ». Analyser la faille de son raisonnement, identifier la variable qui explique la corrélation et formuler une conclusion correcte à partir de la même donnée.

À partir des données d'une série statistique à deux variables dans laquelle $x$ varie entre $10$ et $30$, avec $\bar{x} = 20$ et $r = 0,97$, on a obtenu une droite de régression. Deux élèves l'utilisent pour estimer $y$ : l'un pour $x = 22$ et l'autre pour $x = 55$.

1. a) Quelle estimation est la plus fiable ? Justifier la réponse en utilisant la position de chaque valeur par rapport à l'étendue des données et à $\bar{x}$.

1. b) Comment appelle-t-on le type de prévision faite en dehors de l'étendue des données et pourquoi est-elle risquée ?

La figure montre le pourcentage de foyers français disposant d'une connexion en fibre optique en fonction du nombre d'années écoulées depuis 2015 (données fictives).

1. a) Ajuster une droite de régression aux cinq premières données en utilisant les moyennes $\bar{x} = 4$, $\bar{y} = 64,6$ et les valeurs $s_{xy} = 55,2$, $s_x^2 = 8$.

1. b) Prévoir le pourcentage pour $x = 12$ (année 2027) avec cette droite.

1. c) En observant la forme du nuage de points complet, critiquer la validité de cette prévision à long terme : quelle borne naturelle la variable possède-t-elle et quel type de modèle serait le plus judicieux ?

Après avoir calculé un coefficient de corrélation $r = 0,4$, un élève écrit dans son compte rendu : « Comme $r = 0,4$, le $40\,\%$ de la variation de $y$ est dû à la variation de $x$ ». Repérer l'erreur conceptuelle, la corriger en calculant le pourcentage correct et déterminer si l'ajustement linéaire est adapté pour faire des prévisions avec ces données.

Dans un laboratoire de physique, on mesure la période $T$ d'un pendule en fonction de sa longueur $L$, et on soupçonne une relation de type puissance $T = a \cdot L^b$. En prenant les logarithmes, $\ln T = \ln a + b \cdot \ln L$. Les données linéarisées sont :

1. a) Ajuster une droite aux données linéarisées et écrire son équation.

1. b) Déduire les valeurs de $a$ et $b$.

1. c) Comparer la valeur obtenue de $b$ avec celle que prévoit la physique, $b = \frac{1}{2}$, et commenter le résultat.

Un groupe de biologistes surveille dans une zone humide de la Camargue la propagation d'une espèce végétale invasive. On mesure la surface touchée $y$ (en $\text{m}^2$) en fonction du temps écoulé $x$ (en semaines) depuis le début du suivi, ce qui donne les mesures suivantes :

• À $x = 0$ semaines : $y = 10\text{ m}^2$.

• À $x = 2$ semaines : $y = 40\text{ m}^2$.

• À $x = 4$ semaines : $y = 160\text{ m}^2$.

1. a) Observer la façon dont les données varient et estimer intuitivement quelle surface occupera la plante invasive à $x = 5$ semaines et à $x = 6$ semaines, en expliquant le raisonnement utilisé.
2. b) Pour vérifier mathématiquement votre estimation, appliquer la transformation logarithmique $z = \ln y$ aux trois couples de données. Démontrer que les points transformés $(x, z)$ sont parfaitement alignés sur une droite $z = \ln a + x \cdot \ln b$ et calculer les valeurs exactes des paramètres $a$ et $b$ du modèle exponentiel $y = a \cdot b^x$.
3. c) Remplacer $x = 5$ dans le modèle analytique obtenu, vérifier si le résultat coïncide avec votre estimation préalable et déterminer si ce modèle exponentiel reste vraisemblable pour prévoir la surface occupée au bout d'une année complète ($x = 52$ semaines), compte tenu des limites physiques de l'écosystème.

La Sécurité routière réalise des essais pour modéliser la distance totale de freinage d'urgence $y$ (en mètres) d'une voiture sur chaussée mouillée en fonction de la vitesse initiale $x$ (mesurée en dizaines de km/h, c'est-à-dire que $x = 2$ représente $20\text{ km/h}$). Les résultats expérimentaux sont les suivants :

• Pour $x = 2$ : $y = 4\text{ m}$.

• Pour $x = 4$ : $y = 16\text{ m}$.

• Pour $x = 8$ : $y = 64\text{ m}$.

1. a) On soupçonne que la relation suit un modèle de type puissance $y = a \cdot x^b$. Appliquer la double transformation par le logarithme népérien ($w = \ln x$ et $z = \ln y$) et exprimer les coordonnées transformées $(w_i, z_i)$ en fonction de $\ln 2$.
2. b) Vérifier que les trois points transformés appartiennent à une même droite $z = \ln a + b \cdot w$, calculer algébriquement son coefficient directeur $b$ et son ordonnée à l'origine $\ln a$, puis écrire l'équation définitive du modèle de type puissance $y = f(x)$.
3. c) Interpréter la valeur numérique de l'exposant $b$ en s'appuyant sur la physique (formule de l'énergie cinétique, $E_c = \frac{1}{2}m v^2$). Pourquoi ce modèle met-il en évidence que doubler la vitesse de conduite entraîne une augmentation bien plus forte du risque lors d'un choc ?

La consommation d'une voiture électrique, en $\text{kWh}$ pour $100\ \text{km}$, a été mesurée à différentes vitesses et les données figurent dans la figure :

1. a) Représenter mentalement (ou esquisser) le nuage de points et justifier pourquoi un modèle du second degré est plus adapté qu'un modèle linéaire.

1. b) Calculer les sommes nécessaires $\sum x_i$, $\sum x_i^2$, $\sum x_i^3$, $\sum x_i^4$, $\sum y_i$, $\sum x_i y_i$, $\sum x_i^2 y_i$ et poser le système de l'ajustement du second degré.

1. c) Résoudre le système et écrire l'équation de la parabole de régression (arrondir les coefficients à quatre décimales).

1. d) Déterminer la vitesse de consommation minimale selon le modèle et prévoir la consommation à $140\ \text{km/h}$, en évaluant la fiabilité de cette prévision.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Dans plusieurs districts d'une région européenne, on a observé une corrélation $r = 0,85$ entre le nombre de cigognes recensées et le nombre de naissances enregistrées.

1. a) Expliquer pourquoi il serait absurde de conclure que les cigognes « apportent » les bébés, en identifiant le type de corrélation que présente cet exemple.

1. b) Proposer une variable cachée plausible qui explique la corrélation et justifier comment elle agit sur les deux variables.

1. c) Concevoir brièvement quelles données vous recueilleriez et quel calcul vous feriez pour démasquer la relation fallacieuse.

Dans une série statistique à deux variables, la droite de régression de $y$ en $x$ a pour coefficient directeur $m_{yx} = 1,2$ et la droite de régression de $x$ en $y$ a pour coefficient directeur $m_{xy} = 0,75$.

1. a) À l'aide de la relation $m_{yx} \cdot m_{xy} = r^2$, calculer le coefficient de détermination.

1. b) Déduire la valeur du coefficient de corrélation $r$, en justifiant son signe.

1. c) Interpréter la valeur de $r^2$ comme pourcentage de variation expliquée et évaluer la fiabilité des prévisions faites avec ces droites.

La surface d'un lac couverte par une plante invasive a été mesurée pendant $5$ mois :

1. a) Représenter les couples $(x, \ln y)$, vérifier qu'ils sont raisonnablement alignés et ajuster une droite aux données linéarisées (prendre $\ln y$ avec deux décimales).

1. b) Écrire le modèle exponentiel $y = a \cdot b^x$ correspondant et calculer le taux de croissance mensuel en pourcentage.

1. c) Prévoir la surface couverte au mois $8$ et, sachant que le lac a une surface de $1\,500\ \text{m}^2$, commenter le problème que pose l'extrapolation de ce modèle à long terme.

Pour modéliser la trajectoire d'un projectile lors d'un essai balistique, on prélève un échantillon de $N = 5$ points dont les abscisses sont symétriques par rapport à l'origine : $x_1 = -2$, $x_2 = -1$, $x_3 = 0$, $x_4 = 1$ et $x_5 = 2$. On souhaite ajuster une parabole par la méthode des moindres carrés $y = ax^2 + bx + c$, dont le système général d'équations normales est :

1. a) Calculer les sommes $\sum x_i$, $\sum x_i^2$, $\sum x_i^3$ et $\sum x_i^4$. Expliquer quelle propriété de la symétrie des $x_i$ fait que le paramètre $b$ soit complètement découplé de $a$ et $c$, ce qui simplifie le système de 3 équations en deux blocs indépendants.
2. b) Poser le problème inverse : on veut que la courbe ajustée ait son sommet en $(0, 4)$ avec la concavité tournée vers le bas, ce qui donne exactement le modèle $y = -0,5x^2 + 4$. Si la somme des ordonnées observées est $\sum y_i = 15$, déduire quelle valeur exacte doit prendre la somme pondérée $\sum x_i^2 y_i$ pour que le modèle vérifie le système des moindres carrés.
3. c) Construire un tableau avec cinq valeurs concrètes $(x_i, y_i)$ qui vérifient simultanément la symétrie $y_1 = y_5$, $y_2 = y_4$, $\sum y_i = 15$ et qui correspondent à cette parabole. Si l'on calculait le coefficient de corrélation linéaire usuel $r$ pour ces 5 points, quelle valeur exacte obtiendrait-on ? Expliquer le paradoxe apparent entre la valeur de $r$ et la force de la dépendance fonctionnelle existante.

Une étude de l'INSEE sur le développement socio-économique des communes de la France rurale analyse la relation entre la couverture en fibre optique ($x$, en $\%$ de foyers raccordés) et la productivité agricole moyenne ($y$, en milliers d'euros par exploitation et par an). Pour ajuster les données de 50 communes, une équipe d'économètres essaie deux linéarisations logarithmiques :

• Option 1 (régression de $\ln y$ en $x$) : elle obtient la droite $z = 1,38 + 0,02 x$ avec un coefficient de détermination $R_1^2 = 0,82$.

• Option 2 (régression de $\ln y$ en $\ln x$) : elle obtient la droite $z = 0,69 + 0,55 w$ (où $w = \ln x$) avec un coefficient de détermination $R_2^2 = 0,95$.

1. a) Défaire algébriquement les transformations et écrire l'expression explicite $y = f(x)$ correspondant à chacun des deux modèles (on peut approcher à deux décimales les coefficients faisant intervenir des puissances de $e$).
2. b) Analyser le comportement du taux de croissance de la productivité dans les deux modèles lorsque la couverture en fibre $x$ devient très grande. Justifier lequel des deux reflète le mieux le principe économique des rendements décroissants (où chaque point de pourcentage supplémentaire de couverture apporte un gain de productivité de plus en plus faible) et le comparer au critère statistique que fournit le coefficient $R^2$.
3. c) Le maire d'une commune conclut en conseil municipal : « Puisque le modèle de type puissance présente un excellent ajustement de $R^2 = 0,95$, investir tout le budget disponible pour atteindre $100\,\%$ de fibre optique garantira directement que la productivité de nos agriculteurs atteigne le maximum prévu ». Formuler une critique méthodologique de cette conclusion en analysant pourquoi une corrélation n'implique pas une causalité et en signalant au moins deux variables cachées (ou facteurs de confusion) qui expliquent probablement à la fois une forte connectivité et une forte productivité.