Exercices: Satellites et corps célestes

La Station spatiale internationale (ISS) orbite à une altitude de $400\ \text{km}$ au-dessus de la surface terrestre. La vitesse orbitale d'un satellite en orbite circulaire est $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_T}{r}}$. Données : $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, masse de la Terre $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ et rayon terrestre $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$. Le schéma montre l'orbite de la station (sans échelle) :

1. a) Exprimer le rayon de l'orbite, $r = R_T + h$, en mètres.
2. b) Calculer la vitesse orbitale de l'ISS, en $\text{m/s}$, et l'exprimer en $\text{km/s}$.

La Lune, satellite naturel de la Terre, orbite à une distance moyenne entre centres de $r = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$. Données : $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ et $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calculer sa vitesse orbitale avec $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_T}{r}}$, en $\text{m/s}$.
2. b) La comparer à la vitesse orbitale de l'ISS, environ $7,7\ \text{km/s}$ : lequel des deux corps orbite le plus vite et pourquoi ?

La vitesse orbitale circulaire d'un satellite est $v = \sqrt{\frac{G\cdot M}{r}}$.

1. a) Justifier, à partir de l'expression, si un satellite plus éloigné du centre de la Terre orbite plus vite ou plus lentement qu'un satellite proche.
2. b) Si le rayon de l'orbite est multiplié par $4$, que devient la vitesse orbitale ? Le justifier avec l'expression.

Un satellite d'observation décrit une orbite circulaire de rayon $r = 6,77\cdot10^{6}\ \text{m}$ avec une vitesse orbitale de $7,67\ \text{km/s}$.

1. a) Écrire l'expression de la période en fonction du rayon et de la vitesse, $T = \frac{2\cdot\pi\cdot r}{v}$.
2. b) Calculer la période en secondes et l'exprimer en minutes.

Les satellites de télécommunications Hispasat sont géostationnaires.

1. a) Expliquer ce que signifie le fait qu'un satellite soit géostationnaire.
2. b) Indiquer les trois conditions que doit remplir son orbite : forme, plan qui la contient et période.
3. c) Justifier pourquoi un satellite géostationnaire ne peut pas rester « immobile » à la verticale de l'Espagne (latitude $40^\circ$), mais seulement à la verticale de l'équateur.

Sur une orbite rasante (très basse), le rayon orbital est approximativement égal au rayon terrestre, $r \approx R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$. Données : $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ et $g = 9,8\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calculer la vitesse orbitale rasante avec $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_T}{R_T}}$, en $\text{km/s}$.
2. b) Vérifier que l'on obtient pratiquement la même valeur avec $v = \sqrt{g\cdot R_T}$ et expliquer, à partir de $g = \frac{G\cdot M_T}{R_T^2}$, pourquoi les deux expressions coïncident.

La Lune orbite autour de la Terre à une distance moyenne $r = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$ avec une vitesse orbitale de $1,02\ \text{km/s}$.

1. a) Calculer sa période orbitale avec $T = \frac{2\cdot\pi\cdot r}{v}$, en secondes.
2. b) L'exprimer en jours et la comparer à la durée d'une lunaison (environ quatre semaines).

Les antennes paraboliques de télévision par satellite sont installées fixes, pointant toujours vers le même point du ciel.

1. a) Expliquer, à l'aide des caractéristiques de l'orbite géostationnaire, pourquoi il n'est pas nécessaire que l'antenne suive le satellite.
2. b) Citer deux applications des satellites géostationnaires et justifier l'avantage que présente dans ces cas le fait que le satellite paraisse immobile.

Le télescope spatial Hubble décrit une orbite circulaire à $540\ \text{km}$ d'altitude. Données : $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ et $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Calculer sa vitesse orbitale, $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_T}{R_T + h}}$.
2. b) Calculer sa période orbitale, $T = \frac{2\cdot\pi\cdot r}{v}$, et l'exprimer en minutes.

La Station spatiale internationale effectue un tour d'orbite en $T = 92\ \text{min}$.

1. a) Calculer combien de tours complets elle effectue autour de la Terre en un jour ($24\ \text{h}$).
2. b) Justifier combien de levers et de couchers de Soleil les astronautes observent chaque jour.
3. c) Si la station orbitait à une altitude plus élevée, effectuerait-elle plus ou moins de tours par jour ? Justifier la réponse avec la troisième loi de Kepler.

Un satellite géostationnaire doit avoir une période $T = 24\ \text{h}$. En combinant $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_T}{r}}$ avec $T = \frac{2\cdot\pi\cdot r}{v}$, on obtient $r^3 = \frac{G\cdot M_T\cdot T^2}{4\cdot\pi^2}$. Données : $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ et $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$. Observer le schéma (sans échelle) :

1. a) Exprimer la période en secondes.
2. b) Calculer $r^3$ puis, en extrayant la racine cubique, le rayon de l'orbite géostationnaire.
3. c) Calculer l'altitude au-dessus de la surface, $h = r - R_T$, et l'exprimer en $\text{km}$.

Les satellites du système européen de navigation Galileo ont une période orbitale de $14\ \text{h}$. Utiliser $r^3 = \frac{G\cdot M_T\cdot T^2}{4\cdot\pi^2}$ avec $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ et $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Exprimer la période en secondes et calculer le rayon de l'orbite.
2. b) Calculer l'altitude des satellites au-dessus de la surface terrestre.
3. c) Calculer leur vitesse orbitale, $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_T}{r}}$.

À la surface de la Terre, $g_0 = 9,8\ \text{m/s}^2$, mais la gravité diminue avec l'altitude selon $g = \frac{G\cdot M_T}{r^2}$. L'ISS orbite avec $r = 6,77\cdot10^{6}\ \text{m}$. Données : $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ et $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$.

1. a) Calculer la valeur de $g$ sur l'orbite de l'ISS.
2. b) L'exprimer en pourcentage de la valeur à la surface.
3. c) À l'aide de ce résultat, expliquer pourquoi il n'est pas correct d'affirmer que dans l'ISS « il n'y a pas de gravité » et ce que signifie le fait que la station et son équipage soient en chute libre continue.

Phobos, la plus grande des lunes de Mars, orbite à seulement $r = 9,38\cdot10^{6}\ \text{m}$ du centre de la planète. Données : $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ et masse de Mars $M_M = 6,42\cdot10^{23}\ \text{kg}$.

1. a) Calculer sa vitesse orbitale, $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_M}{r}}$.
2. b) Calculer sa période, $T = \frac{2\cdot\pi\cdot r}{v}$, et l'exprimer en heures.
3. c) Mars tourne sur elle-même en $24,6\ \text{h}$, dans le même sens que celui dans lequel Phobos orbite. Justifier si Phobos, vu depuis la surface martienne, se lève à l'est ou à l'ouest.

Le satellite espagnol d'observation de la Terre PAZ décrit une orbite circulaire à $514\ \text{km}$ d'altitude. Données : $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ et $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

1. a) Calculer sa vitesse orbitale.
2. b) Calculer sa période et l'exprimer en minutes.
3. c) Calculer combien de tours complets autour de la Terre il effectue chaque jour.

Comparer la vitesse orbitale de l'ISS ($r_{ISS} = 6,77\cdot10^{6}\ \text{m}$) avec celle de la Lune ($r_L = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$) autour de la Terre.

1. a) Démontrer, à partir de $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_T}{r}}$, que le rapport des vitesses est $\frac{v_{ISS}}{v_L} = \sqrt{\frac{r_L}{r_{ISS}}}$.
2. b) Calculer ce rapport avec les données de l'énoncé.
3. c) Expliquer, à l'aide de la loi de la gravitation universelle, pourquoi les corps les plus éloignés orbitent plus lentement.

Un satellite artificiel décrit une orbite circulaire de rayon $r$ autour de la Terre, de masse $M_T$.

1. a) Justifier que la seule force qui s'exerce sur le satellite est la force gravitationnelle et qu'elle joue le rôle de force centripète ; écrire l'équation $\frac{G\cdot M_T\cdot m}{r^2} = \frac{m\cdot v^2}{r}$.
2. b) En déduire la vitesse orbitale, $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_T}{r}}$, et la période, $T = 2\cdot\pi\cdot\sqrt{\frac{r^3}{G\cdot M_T}}$. Commenter pourquoi la masse $m$ du satellite n'apparaît pas dans les résultats.
3. c) Appliquer les expressions à un satellite météorologique en orbite polaire à $850\ \text{km}$ d'altitude et calculer sa vitesse et sa période. Données : $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ et $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$.

Un opérateur de télécommunications va placer un satellite géostationnaire au-dessus de l'équateur. Données : $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$ et période de rotation de la Terre $T = 24\ \text{h}$.

1. a) En partant de $\frac{G\cdot M_T\cdot m}{r^2} = \frac{m\cdot v^2}{r}$ et de $v = \frac{2\cdot\pi\cdot r}{T}$, déduire l'expression $r^3 = \frac{G\cdot M_T\cdot T^2}{4\cdot\pi^2}$.
2. b) Calculer le rayon de l'orbite et l'altitude au-dessus de la surface.
3. c) Calculer la vitesse du satellite sur son orbite et expliquer pourquoi, en se déplaçant à cette vitesse, il paraît immobile vu depuis le sol.

Lors des missions Apollo, le module de commande restait sur une orbite lunaire circulaire à $110\ \text{km}$ d'altitude pendant que le module lunaire descendait à la surface. Données : $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, masse de la Lune $M_L = 7,35\cdot10^{22}\ \text{kg}$ et rayon lunaire $R_L = 1,74\cdot10^{6}\ \text{m}$. Observer le schéma (sans échelle) :

1. a) Calculer le rayon de l'orbite du module de commande.
2. b) Calculer sa vitesse orbitale, $v = \sqrt{\frac{G\cdot M_L}{r}}$, et l'exprimer en $\text{km/s}$.
3. c) Calculer sa période, en heures, et estimer combien de tours complets autour de la Lune effectuait chaque jour l'astronaute resté à bord.

Pour de futures missions habitées vers Mars, on étudie la mise en place de satellites de télécommunications « aréostationnaires », c'est-à-dire stationnaires par rapport au sol martien. Données : Mars tourne en $T = 24,6\ \text{h}$ ; masse de Mars $M_M = 6,42\cdot10^{23}\ \text{kg}$ ; rayon de Mars $R_M = 3,39\cdot10^{6}\ \text{m}$ ; $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.

1. a) Justifier quelle période orbitale doivent avoir ces satellites.
2. b) Calculer le rayon de l'orbite aréostationnaire avec $r^3 = \frac{G\cdot M_M\cdot T^2}{4\cdot\pi^2}$.
3. c) Calculer son altitude au-dessus de la surface de Mars et la comparer aux $3,6\cdot10^{4}\ \text{km}$ de l'orbite géostationnaire terrestre, en expliquant à quoi tient la différence.

Supposer que la Terre ait la moitié de sa masse actuelle, mais conserve son rayon et sa période de rotation de $24\ \text{h}$. Données : $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$, $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$ ; le rayon géostationnaire actuel est $r = 4,22\cdot10^{7}\ \text{m}$.

1. a) Justifier, à partir de $r^3 = \frac{G\cdot M_T\cdot T^2}{4\cdot\pi^2}$, si le rayon de l'orbite géostationnaire serait supérieur, inférieur ou égal à l'actuel.
2. b) Calculer le nouveau rayon géostationnaire en tenant compte du fait que, $r^3$ étant proportionnel à $M_T$, le nouveau rayon est $r' = r\cdot(1/2)^{1/3}$.
3. c) La période serait-elle toujours de $24\ \text{h}$ ? La vitesse orbitale du satellite changerait-elle ? Justifier les deux réponses.

Un élève écrit lors d'un contrôle : « un satellite géostationnaire est au repos, car il ne bouge pas par rapport au sol terrestre ; par conséquent, il n'a pas besoin de vitesse orbitale et n'a pas d'accélération ».

1. a) Identifier les deux erreurs du raisonnement.
2. b) Calculer la vitesse orbitale réelle d'un satellite géostationnaire ($r = 4,22\cdot10^{7}\ \text{m}$, $T = 24\ \text{h}$), en $\text{km/s}$.
3. c) Calculer son accélération centripète, $a_c = \frac{v^2}{r}$, et indiquer quelle force la produit.

La troisième loi de Kepler s'applique aussi aux satellites artificiels. Données : ISS ($r = 6,77\cdot10^{6}\ \text{m}$, $T = 92\ \text{min}$) et Lune ($r = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$, $T = 27,3$ jours). Le schéma compare les deux orbites (sans échelle) :

1. a) Exprimer les deux périodes en secondes et calculer le rapport $\frac{T^2}{r^3}$ pour l'ISS et pour la Lune, en unités du Système international.
2. b) Vérifier que les deux rapports coïncident (aux arrondis près) et expliquer pourquoi il doit en être ainsi.
3. c) Utiliser cette valeur commune pour prédire la période d'un satellite qui orbiterait avec $r = 2,0\cdot10^{7}\ \text{m}$ et l'exprimer en heures.

Les constellations d'internet par satellite, comme Starlink, emploient des milliers de satellites à $550\ \text{km}$ d'altitude, alors que trois satellites géostationnaires suffisent à couvrir presque toute la planète. Données : $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ et $R_T = 6,37\cdot10^{6}\ \text{m}$. Le schéma compare les deux orbites (sans échelle) :

1. a) Calculer la vitesse et la période orbitale d'un satellite Starlink.
2. b) Calculer le rapport entre sa période et celle d'un satellite géostationnaire ($24\ \text{h}$) et justifier, avec la troisième loi de Kepler, pourquoi les satellites bas « passent » si vite au-dessus d'un observateur.
3. c) Expliquer pourquoi une orbite basse exige une constellation de milliers de satellites pour assurer une couverture continue, alors que sur orbite géostationnaire trois suffisent.

Défi du thème. Peut-on vérifier la mécanique orbitale depuis chez soi à l'aide de satellites réels ? Votre mission est de rédiger un compte rendu scientifique qui valide la 3ᵉ loi de Kepler à partir de votre propre estimation de la gravité.

1. Mesure à la maison : Construire un pendule simple avec un fil et un écrou. Mesurer la période $T$ pour 4 longueurs différentes ($L \pm 0,002\text{ m}$) en chronométrant 10 oscillations (incertitude $\pm 0,2\text{ s}$). Présenter les données dans un tableau, représenter $T^2$ en fonction de $L$ et déterminer $g$ avec son incertitude pour estimer la masse de la Terre : $M_T = g R_T^2 / G$ (avec $R_T \approx 6,37 \cdot 10^6\text{ m}$).

2. Recherche de satellites : Consulter sur le site de l'ESA ou de la NASA l'altitude et la période orbitale de trois satellites sur des orbites circulaires : l'ISS, un satellite Galileo et Meteosat. Ajouter $R_T$ à l'altitude pour calculer leurs rayons orbitaux $r$.

3. Traitement des données et graphique : Élaborer un tableau avec $r^3$ et $T^2$ pour les satellites. Représenter le graphique $T^2$ en fonction de $r^3$ et comparer la pente obtenue avec la valeur théorique $\frac{4\pi^2}{G M_T}$ calculée avec votre $g$ expérimental.

4. Compte rendu final : Rédiger un bref compte rendu expliquant les écarts constatés et justifiant pourquoi un satellite géostationnaire doit être placé à une altitude précise.

Seront évalués :

• La rigueur dans la prise de mesures à la maison et le traitement expérimental des incertitudes.

• L'exactitude des données satellitaires et de la représentation graphique de la loi de Kepler.

• La cohérence physique dans la discussion critique des résultats et des sources d'erreur.