Exercices: Lois du mouvement des planètes

Johannes Kepler a déduit trois lois qui décrivent le mouvement des planètes autour du Soleil à partir des observations de Tycho Brahe.

1. a) Énoncer la première loi de Kepler (loi des orbites).
2. b) Dessiner dans votre cahier une orbite elliptique et y indiquer les deux foyers de l'ellipse, la position du Soleil, le périhélie (point le plus proche du Soleil) et l'aphélie (point le plus éloigné).
3. c) Indiquer ce qu'est le demi-grand axe $a$ de l'orbite et écrire son expression en fonction des distances au périhélie, $r_p$, et à l'aphélie, $r_a$.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

1. a) Énoncer la deuxième loi de Kepler (loi des aires).
2. b) Une planète parcourt son orbite elliptique en passant par le périhélie et par l'aphélie. Appliquer la loi des aires pour justifier en lequel de ces deux points elle se déplace le plus vite.
3. c) La vitesse aréolaire (aire balayée par le rayon vecteur par unité de temps) est constante car le moment cinétique de la planète se conserve. Expliquer qualitativement pourquoi un rayon vecteur plus court au périhélie implique une vitesse plus grande.

1. a) Énoncer la troisième loi de Kepler (loi des périodes) et écrire son expression mathématique, $\frac{T^2}{a^3} = C$, en indiquant la signification de $T$ et de $a$.
2. b) La constante vaut $C = \frac{4\cdot\pi^2}{G\cdot M}$, où $M$ est la masse du corps central. Justifier si $C$ est la même pour toutes les planètes du système solaire et si elle le serait aussi pour les lunes de Jupiter.

La Terre passe au périhélie à une distance du Soleil $r_p = 1,471\cdot10^{11}\ \text{m}$ et à l'aphélie à $r_a = 1,521\cdot10^{11}\ \text{m}$. La figure montre l'orbite avec les deux distances (sans échelle) :

1. a) Calculer le demi-grand axe de l'orbite terrestre, $a = \frac{r_p + r_a}{2}$.
2. b) Sachant que $1\ \text{UA} = 1,496\cdot10^{11}\ \text{m}$ (unité astronomique : distance moyenne Terre-Soleil), exprimer le résultat en unités astronomiques et commenter ce que vous observez.

Pour les corps qui orbitent autour du Soleil, si la période $T$ est exprimée en années et le demi-grand axe $a$ en unités astronomiques, la troisième loi de Kepler se réduit à $T^2 = a^3$. Mercure orbite avec un demi-grand axe $a = 0,387\ \text{UA}$.

1. a) Calculer la période orbitale de Mercure, en années.
2. b) L'exprimer en jours terrestres ($1$ an $= 365,25$ jours).

Un astéroïde de la ceinture principale met $T = 8$ ans à effectuer son orbite autour du Soleil. Pour les corps qui orbitent autour du Soleil, on a $T^2 = a^3$, avec $T$ en années et $a$ en unités astronomiques.

1. a) Exprimer le demi-grand axe $a$ à partir de l'expression précédente.
2. b) Calculer sa valeur, en $\text{UA}$.

Un élève affirme : « comme $\frac{T^2}{a^3} = C$ est une constante universelle, sa valeur est la même pour la Terre autour du Soleil que pour la Lune autour de la Terre ».

1. a) Justifier pourquoi l'affirmation est fausse, sachant que $C = \frac{4\cdot\pi^2}{G\cdot M}$, où $M$ est la masse du corps central.
2. b) Indiquer un ensemble de corps pour lequel la constante coïnciderait avec celle des lunes de Jupiter.

Dessiner dans votre cahier une orbite elliptique allongée avec le Soleil placé à l'un de ses foyers.

1. a) Marquer deux intervalles de temps égaux, l'un centré sur le périhélie et l'autre sur l'aphélie, et hachurer les aires balayées par le rayon vecteur sur ces deux tronçons.
2. b) D'après la loi des aires, quelle relation existe entre les deux aires hachurées ?
3. c) Justifier, à partir du dessin, sur quel tronçon la planète parcourt un arc plus long dans le même temps et ce que cela implique sur sa vitesse.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Mars orbite autour du Soleil avec un demi-grand axe $a = 1,524\ \text{UA}$. Pour les corps qui orbitent autour du Soleil, $T^2 = a^3$ avec $T$ en années et $a$ en unités astronomiques.

1. a) Calculer la durée de l'année martienne, en années terrestres.
2. b) Exprimer le résultat en jours ($1$ an $= 365,25$ jours).

Vénus effectue son orbite autour du Soleil en $T = 0,615$ ans. Pour les corps qui orbitent autour du Soleil, $T^2 = a^3$ avec $T$ en années et $a$ en unités astronomiques ; $1\ \text{UA} = 1,496\cdot10^{11}\ \text{m}$.

1. a) Calculer le demi-grand axe de l'orbite de Vénus, en $\text{UA}$.
2. b) L'exprimer en kilomètres, en utilisant la notation scientifique.

Une équipe d'astronomes découvre un objet dont la période orbitale est $T = 27$ ans. Pour les corps qui orbitent autour du Soleil, $T^2 = a^3$ avec $T$ en années et $a$ en unités astronomiques.

1. a) Calculer le demi-grand axe de son orbite, en $\text{UA}$.
2. b) Le comparer à l'orbite de Neptune ($a \approx 30\ \text{UA}$) : l'objet orbite-t-il plus près ou plus loin du Soleil que Neptune ?

Kepler a vérifié sa troisième loi avec les données de plusieurs planètes. La Terre a $a = 1\ \text{UA}$ et $T = 1$ an ; Jupiter a $a = 5,20\ \text{UA}$ et $T = 11,86$ ans.

1. a) Calculer le rapport $\frac{T^2}{a^3}$ pour la Terre, en $\text{ans}^2/\text{UA}^3$.
2. b) Calculer le même rapport pour Jupiter et vérifier qu'il coïncide avec le précédent (aux arrondis près).
3. c) Expliquer pourquoi ce rapport n'est identique que pour des corps qui orbitent autour du même corps central.

L'excentricité d'une ellipse est $e = \frac{c}{a}$, où $a$ est le demi-grand axe et $c$ la distance du centre de l'ellipse à l'un des foyers. Pour la Terre : $r_p = 1,471\cdot10^{11}\ \text{m}$ (périhélie) et $r_a = 1,521\cdot10^{11}\ \text{m}$ (aphélie). Observer la géométrie de l'orbite sur la figure (sans échelle) :

1. a) Calculer le demi-grand axe, $a = \frac{r_p + r_a}{2}$.
2. b) Calculer la distance focale, $c = \frac{r_a - r_p}{2}$, et l'excentricité $e$ de l'orbite terrestre.
3. c) Une valeur $e = 0$ correspond à un cercle et une valeur proche de $1$ à une ellipse très allongée. Commenter la forme de l'orbite terrestre d'après la valeur obtenue.

Par conservation du moment cinétique, au périhélie et à l'aphélie on a $r_p\cdot v_p = r_a\cdot v_a$. La Terre passe au périhélie ($r_p = 1,471\cdot10^{11}\ \text{m}$) avec une vitesse de $30,3\ \text{km/s}$, et l'aphélie se trouve à $r_a = 1,521\cdot10^{11}\ \text{m}$. Le schéma montre l'orbite et les vitesses en ces deux points (sans échelle) :

1. a) Exprimer la vitesse à l'aphélie, $v_a$, à partir de l'expression précédente.
2. b) Calculer sa valeur, en $\text{km/s}$.
3. c) Le périhélie a lieu début janvier et l'aphélie début juillet. Indiquer lequel de ces mois la Terre se déplace le plus vite sur son orbite et le relier à la deuxième loi de Kepler.

Cérès, le plus grand corps de la ceinture d'astéroïdes, a une période orbitale de $T = 4,60$ ans. Pour les corps qui orbitent autour du Soleil, $T^2 = a^3$ avec $T$ en années et $a$ en unités astronomiques ; $1\ \text{UA} = 1,496\cdot10^{11}\ \text{m}$.

1. a) Calculer le demi-grand axe de l'orbite de Cérès, en $\text{UA}$.
2. b) Exprimer sa distance moyenne au Soleil en mètres, en utilisant la notation scientifique.

Une comète a un demi-grand axe double de celui d'une autre comète du même système.

1. a) Démontrer, à partir de $T^2 = a^3$, que si $a' = 2\cdot a$ alors $T' = \sqrt{8}\cdot T \approx 2,83\cdot T$.
2. b) Un astéroïde orbite autour du Soleil avec $a = 2\ \text{UA}$. Calculer sa période, en années.
3. c) Justifier, sans faire de nouveaux calculs, si une planète située deux fois plus près du Soleil que la Terre aurait une année plus longue ou plus courte que l'année terrestre.

Pour une orbite circulaire de rayon $r$, la troisième loi de Kepler peut se déduire de la loi de la gravitation universelle. Le schéma montre une planète en orbite circulaire avec la force qui s'exerce sur elle :

1. a) Égaliser la force gravitationnelle, $F = \frac{G\cdot M\cdot m}{r^2}$, avec la force centripète du mouvement circulaire, $F_c = \frac{m\cdot v^2}{r}$, et obtenir la vitesse orbitale, $v = \sqrt{\frac{G\cdot M}{r}}$.
2. b) Substituer $v = \frac{2\cdot\pi\cdot r}{T}$ dans le résultat précédent et en déduire que $T^2 = \frac{4\cdot\pi^2}{G\cdot M}\cdot r^3$.
3. c) Identifier dans l'expression obtenue la constante de la troisième loi de Kepler et expliquer de quelles grandeurs elle dépend.

La troisième loi de Kepler permet de « peser » le Soleil. Données : distance moyenne Terre-Soleil $a = 1,496\cdot10^{11}\ \text{m}$, période orbitale terrestre $T = 365,25$ jours et $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$. La figure représente l'orbite terrestre avec les données connues :

1. a) Exprimer la période orbitale en secondes.
2. b) Exprimer la masse du Soleil à partir de l'expression $T^2 = \frac{4\cdot\pi^2\cdot a^3}{G\cdot M_S}$.
3. c) Calculer $M_S$ et comparer le résultat à la valeur admise, $1,99\cdot10^{30}\ \text{kg}$.

La comète de Halley a une période de $T = 76$ ans et passe au périhélie à $r_p = 0,586\ \text{UA}$ du Soleil. Pour les corps qui orbitent autour du Soleil, $T^2 = a^3$ avec $T$ en années et $a$ en unités astronomiques. La figure montre son orbite allongée (sans échelle) :

1. a) Calculer le demi-grand axe de son orbite, en $\text{UA}$.
2. b) Sachant que $a = \frac{r_p + r_a}{2}$, calculer la distance à l'aphélie, $r_a$.
3. c) En appliquant la conservation du moment cinétique, $r_p\cdot v_p = r_a\cdot v_a$, calculer le rapport $\frac{v_p}{v_a}$ et expliquer pourquoi la comète de Halley n'est observable depuis la Terre que pendant quelques mois tous les $76$ ans.

La sonde Juno a étudié le système de Jupiter. Sa lune Io orbite autour de la planète avec un demi-grand axe $a = 4,22\cdot10^{8}\ \text{m}$ et une période $T = 1,77$ jours. Donnée : $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$.

1. a) Exprimer la période d'Io en secondes.
2. b) Exprimer la masse de Jupiter à partir de la troisième loi de Kepler, $T^2 = \frac{4\cdot\pi^2\cdot a^3}{G\cdot M_J}$.
3. c) Calculer $M_J$ et la comparer à la valeur admise, $1,90\cdot10^{27}\ \text{kg}$.

La constante de la troisième loi de Kepler est $C = \frac{4\cdot\pi^2}{G\cdot M}$, avec $M$ la masse du corps central. Données : $G = 6,67\cdot10^{-11}\ \text{N}\cdot\text{m}^2/\text{kg}^2$, masse du Soleil $M_S = 1,99\cdot10^{30}\ \text{kg}$, masse de la Terre $M_T = 5,97\cdot10^{24}\ \text{kg}$ et demi-grand axe de l'orbite de la Lune $a = 3,84\cdot10^{8}\ \text{m}$.

1. a) Calculer, en unités du Système international, la constante $C$ pour le système solaire et pour le système Terre-Lune.
2. b) Expliquer à quoi tient l'énorme différence entre les deux valeurs.
3. c) Utiliser la constante du système Terre-Lune pour prévoir la période orbitale de la Lune et l'exprimer en jours.

Mercure possède l'orbite planétaire la plus excentrique du système solaire : $a = 0,387\ \text{UA}$ et $e = 0,206$. Les distances au Soleil au périhélie et à l'aphélie sont $r_p = a\cdot(1 - e)$ et $r_a = a\cdot(1 + e)$.

1. a) Calculer $r_p$ et $r_a$, en $\text{UA}$.
2. b) En appliquant la conservation du moment cinétique, $r_p\cdot v_p = r_a\cdot v_a$, calculer le rapport $\frac{v_p}{v_a}$.
3. c) Pour la Terre, ce rapport vaut $1,034$. Comparer les deux résultats et expliquer le rôle de l'excentricité dans la variation de la vitesse orbitale.

Pour voyager de la Terre à Mars avec la plus faible consommation de carburant, on utilise une orbite de transfert de Hohmann : une ellipse dont le périhélie est sur l'orbite terrestre ($1\ \text{UA}$) et l'aphélie sur l'orbite martienne ($1,524\ \text{UA}$). Pour les corps qui orbitent autour du Soleil, $T^2 = a^3$ avec $T$ en années et $a$ en unités astronomiques. Le schéma montre l'orbite de transfert :

1. a) Calculer le demi-grand axe de l'ellipse de transfert.
2. b) Calculer la période complète de cette ellipse, en années.
3. c) Le voyage aller dure une demi-période. Calculer sa durée en jours ($1$ an $= 365,25$ jours) et justifier pourquoi les missions vers Mars ne peuvent être lancées que lors de certaines fenêtres qui se répètent tous les $26$ mois.

On découvre une exoplanète qui orbite autour d'une étoile de masse $M_E = 4\cdot M_S$ (quatre fois la masse du Soleil) avec un demi-grand axe $a = 1\ \text{UA}$, identique à celui de la Terre.

1. a) À partir de $T^2 = \frac{4\cdot\pi^2\cdot a^3}{G\cdot M}$, démontrer que $\frac{T^2}{T_{Terre}^2} = \frac{a^3}{a_{Terre}^3}\cdot\frac{M_S}{M_E}$.
2. b) Calculer la période de l'exoplanète, en années terrestres.
3. c) Expliquer pourquoi, dans ce cas, on ne peut pas appliquer directement la relation simplifiée $T^2 = a^3$ valable pour le système solaire.