Exercices: Mouvements rectilignes et circulaires

Un train de banlieue circule en ligne droite à vitesse constante $\vec{v} = 20\,\vec{i}\ \text{m/s}$. À $t = 0$, il passe par la position $x_0 = 100\ \text{m}$.

1. a) Écrire l'équation de sa position $x(t)$.
2. b) Calculer sa position lorsque $t = 8\ \text{s}$.

Un avion part du repos sur la piste et accélère uniformément avec $\vec{a} = 3\,\vec{i}\ \text{m/s}^2$.

1. a) Écrire l'équation de sa vitesse $v(t)$.
2. b) Calculer la vitesse atteinte au bout de $10\ \text{s}$.
3. c) Expliquer avec vos propres mots ce que signifie une accélération de $3\ \text{m/s}^2$.

Un cycliste se déplace en ligne droite d'un mouvement rectiligne uniformément accéléré, avec $x_0 = 0$, $v_0 = 4\ \text{m/s}$ et $a = 1\ \text{m/s}^2$.

1. a) Écrire son équation de position $x(t)$.
2. b) Calculer sa position lorsque $t = 6\ \text{s}$ en utilisant $x = x_0 + v_0 \cdot t + \frac{1}{2} \cdot a \cdot t^2$.

On lâche une pièce de monnaie du haut d'une tour de $20\ \text{m}$. Prendre $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calculer la durée de la chute jusqu'au sol.
2. b) Calculer la vitesse avec laquelle elle arrive au sol.

Les pales d'un ventilateur de plafond mettent $0,5\ \text{s}$ pour faire un tour complet.

1. a) Quelles sont les valeurs de la période $T$ et de la fréquence $f$ de rotation ?
2. b) Calculer la vitesse angulaire $\omega = \frac{2\pi}{T}$, en $\text{rad/s}$, et l'arrondir avec un chiffre après la virgule.

Une grande roue tourne avec une vitesse angulaire constante $\omega = 0,5\ \text{rad/s}$ et son rayon est $r = 10\ \text{m}$. Le schéma montre une nacelle au bord et une autre plus près de l'axe.

1. a) Calculer la vitesse linéaire $v = \omega \cdot r$ d'une nacelle située au bord.
2. b) Expliquer pourquoi une nacelle située plus près de l'axe se déplacerait plus lentement, bien que la vitesse angulaire soit la même.

Un patineur prend un virage de $8\ \text{m}$ de rayon à $4\ \text{m/s}$. La figure montre le virage et le vecteur vitesse.

1. a) Calculer son accélération normale $a_n = \frac{v^2}{r}$.
2. b) Indiquer sa direction et son sens.

Un satellite décrit une orbite approximativement circulaire autour de la Terre avec une vitesse de valeur constante.

1. a) Le satellite a-t-il une accélération ?
2. b) Si la norme de la vitesse ne change pas, qu'est-ce qui change dans le vecteur vitesse ? Expliquer pourquoi cela implique l'existence d'une accélération et comment s'appelle cette accélération.

Un autobus qui roule à $72\ \text{km/h}$ freine uniformément avec $a = -2\ \text{m/s}^2$ jusqu'à l'arrêt.

1. a) Exprimer sa vitesse initiale en $\text{m/s}$.
2. b) Calculer le temps qu'il met à s'arrêter.
3. c) Calculer la distance qu'il parcourt pendant le freinage.

Depuis un pont de $15\ \text{m}$ de hauteur, on lance une pierre verticalement vers le bas avec $v_0 = 10\ \text{m/s}$. Prendre $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. Observer le schéma :

1. a) Établir l'équation de position en prenant la surface de l'eau pour origine et calculer le temps qu'elle met pour atteindre l'eau.
2. b) Calculer la vitesse avec laquelle elle arrive.

Un jongleur lance une balle verticalement vers le haut avec $v_0 = 30\ \text{m/s}$. Prendre $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. Observer le schéma du lancer :

1. a) Calculer le temps qu'elle met pour atteindre la hauteur maximale.
2. b) Calculer cette hauteur maximale.
3. c) Combien de temps s'écoule-t-il jusqu'à ce que la balle revienne dans sa main et avec quelle vitesse arrive-t-elle ? Le justifier par la symétrie du mouvement.

Une rame de métro part du repos et accélère uniformément à $0,5\ \text{m/s}^2$ sur $400\ \text{m}$.

1. a) Calculer la vitesse atteinte en utilisant $v^2 = v_0^2 + 2 \cdot a \cdot \Delta x$.
2. b) Calculer le temps qu'elle met pour parcourir ces $400\ \text{m}$.

Un manège de $4\ \text{m}$ de rayon fait un tour toutes les $8\ \text{s}$.

1. a) Calculer sa vitesse angulaire $\omega$ en $\text{rad/s}$, en fonction de $\pi$.
2. b) Calculer la vitesse linéaire d'un enfant installé au bord.
3. c) Calculer son accélération normale. Donner aussi les résultats finaux avec un chiffre après la virgule.

Un vélo avance à $7\ \text{m/s}$ et ses roues ont $0,35\ \text{m}$ de rayon.

1. a) Calculer la vitesse angulaire des roues, sachant qu'au bord $v = \omega \cdot r$.
2. b) Calculer la période de rotation de la roue.
3. c) Calculer la distance dont avance le vélo à chaque tour complet de la roue et expliquer pourquoi elle coïncide avec la longueur de la circonférence.

Une centrifugeuse de laboratoire tourne avec une fréquence $f = 50\ \text{Hz}$ et les échantillons décrivent des cercles de $0,1\ \text{m}$ de rayon.

1. a) Calculer la vitesse angulaire $\omega = 2\pi \cdot f$.
2. b) Calculer la vitesse linéaire des échantillons.
3. c) Calculer leur accélération normale et l'exprimer en notation scientifique.

Un conducteur roule à $90\ \text{km/h}$, met $0,8\ \text{s}$ à réagir face à un obstacle puis freine avec $a = -5\ \text{m/s}^2$. Le schéma montre les deux phases de l'arrêt.

1. a) Exprimer la vitesse en $\text{m/s}$ et calculer la distance parcourue pendant le temps de réaction.
2. b) Calculer la durée du freinage et la distance de freinage.
3. c) Calculer la distance d'arrêt totale, somme des deux précédentes.

Une voiture démarre sans vitesse initiale avec une accélération constante $a = 2\ \text{m/s}^2$ au moment précis où une moto la dépasse à une vitesse constante de $12\ \text{m/s}$, dans le même sens. Les graphiques $x$-$t$ des deux véhicules sont représentés sur la figure.

1. a) Écrire les équations horaires de position des deux véhicules en prenant pour origine le point du dépassement.
2. b) Calculer l'instant où la voiture rattrape la moto.
3. c) À quelle position la rattrape-t-elle et quelle est alors la vitesse de la voiture ?
4. d) Expliquer, à partir de la variation de la vitesse de la voiture au cours du temps, pourquoi elle finit par rattraper la moto bien qu'elle soit d'abord en retard.

Depuis un balcon situé à $15\ \text{m}$ du sol, on lance une balle verticalement vers le haut à $v_0 = 10\ \text{m/s}$. Prendre $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calculer la hauteur maximale atteinte, mesurée depuis le sol.
2. b) Établir l'équation horaire de position en prenant le sol pour origine et calculer la durée totale du vol jusqu'à l'arrivée au sol.
3. c) Calculer la vitesse avec laquelle la balle arrive au sol.
4. d) Comparer cette durée de vol à celle qu'elle mettrait si on la laissait simplement tomber du balcon et expliquer la différence.

Une voiture roule à $108\ \text{km/h}$.

1. a) Exprimer cette vitesse en $\text{m/s}$.
2. b) Calculer la distance de freinage sur chaussée sèche, avec $a = -6\ \text{m/s}^2$.
3. c) Calculer la distance de freinage sur chaussée mouillée, avec $a = -3\ \text{m/s}^2$.
4. d) Si le temps de réaction du conducteur est $0,5\ \text{s}$, calculer la distance d'arrêt totale dans les deux cas et expliquer pourquoi il convient d'augmenter la distance de sécurité quand il pleut.

Sur une plateforme tournante d'un parc d'attractions qui tourne à $\omega = 0,5\ \text{rad/s}$, un enfant est assis à $2\ \text{m}$ de l'axe et un adulte à $8\ \text{m}$.

1. a) Calculer la vitesse linéaire de chacun.
2. b) Calculer l'accélération normale de chacun.
3. c) À partir de l'expression $a_n = \omega^2 \cdot r$, déterminer lequel des deux est soumis à la plus grande accélération et ce que cela implique sur l'adhérence nécessaire pour ne pas glisser vers l'extérieur.

Le tambour d'une machine à laver a un rayon de $0,25\ \text{m}$ et, pendant l'essorage, tourne à $600$ tours par minute, soit $10$ tours par seconde.

1. a) Exprimer la fréquence de rotation en $\text{Hz}$ et calculer la vitesse angulaire.
2. b) Calculer la vitesse linéaire d'un bouton collé au tambour.
3. c) Calculer son accélération normale et la comparer à $g = 9,8\ \text{m/s}^2$ : combien de fois est-elle plus grande, approximativement ?
4. d) Expliquer comment ce résultat aide à comprendre pourquoi l'essorage extrait l'eau du linge.

L'aiguille des minutes de l'horloge d'une gare mesure $1,5\ \text{m}$ et met une heure à faire un tour complet.

1. a) Calculer sa vitesse angulaire en $\text{rad/s}$, en notation scientifique.
2. b) Calculer la vitesse linéaire de l'extrémité de l'aiguille.
3. c) Calculer l'accélération normale de l'extrémité et l'exprimer en notation scientifique.
4. d) Comparer la vitesse angulaire de l'aiguille des minutes à celle de la trotteuse, qui met $60\ \text{s}$ par tour : combien de fois celle de la trotteuse est-elle plus grande ?

Une montgolfière monte à vitesse constante de $8\ \text{m/s}$. Lorsqu'elle est à $48\ \text{m}$ d'altitude, un sac de lest se détache. Prendre $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. Observer le schéma de la situation :

1. a) Expliquer pourquoi le sac, une fois lâché, continue à monter quelques instants au lieu de tomber immédiatement.
2. b) Établir l'équation horaire de position du sac en prenant le sol pour origine et calculer la durée qu'il met pour arriver au sol.
3. c) Calculer la vitesse avec laquelle il arrive au sol.
4. d) Calculer l'altitude de la montgolfière à l'instant où le sac touche le sol.

Dans l'attraction « le rotor », les personnes s'appuient contre la paroi intérieure d'un cylindre de rayon $4\ \text{m}$ qui tourne jusqu'à ce que le plancher se retire. On veut que l'accélération normale des passagers soit $2,5$ fois $g$ ; prendre $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calculer la vitesse linéaire que doit avoir la paroi.
2. b) Calculer la vitesse angulaire $\omega$.
3. c) Calculer la période de rotation.
4. d) Expliquer pourquoi les personnes ne tombent pas lorsque le plancher disparaît, en indiquant quelle force fournit l'accélération normale et laquelle équilibre le poids.