Exercices: Énergie et thermodynamique

Un automobiliste vérifie la pression de ses pneus à Dijon. L'air contenu dans un pneu est assimilé à un gaz parfait. À la température $\theta_1 = 15~°\text{C}$, la pression absolue dans un pneu est $P_1 = 2{,}2~\text{bar}$ et le volume intérieur est $V = 45~\text{L}$, supposé constant.

Données : $R = 8{,}314~\text{J·K}^{-1}\text{·mol}^{-1}$ ; $1~\text{bar} = 1{,}0\times10^{5}~\text{Pa}$ ; $T(\text{K}) = \theta(°\text{C}) + 273$.

1. Rappeler l'équation d'état du gaz parfait et indiquer l'unité de chaque grandeur dans le système international.

2. Calculer la quantité de matière d'air contenue dans le pneu à $\theta_1$.

3. Après un trajet sur autoroute, la température de l'air dans le pneu atteint $\theta_2 = 40~°\text{C}$. Calculer la pression $P_2$ dans le pneu, le volume et la quantité de matière restant inchangés.

4. Interpréter qualitativement l'augmentation de pression en termes de comportement microscopique des molécules de gaz.

Un chauffe-eau électrique contient une masse $m = 150~\text{kg}$ d'eau liquide, assimilée à un système incompressible, initialement à $\theta_i = 15~°\text{C}$. L'eau est chauffée jusqu'à $\theta_f = 55~°\text{C}$. Le chauffe-eau est alimenté par une résistance chauffante de puissance $P = 2{,}0~\text{kW}$. Les pertes thermiques vers l'extérieur sont négligées.

Données : capacité thermique massique de l'eau liquide, $c = 4\,180~\text{J·kg}^{-1}\text{·K}^{-1}$.

1. Rappeler l'expression de la variation d'énergie interne $\Delta U$ d'un système incompressible en fonction de sa capacité thermique massique, de sa masse et de la variation de température.

2. Calculer la variation d'énergie interne de l'eau.

3. En appliquant le premier principe de la thermodynamique à l'eau, en supposant que le travail électrique reçu est la seule forme de transfert, déterminer l'énergie fournie par la résistance chauffante, puis la durée de chauffe.

4. Exprimer cette énergie en kilowattheure.

Un mur d'une maison, de surface $S = 12~\text{m}^2$, est isolé par une couche de laine de verre d'épaisseur $e = 20~\text{cm}$ et de conductivité thermique $\lambda = 0{,}040~\text{W·m}^{-1}\text{·K}^{-1}$. On suppose que ce mur est constitué uniquement de cette couche de laine de verre. La température intérieure est $\theta_{\text{int}} = 19~°\text{C}$ et la température extérieure est $\theta_{\text{ext}} = -1~°\text{C}$.

Pour une paroi plane, la résistance thermique est donnée par $R_{th} = \dfrac{e}{\lambda S}$ et le flux thermique par $\Phi = \dfrac{\Delta T}{R_{th}}$.

1. Citer les trois modes de transfert thermique et indiquer celui qui prédomine à travers la couche de laine de verre.

2. Calculer la résistance thermique de la paroi.

3. Calculer le flux thermique à travers la paroi, et indiquer son sens en justifiant.

4. Calculer l'énergie transférée à travers le mur en 24 h, en joule puis en kilowattheure.

Une tasse de café, de capacité thermique $C$, est posée sur une table dans une pièce à la température constante $\theta_{\text{ext}} = 20~°\text{C}$. À $t = 0$, le café est à la température $\theta_0 = 85~°\text{C}$. On suppose que le flux thermique cédé par le café au milieu extérieur est proportionnel à l'écart de température : $\Phi = h\,(T - T_{\text{ext}})$, avec $h$ une constante, où $T$ désigne la température du café à l'instant $t$, $T_{\text{ext}}$ celle de la pièce et $T_0$ la température initiale (seuls des écarts de température intervenant, on pourra les exprimer indifféremment en °C ou en K).

1. Appliquer le premier principe au système {café + tasse} entre $t$ et $t + \mathrm{d}t$ pour établir l'équation différentielle $\dfrac{\mathrm{d}T}{\mathrm{d}t} + \dfrac{T}{\tau} = \dfrac{T_{\text{ext}}}{\tau}$, en exprimant $\tau$ en fonction de $C$ et $h$.

2. Résoudre cette équation et établir l'expression $T(t) = T_{\text{ext}} + (T_0 - T_{\text{ext}})\,e^{-t/\tau}$.

3. On mesure $\theta(10~\text{min}) = 53{,}4~°\text{C}$. Déterminer la valeur de $\tau$ en minutes.

4. Calculer la durée au bout de laquelle le café atteint la température $\theta = 40~°\text{C}$.

5. On résout numériquement l'équation par la méthode d'Euler avec un pas $\Delta t = 0{,}5~\text{min}$. Compléter les deux lignes repérées par # À COMPLÉTER.

import numpy as np

T_ext = 20.0

T0 = 85.0

tau = 15.0        # en minutes

dt = 0.5

t = [0.0]

T = [T0]

while T[-1] > 40:

    dTdt = ...                    # À COMPLÉTER

    T.append(...)                 # À COMPLÉTER : schéma d'Euler

    t.append(t[-1] + dt)

print(f"Durée : {t[-1]:.1f} min")

On modélise le bilan énergétique de la Terre. Le Soleil fournit au sommet de l'atmosphère une puissance surfacique moyenne $S = 1\,361~\text{W·m}^{-2}$ sur une surface perpendiculaire à ses rayons. La Terre, de rayon $R_T$, a un albédo $a = 0{,}30$. On rappelle la loi de Stefan-Boltzmann : une surface de température $T$ rayonne une puissance surfacique $\varphi = \sigma T^4$, avec $\sigma = 5{,}67\times10^{-8}~\text{W·m}^{-2}\text{·K}^{-4}$.

1. Définir l'albédo. Montrer que la puissance solaire moyenne absorbée par unité de surface terrestre (toute la sphère) vaut $\dfrac{(1-a)\,S}{4}$, et calculer sa valeur.

2. Dans un modèle sans atmosphère, la Terre est à l'équilibre radiatif : la puissance absorbée est égale à la puissance émise. Établir l'expression de la température d'équilibre $T_{\text{eq}}$ puis calculer sa valeur, en kelvin et en degré Celsius.

3. La température moyenne observée à la surface de la Terre est $T_{\text{obs}} = 288~\text{K}$. Calculer la puissance surfacique rayonnée par le sol à cette température.

4. Comparer les résultats des questions 2 et 3 et expliquer le rôle de l'effet de serre dans cet écart. Indiquer deux gaz à effet de serre d'origine naturelle ou anthropique.

Pour déterminer la capacité thermique massique d'un métal, un élève de lycée utilise un calorimètre dont la capacité thermique est $C_{\text{cal}} = 120~\text{J·K}^{-1}$. Le calorimètre contient une masse $m_e = 250~\text{g}$ d'eau à la température $\theta_i = 18{,}0~°\text{C}$. L'élève plonge dans l'eau un échantillon de métal de masse $m = 100~\text{g}$ préalablement chauffé à $\theta_m = 95{,}0~°\text{C}$. Après agitation, la température d'équilibre est $\theta_f = 20{,}9~°\text{C}$.

Données :

• capacité thermique massique de l'eau : $c_e = 4\,180~\text{J·kg}^{-1}\text{·K}^{-1}$ ;

• capacités thermiques massiques de quelques métaux : fer $450$, cuivre $385$, zinc $390$, aluminium $900$ (en $\text{J·kg}^{-1}\text{·K}^{-1}$).

• Définir le système choisi pour l'étude et justifier qu'il peut être considéré comme isolé pendant la durée de l'expérience.

• Appliquer le premier principe de la thermodynamique à ce système isolé et établir la relation entre les variations d'énergie interne de l'eau, du calorimètre et du métal.

• Établir l'expression de la capacité thermique massique $c$ du métal, puis la calculer.

• Identifier le métal en comparant avec les valeurs du tableau, en justifiant.

• Citer deux causes d'erreur systématique de la mesure et indiquer leur effet probable sur la valeur trouvée.

Une petite maison à ossature légère, à Clermont-Ferrand, est assimilée à un système de capacité thermique $C = 1{,}0\times10^{7}~\text{J·K}^{-1}$, de température intérieure uniforme $T(t)$. Elle est séparée de l'extérieur, de température constante $T_{\text{ext}} = 278~\text{K}$ ($5~°\text{C}$), par des parois de résistance thermique globale $R_{th} = 5{,}0\times10^{-3}~\text{K·W}^{-1}$. Un chauffage électrique de puissance constante $P = 3{,}0~\text{kW}$ est mis en marche à $t = 0$, alors que $T(0) = T_{\text{ext}}$.

1. Exprimer le flux thermique $\Phi$ perdu par la maison vers l'extérieur en fonction de $T$, $T_{\text{ext}}$ et $R_{th}$. Appliquer le premier principe à la maison entre $t$ et $t + \mathrm{d}t$ pour établir l'équation différentielle

1. Calculer $\tau$ en secondes puis en heures. Établir la température limite $T_\infty$ atteinte aux temps longs et la calculer.

2. Établir l'expression de $T(t)$ avec la condition initiale donnée, puis calculer la durée nécessaire pour atteindre $T = 291~\text{K}$ ($18~°\text{C}$). Exprimer cette durée en heures.

3. Calculer la puissance minimale de chauffage permettant de maintenir indéfiniment $T = 292~\text{K}$ ($19~°\text{C}$), et la comparer à $P$.

4. Le programme suivant résout numériquement l'équation différentielle par la méthode d'Euler avec un pas de $600~\text{s}$. Compléter les deux lignes repérées par # À COMPLÉTER.

import numpy as np

C = 1.0e7

R = 5.0e-3

P = 3000.0

T_ext = 278.0

dt = 600.0

t = 0.0

T = T_ext

while T < 291.0:

    dTdt = ...             # À COMPLÉTER

    T = ...                # À COMPLÉTER : schéma d'Euler

    t = t + dt

print(f"Durée : {t/3600:.1f} h")

1. L'isolation des parois est améliorée de sorte que $R_{th}$ est multipliée par 2. Indiquer, sans refaire tous les calculs, l'effet sur $T_\infty$ et sur $\tau$.

Un plongeur à Marseille utilise une bouteille de volume intérieur $V_b = 12~\text{L}$ remplie d'air comprimé à la pression $P_b = 200~\text{bar}$ et à la température $T_b = 293~\text{K}$. L'air est assimilé à un gaz parfait, de masse molaire moyenne $M = 29~\text{g·mol}^{-1}$. Pour des raisons de sécurité, le plongeur remonte lorsque la pression dans la bouteille atteint $50~\text{bar}$.

Données :

• constante des gaz parfaits : $R = 8{,}314~\text{J·K}^{-1}\text{·mol}^{-1}$ ;

• pression atmosphérique : $P_{\text{atm}} = 1{,}013\times10^{5}~\text{Pa}$ ;

• masse volumique de l'eau de mer : $\rho = 1{,}00\times10^{3}~\text{kg·m}^{-3}$ ;

• intensité de la pesanteur : $g = 9{,}81~\text{m·s}^{-2}$ ;

• $1~\text{bar} = 1{,}0\times10^{5}~\text{Pa}$.

• Calculer la quantité de matière d'air contenue dans la bouteille pleine et la masse volumique de l'air comprimé. Discuter la validité du modèle du gaz parfait à cette pression.

• Calculer la quantité de matière d'air exploitable par le plongeur entre l'état « bouteille pleine » et l'état « réserve de sécurité » à 50 bar, la température restant égale à $T_b$.

• La pression à la profondeur $z = 20~\text{m}$ est $P_z = P_{\text{atm}} + \rho g z$. Calculer sa valeur. Lors de la respiration, le plongeur inspire à chaque minute un volume de $20~\text{L}$ d'air à la pression ambiante $P_z$ et à la température $293~\text{K}$. Calculer la quantité de matière d'air consommée par minute à cette profondeur, puis la durée d'autonomie à cette profondeur.

• Montrer que, pour un même volume inspiré par minute, la durée d'autonomie à $z = 0$ est environ trois fois supérieure à celle obtenue à $20~\text{m}$. Justifier à l'aide de l'équation d'état.

• Après une plongée prolongée, l'eau de mer est à $285~\text{K}$ et la bouteille, à l'équilibre thermique avec l'eau, est à cette température. Calculer la pression dans la bouteille, sachant qu'elle contenait initialement de l'air à 200 bar et 293 K, la quantité de matière étant constante. Interpréter ce résultat en termes d'énergie cinétique microscopique des molécules.

Pour estimer l'effet de serre, on propose un modèle à deux couches : la surface terrestre, de température $T_s$, et une atmosphère modélisée par une couche unique de température uniforme $T_a$. L'atmosphère est parfaitement transparente au rayonnement solaire visible. Elle absorbe une fraction $\varepsilon$ du rayonnement infrarouge émis par la surface et le reste est transmis à l'espace. Elle émet un rayonnement infrarouge de puissance surfacique $\varepsilon\sigma T_a^4$ vers le haut et la même puissance vers le bas.

Données : $S = 1\,361~\text{W·m}^{-2}$ ; albédo $a = 0{,}30$ ; $\sigma = 5{,}67\times10^{-8}~\text{W·m}^{-2}\text{·K}^{-4}$ ; la puissance surfacique solaire moyenne absorbée par le sol est $\dfrac{(1-a)\,S}{4}$.

1. Calculer la puissance surfacique moyenne $\varphi_s = \dfrac{(1-a)\,S}{4}$ absorbée par la surface.

2. Écrire le bilan d'énergie de l'atmosphère à l'équilibre et en déduire, pour $\varepsilon \neq 0$, la relation $T_a^4 = \dfrac{T_s^4}{2}$.

3. Écrire le bilan d'énergie de l'ensemble {surface + atmosphère} à l'équilibre au sommet de l'atmosphère, puis établir la relation

1. Calculer la température $T_s$ prévue par ce modèle pour $\varepsilon = 0$, puis pour $\varepsilon = 1$.

2. Déterminer la valeur de $\varepsilon$ pour laquelle le modèle reproduit la température moyenne observée $T_s = 288~\text{K}$, puis calculer la température $T_a$ de l'atmosphère correspondante.

3. Discuter les limites de ce modèle, en proposant deux phénomènes physiques qui n'y sont pas pris en compte.