Exercices: Produit scalaire

Une équipe d'ingénieurs conçoit la structure d'un support pour une antenne de télécommunications. Ils ont défini deux câbles de fixation représentés par les vecteurs $\vec{u} = (2 ; -3 ; 1)$ et $\vec{v} = (4 ; 2 ; 5)$. Calculer le produit scalaire de ces deux vecteurs pour étudier l'angle qu'ils forment au nœud central.

Deux drones de surveillance se trouvent à des positions fixes dans l'espace. Le premier drone est au point $A(1 ; 2 ; -1)$ et le second au point $B(3 ; -2 ; 2)$. Si le centre de contrôle est à l'origine du repère $O(0 ; 0 ; 0)$, calculer la norme du vecteur position de chaque drone, $|\vec{OA}|$ et $|\vec{OB}|$.

Déterminer la valeur du paramètre réel $k$ pour que les vecteurs $\vec{a} = (k ; 4 ; -2)$ et $\vec{b} = (3 ; -2 ; 5)$ soient orthogonaux. Ce type de calcul est fondamental en programmation de jeux vidéo pour détecter les collisions entre surfaces.

Dans une attraction d'un parc à thème, deux câbles tirent une cabine. Les directions des câbles sont données par les vecteurs $\vec{u} = (1 ; 0 ; 1)$ et $\vec{v} = (0 ; 1 ; 1)$. En utilisant la définition du produit scalaire, déterminer l'angle $\alpha$ que forment les deux câbles.

Un vecteur vent a pour coordonnées $\vec{w} = (3 ; -4 ; 12)$. En météorologie, il est utile de travailler avec des directions normalisées. Calculer le vecteur unitaire $\vec{u_w}$ de même direction et de même sens que $\vec{w}$.

Étant donné le vecteur $\vec{a} = (6 ; 2 ; -3)$, calculer sa projection scalaire sur l'axe des abscisses (axe $X$). Pour cela, utiliser le produit scalaire de $\vec{a}$ avec le vecteur unitaire de cet axe, $\vec{i} = (1 ; 0 ; 0)$. Représenter graphiquement l'idée de projection.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

On considère les points $A(1 ; 1 ; 1)$, $B(3 ; 1 ; 1)$ et $C(1 ; 4 ; 1)$.

1. a) Déterminer les vecteurs $\vec{AB}$ et $\vec{AC}$.
2. b) Calculer leur produit scalaire $\vec{AB} \cdot \vec{AC}$.
3. c) Justifier si le triangle $ABC$ a un angle droit au sommet $A$.

En physique, le travail d'une force constante est défini comme le produit scalaire du vecteur force par le vecteur déplacement : $W = \vec{F} \cdot \vec{d}$. Si une force $\vec{F} = (5 ; 3 ; 2)$ newtons déplace un objet du point $P(0 ; 0 ; 0)$ au point $Q(2 ; 4 ; 1)$ (en mètres), calculer le travail effectué, exprimé en joules.

Hélène doit calculer la projection scalaire du vecteur $\vec{a} = (3 ; -1 ; 2)$ sur le vecteur $\vec{b} = (1 ; 2 ; -2)$ et en déduire si l'angle qu'ils forment est aigu, droit ou obtus. Dans sa copie, elle écrit :

« Calculons la projection : $\text{proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{|\vec{a}|} = \frac{3\cdot 1 + (-1)\cdot 2 + 2\cdot(-2)}{\sqrt{3^2+(-1)^2+2^2}} = \frac{3-2-4}{\sqrt{14}} = \frac{-3}{\sqrt{14}}$. Comme une projection représente une mesure géométrique, elle ne peut pas être négative, donc le résultat correct est $\text{proj}_{\vec{b}}\vec{a} = \frac{3}{\sqrt{14}}$. De plus, comme c'est une quantité positive, cela démontre que l'angle formé par $\vec{a}$ et $\vec{b}$ est aigu ».

Identifier en justifiant les trois erreurs conceptuelles commises par Hélène (dans la formule employée, dans l'interprétation du signe de la projection et dans la conclusion sur l'angle), expliquer pourquoi elles sont incorrectes et rédiger la résolution correctement corrigée.

Étant donnés les vecteurs $\vec{u} = (4 ; 1 ; 1)$ et $\vec{v} = (-1 ; 5 ; 2)$ :

1. a) Avant tout calcul numérique exact :

• Observer les signes et les grandeurs des coordonnées correspondantes et estimer en justifiant si le produit scalaire $\vec{u}\cdot\vec{v}$ sera positif, négatif ou très proche de zéro. En déduire une prévision : l'angle $\alpha$ entre les deux vecteurs sera-t-il aigu, obtus ou presque droit ?

• Sachant que $\vec{u}$ a presque tout son poids sur l'axe $X$ et $\vec{v}$ sur l'axe $Y$, estimer si l'ombre ou projection scalaire de $\vec{u}$ sur $\vec{v}$ sera grande ou petite par rapport à la longueur de $\vec{v}$.

1. b) Calculer maintenant le produit scalaire $\vec{u}\cdot\vec{v}$, les normes $|\vec{u}|$ et $|\vec{v}|$, l'angle exact $\alpha$ (arrondi au degré près) et la projection scalaire $\text{proj}_{\vec{v}}\vec{u}$.
2. c) Comparer les résultats numériques obtenus avec vos estimations du a) et expliquer si votre intuition géométrique initiale était juste.

Étant donnés les vecteurs $\vec{u} = (m ; 2 ; -1)$ et $\vec{v} = (3 ; m ; m+2)$, déterminer les valeurs du paramètre réel $m$ pour lesquelles ces deux vecteurs sont orthogonaux. S'il existe plusieurs valeurs, expliquer si les vecteurs obtenus dans chaque cas ont la même norme.

Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs de l'espace dont les normes sont $|\vec{u}| = 4$ et $|\vec{v}| = 3$. Sachant que l'angle qu'ils forment est de $60^\circ$, calculer le produit scalaire des vecteurs $\vec{a} = 2\vec{u} - \vec{v}$ et $\vec{b} = \vec{u} + 3\vec{v}$ en utilisant la distributivité et la symétrie.

Calculer la projection scalaire et la projection vectorielle du vecteur $\vec{a} = (1, -2, 5)$ sur le vecteur $\vec{b} = (3, 0, 4)$.

1. a) Calculer la projection scalaire de $\vec{a}$ sur $\vec{b}$.

1. b) Calculer la projection vectorielle de $\vec{a}$ sur $\vec{b}$.

1. c) Interpréter graphiquement si le vecteur projeté a le même sens que $\vec{b}$, en s'appuyant sur le signe du produit scalaire $\vec{a}\cdot\vec{b}$ obtenu.

Les sommets d'un triangle de l'espace sont $A(1 ; 2 ; 1)$, $B(3 ; -1 ; 0)$ et $C(-1 ; 0 ; 4)$.

• a) Calculer l'angle intérieur au sommet $A$.

• b) Utiliser le produit scalaire pour déterminer si le triangle est acutangle, rectangle ou obtusangle.

Un vecteur $\vec{w}$ a pour norme 10 et ses deux premiers cosinus directeurs sont $\cos \alpha = 0,6$ et $\cos \beta = -0,8$.

• a) Déterminer le troisième cosinus directeur, $\cos \gamma$.

• b) Déterminer les coordonnées du vecteur $\vec{w}$.

Dans une structure d'ingénierie, une force $\vec{F} = (4 ; -3 ; 2)$ newtons agit sur un point en le déplaçant de la position $P(1 ; 1 ; 1)$ à $Q(5 ; 2 ; -3)$ (coordonnées en mètres). Calculer le travail de la force, sachant que le travail est le produit scalaire du vecteur force par le vecteur déplacement $\vec{W} = \vec{F} \cdot \vec{d}$.

Déterminer la valeur de $k$ pour que l'angle formé par les vecteurs $\vec{u} = (1, 1, 0)$ et $\vec{v} = (0, 1, k)$ soit exactement de $45^\circ$. Justifier si la valeur de $k$ obtenue est unique ou s'il existe plusieurs orientations possibles pour le vecteur $\vec{v}$.

Soit $\vec{u}$ et $\vec{v}$ deux vecteurs unitaires. Démontrer que le vecteur somme $\vec{u} + \vec{v}$ et le vecteur différence $\vec{u} - \vec{v}$ sont toujours orthogonaux, quelles que soient les coordonnées de ces vecteurs. Utiliser ce résultat pour expliquer la relation géométrique entre les diagonales d'un losange.

Déterminer tous les vecteurs $\vec{w} = (x, y, z)$ de l'espace qui vérifient simultanément les trois conditions suivantes :

1. Il est orthogonal au vecteur $\vec{u} = (1, 1, 0)$.

2. Il forme un angle de $45^\circ$ avec le vecteur $\vec{v} = (0, 1, 1)$.

3. Sa norme est $|\vec{w}| = \sqrt{6}$.

Une fois les vecteurs obtenus, expliquer par des arguments géométriques pourquoi le problème admet exactement deux solutions distinctes (interpréter l'intersection géométrique entre le plan d'orthogonalité, le cône d'angle constant et la sphère de rayon fixé).

Dans une installation d'énergie solaire photovoltaïque située en Beauce, les panneaux sont montés sur une structure fixe orientée selon le vecteur normal unitaire $\vec{n} = (0; 0,6; 0,8)$ par rapport à un repère où le demi-axe $X$ positif pointe vers l'Est, le demi-axe $Y$ positif vers le Nord et le demi-axe $Z$ positif vers le zénith (verticale vers le haut). À 14 h un jour de printemps, le rayonnement solaire arrive selon la direction du vecteur unitaire $\vec{s} = (0,3; -0,4; -0,866)$ (orienté dans le sens de propagation des rayons vers le sol).

1. a) Modéliser la direction des rayons solaires par rapport au panneau : déterminer le vecteur unitaire pointant vers le Soleil, $\vec{u}_{\text{sol}} = -\vec{s}$, et calculer à l'aide du produit scalaire l'angle d'incidence $\theta$ que forment les rayons avec le vecteur normal $\vec{n}$ du panneau.
2. b) La puissance instantanée produite par l'installation est modélisée par $P = P_{\text{max}}\cdot \cos\theta$, où $P_{\text{max}} = 20\text{ kW}$ correspond à la situation optimale où les rayons arrivent perpendiculairement au panneau. Calculer la puissance produite par l'installation à cette heure.
3. c) À partir de la formule du produit scalaire, justifier comment il faudrait réorienter le vecteur normal du panneau à cette heure pour obtenir la puissance maximale.

Une équipe d'ingénieurs calibre le capteur d'orientation d'un drone d'inspection industrielle. Le repère est fixé à la base de décollage. On sait que l'axe principal du drone doit suivre la direction d'un vecteur $\vec{w}$ vérifiant simultanément les trois conditions suivantes :

1. Le vecteur $\vec{w}$ doit être unitaire.

2. $\vec{w}$ doit être orthogonal au vecteur $\vec{u} = (1, -2, 2)$, qui représente la direction du vent dominant.

3. L'angle que forme $\vec{w}$ avec le vecteur position de la cible, $\vec{v} = (0, 3, 4)$, doit être de $45^\circ$.

Déterminer les coordonnées des vecteurs $\vec{w}$ possibles que peut utiliser le logiciel de navigation du drone.

On considère un tétraèdre de sommets $O(0,0,0)$, $A(a, 0, 0)$, $B(0, b, 0)$ et $C(0, 0, c)$ avec $a, b, c > 0$. Soit $M$ le milieu du segment $BC$.

1. a) En utilisant uniquement le produit scalaire, démontrer que le vecteur $\vec{AM}$ est perpendiculaire au segment $BC$ si et seulement si les côtés de l'angle droit de la base sur les axes $Y$ et $Z$ ont la même longueur ($b = c$).

1. b) On fixe $a=4$, $b=2$ et $c=2$. Calculer la projection orthogonale du vecteur $\vec{OA}$ sur la direction définie par le vecteur $\vec{AB}$. Exprimer le résultat sous forme de vecteur.

Dans la conception d'une structure architecturale d'avant-garde, il faut placer un câble de tension reliant un point fixe $P(1, 2, 3)$ à un point variable $Q$ situé sur une poutre métallique dont la trajectoire est donnée par la droite $r: (x, y, z) = (2, 0, 1) + \lambda(1, -1, 0)$.

On souhaite que le câble soit le plus court possible. Utiliser les notions de produit scalaire et de projection pour :

1. a) Déterminer les coordonnées du point $Q$ qui minimise la longueur du câble.
2. b) Vérifier que, pour ce point, le vecteur $\vec{PQ}$ est perpendiculaire au vecteur directeur de la poutre $r$.

Soit les vecteurs $\vec{u} = (m, 1, 1)$ et $\vec{v} = (1, m, 1)$.

1. a) Déterminer les valeurs du paramètre réel $m$ pour lesquelles l'angle formé par $\vec{u}$ et $\vec{v}$ est exactement de $60^\circ$.

1. b) Pour la valeur de $m=0$, trouver un vecteur $\vec{w}$ de norme $\sqrt{6}$ qui soit combinaison linéaire de $\vec{u}$ et $\vec{v}$, et qui soit de plus orthogonal au vecteur $\vec{a} = (1, 1, -1)$.

Démontrer, à l'aide des propriétés du produit scalaire, que pour tous vecteurs $\vec{x}, \vec{y} \in \mathbb{R}^3$, l'identité suivante (appelée identité de polarisation) est vérifiée :

Utiliser ensuite ce résultat pour calculer le produit scalaire de deux vecteurs dont la somme et la différence ont pour normes $|\vec{x} + \vec{y}| = 10$ et $|\vec{x} - \vec{y}| = 6$. Quel angle forment ces vecteurs si l'on sait de plus que leurs normes sont égales ?

Un satellite artificiel se déplace selon une trajectoire rectiligne. À un instant donné, son vecteur position est $\vec{r} = (2, 2, 1)$ et son vecteur vitesse est $\vec{v} = (1, -2, 2)$. Un centre de contrôle sur Terre émet un signal radio dont la direction est donnée par le vecteur $\vec{s} = (k, 1, 0)$.

Calculer la valeur du paramètre $k$ pour que la projection de la vitesse du satellite sur la direction du signal radio soit nulle. Interpréter physiquement ce que signifie une projection nulle en termes de rapprochement ou d'éloignement du satellite par rapport à la source du signal.

Soit $B = \{ \vec{e}_1, \vec{e}_2, \vec{e}_3 \}$ une base de $\mathbb{R}^3$ qui n'est pas nécessairement orthonormée. On connaît les produits scalaires suivants entre les vecteurs de la base :

• $\vec{e}_1 \cdot \vec{e}_1 = 2$, $\vec{e}_2 \cdot \vec{e}_2 = 1$, $\vec{e}_3 \cdot \vec{e}_3 = 3$

• $\vec{e}_1 \cdot \vec{e}_2 = -1$, $\vec{e}_1 \cdot \vec{e}_3 = 0$, $\vec{e}_2 \cdot \vec{e}_3 = 1$

Calculer la norme du vecteur $\vec{u} = 2\vec{e}_1 - 3\vec{e}_2 + \vec{e}_3$ et déterminer le cosinus de l'angle que forme ce vecteur $\vec{u}$ avec le vecteur $\vec{e}_1$.

On considère les points de l'espace $A(1, 0, -1)$ et $B(3, 2, 1)$. Soit $r$ la droite passant par le point $C(0, 4, 3)$ et de vecteur directeur $\vec{d} = (1, 1, 1)$.

Déterminer s'il existe un point $P$ appartenant à la droite $r$ tel que les vecteurs $\vec{AP}$ et $\vec{BP}$ soient orthogonaux. La solution est-elle unique ? Justifier la réponse en étudiant l'équation du second degré obtenue.

On considère deux vecteurs $\vec{u}$ et $\vec{v}$ de l'espace tels que $|\vec{u}| = 3$, $|\vec{v}| = 5$ et l'angle qu'ils forment est $\alpha = 120^\circ$. On définit le vecteur combinaison linéaire $\vec{w} = 2\vec{u} - 3\vec{v}$. On demande de déterminer la norme de $\vec{w}$ et l'angle $\beta$ que forme $\vec{w}$ avec $\vec{u}$. Pour cela, on propose deux stratégies :

• Méthode 1 (analytique par les coordonnées) : choisir un repère orthonormé adapté où $\vec{u} = (3 ; 0 ; 0)$ et $\vec{v} = (5\cos 120^\circ ; 5\sin 120^\circ ; 0) = (-2,5 ; 2,5\sqrt{3} ; 0)$, calculer les coordonnées de $\vec{w}$ et appliquer les formules usuelles en coordonnées.

• Méthode 2 (algébrique, sans repère) : développer $|\vec{w}|^2 = (2\vec{u}-3\vec{v})\cdot(2\vec{u}-3\vec{v})$ en utilisant uniquement les propriétés du produit scalaire (symétrie, distributivité, factorisation des scalaires et $\vec{a}\cdot\vec{a}=|\vec{a}|^2$), et calculer $\cos\beta = \frac{\vec{w}\cdot\vec{u}}{|\vec{w}|\,|\vec{u}|}$ en développant le numérateur sans introduire d'axes.

1. a) Résoudre le problème avec les deux méthodes jusqu'à obtenir la valeur exacte de $|\vec{w}|$ et de $\cos\beta$.
2. b) Comparer de manière critique les deux méthodes : laquelle demande le moins d'étapes de calcul et évite de traîner des racines inutiles ? Quelle difficulté supplémentaire présenterait la méthode 1 si l'on avait trois vecteurs non coplanaires de l'espace dont on ne connaît que les normes et les angles deux à deux ? Justifier quelle méthode est la plus puissante et la plus généralisable sur le plan conceptuel en mathématiques.

Dans un entrepôt logistique de Bordeaux, un pont roulant exerce une force $\vec{F} = (10, -5, 15)\text{ kN}$ sur un nœud de la structure. Un pilier de guidage d'ancrage suit la direction du vecteur $\vec{d} = (1, 2, -2)$.

1. a) Tout vecteur $\vec{F}$ se décompose de manière unique sous la forme $\vec{F} = \vec{F}_\parallel + \vec{F}_\perp$, où $\vec{F}_\parallel$ est parallèle à $\vec{d}$ et $\vec{F}_\perp$ est orthogonal à $\vec{d}$. Déduire, en posant $\vec{F}_\parallel = \lambda\vec{d}$ et en imposant que $(\vec{F} - \lambda\vec{d})\cdot\vec{d} = 0$, la formule vectorielle $\vec{F}_\parallel = \left(\frac{\vec{F}\cdot\vec{d}}{|\vec{d}|^2}\right)\vec{d}$. Calculer les coordonnées exactes de $\vec{F}_\parallel$ et $\vec{F}_\perp$.
2. b) Vérifier explicitement que $\vec{F}_\perp\cdot\vec{d} = 0$ et que la relation de Pythagore $|\vec{F}|^2 = |\vec{F}_\parallel|^2 + |\vec{F}_\perp|^2$ est satisfaite.
3. c) On retire la force $\vec{F}$ et on applique une autre force inconnue $\vec{G}$ de norme $|\vec{G}| = 10\text{ kN}$. Sans connaître les coordonnées de $\vec{G}$, on sait qu'elle forme un angle obtus avec le vecteur $\vec{d}$ et que la norme de sa composante perpendiculaire à la direction de $\vec{d}$ est $|\vec{G}_\perp| = 6\text{ kN}$. En utilisant les relations vectorielles démontrées, calculer la valeur exacte de la projection scalaire $\text{proj}_{\vec{d}}\vec{G}$ et du produit scalaire $\vec{G}\cdot\vec{d}$, en justifiant rigoureusement le signe obtenu.