Exercices: Fonction logarithme

Déterminer l'ensemble de définition de la fonction logarithme $f(x) = \log_3(2x - 8)$.

Déterminer les points d'intersection avec les axes du repère (axe des abscisses et axe des ordonnées, s'ils existent) de la fonction $g(x) = \ln(x - 2)$.

Soit la fonction $h(x) = \log_{0,5}(x)$. Indiquer en justifiant si elle est croissante ou décroissante sur tout son ensemble de définition et calculer la valeur exacte de $h(1)$ et de $h(4)$.

Écrire l'expression de la fonction réciproque $f^{-1}(x)$ de la fonction exponentielle $f(x) = 10^{x+2} - 5$.

Résoudre l'équation logarithmique suivante en utilisant la définition du logarithme :

$\log_2(3x + 1) = 4$

En chimie, le pH d'une solution est défini par l'expression $pH = -\log[H^+]$, où $[H^+]$ représente la concentration en ions hydrogène en moles par litre. Calculer le pH d'un jus d'orange dont la concentration en ions hydrogène est $[H^+] = 10^{-3,2}$.

Décrire précisément quelles transformations géométriques (translations) il faut appliquer à la courbe de la fonction de référence $f(x) = \ln(x)$ pour obtenir la courbe de la fonction $g(x) = \ln(x+2) - 3$.

En utilisant les propriétés des logarithmes, développer l'expression suivante pour l'écrire comme somme et différence de logarithmes plus simples :

$\log_5 \left( \frac{25x^3}{y} \right)$

En calculant l'ensemble de définition et l'asymptote verticale de la fonction $f(x) = \log_5(8 - 2x)$, Mathis écrit sur sa copie :

« Étape 1 : Pour que le logarithme existe, son argument ne peut pas être négatif, donc je pose $8 - 2x \geq 0 \implies 8 \geq 2x \implies x \leq 4$. L'ensemble de définition est $]-\infty ; 4]$. »

« Étape 2 : Comme le logarithme s'annule ou tend vers l'infini à l'extrémité de l'ensemble de définition, la droite $x = 4$ est son asymptote verticale, et la courbe coupe cette asymptote au point $(4 ; 0)$. »

1. a) Identifier les deux erreurs de raisonnement commises par Mathis et expliquer pourquoi elles sont contradictoires entre elles d'après la définition d'une asymptote verticale.
2. b) Corriger la résolution : écrire l'ensemble de définition correct sous forme d'intervalle, calculer en justifiant l'équation de l'asymptote verticale et déterminer le véritable point d'intersection de la courbe avec l'axe des abscisses.

On considère la fonction logarithme $f(x) = \log_2(x - 3)$.

1. a) Sans utiliser la calculatrice, estimer entre quels deux entiers consécutifs se situe la valeur de $f(25)$. Justifier votre prévision en encadrant l'argument entre deux puissances consécutives de base $2$ et argumenter si la valeur sera plus proche de l'entier inférieur ou de l'entier supérieur.
2. b) Calculer la valeur numérique de $f(25)$ à la calculatrice à l'aide de la formule de changement de base (avec des logarithmes décimaux ou népériens), arrondir le résultat à deux décimales et vérifier s'il confirme votre estimation.
3. c) Un élève affirme que si $f(x)$ prend une valeur négative, alors $x$ est nécessairement négatif. Résoudre de façon exacte l'équation $f(x) = -2$ et utiliser le résultat pour réfuter cette affirmation, en vérifiant que la solution appartient à l'ensemble de définition de la fonction.

Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $f(x) = \ln(x^2 - 4x - 5)$. Exprimer le résultat à l'aide d'intervalles.

À partir de la représentation graphique suivante de la fonction $f(x) = \log_2(x+2) - 1$, déterminer de façon analytique son ensemble de définition, son ensemble image, l'équation de son asymptote verticale et les coordonnées exactes des points d'intersection avec les axes des abscisses et des ordonnées.

Le niveau d'intensité sonore $\beta$, mesuré en décibels (dB), se calcule avec la formule acoustique $\beta = 10 \log \left( \frac{I}{I_0} \right)$, où $I$ est l'intensité du son en $\text{W/m}^2$ et $I_0 = 10^{-12} \text{ W/m}^2$ est le seuil d'audition standard. Si le décollage d'un avion à réaction produit un niveau sonore de $140 \text{ dB}$, quelle est l'intensité $I$ de ce son en $\text{W/m}^2$ ?

Sur l'échelle de Richter, la magnitude $M$ d'un séisme est liée à l'énergie libérée $E$ (en ergs) par la relation empirique $\log(E) = 11,8 + 1,5M$. Calculer combien de fois l'énergie libérée par un séisme de magnitude $7,0$ est supérieure à celle libérée par un séisme de magnitude $5,0$.

Résoudre l'équation logarithmique suivante, en vérifiant la validité des solutions obtenues :

$\log(x + 2) + \log(x - 1) = 1$

La valeur comptable d'un serveur informatique haute capacité se déprécie avec le temps selon la fonction exponentielle $V(t) = 4500 \cdot e^{-0,25t}$, où $V$ est la valeur en euros et $t$ le temps écoulé en années depuis l'achat. Déterminer l'expression de la fonction réciproque $t(V)$ et expliquer brièvement quelle grandeur cette nouvelle fonction permet de calculer.

Déterminer les valeurs de $x$ et $y$ qui vérifient le système d'équations non linéaires suivant :

$\begin{cases} x - y = 9 \\ \log_3(x) + \log_3(y) = 3 \end{cases}$

Étudier la continuité de la fonction définie par morceaux suivante au point $x = 1$. S'il existe une discontinuité, la classifier en indiquant de quel type elle est.

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 1 & \text{si } x < 1 \\ \ln(x) & \text{si } x \ge 1 \end{cases}$

Déterminer l'expression d'une fonction logarithme de la forme $f(x) = \log_a(x + b) + c$ sachant qu'elle vérifie simultanément les conditions suivantes :

1. Son ensemble de définition est l'intervalle $]-3 ; +\infty[$ et la droite $x = -3$ est son asymptote verticale.

2. Sa courbe coupe l'axe des abscisses au point $(5 ; 0)$.

3. Sa courbe passe par le point $(1 ; -1)$.

Pour cela :

1. a) Déduire en justifiant la valeur du paramètre $b$ à partir de l'information sur l'ensemble de définition et l'asymptote.
2. b) Poser un système d'équations avec les conditions 2 et 3 et le résoudre en utilisant les propriétés des logarithmes pour déterminer les valeurs exactes de la base $a$ et du terme constant $c$.
3. c) Justifier si la fonction obtenue est strictement croissante ou décroissante sur son ensemble de définition et calculer les coordonnées du point d'intersection de sa courbe avec l'axe des ordonnées.

En France, la réglementation relative à la lutte contre les nuisances sonores encadre les niveaux de pollution acoustique dans les villes. Le niveau de pression acoustique $L$, mesuré en décibels ($\text{dB}$), est modélisé par la fonction logarithme :

où $I$ est l'intensité physique du son en watts par mètre carré ($\text{W/m}^2$) et $I_0 = 10^{-12}\text{ W/m}^2$ représente le seuil minimal d'audition humaine.

Lors des travaux de réaménagement d'une avenue à Marseille, on mesure séparément deux sources d'émission sonore continue : la circulation routière, qui génère une intensité $I_1 = 10^{-5}\text{ W/m}^2$, et un compresseur de chantier, qui génère $I_2 = 10^{-4}\text{ W/m}^2$.

1. a) Calculer le niveau sonore en décibels produit par chaque source séparément, $L(I_1)$ et $L(I_2)$, en utilisant la définition du logarithme sans calculatrice.
2. b) Une association de riverains soutient que lorsque les deux sources fonctionnent en même temps, le niveau sonore total est la somme des décibels de chacune ($L(I_1) + L(I_2)$). Sachant que les intensités physiques s'additionnent directement ($I_{\text{total}} = I_1 + I_2$), démontrer à l'aide des propriétés des logarithmes pourquoi la somme des décibels est mathématiquement incorrecte et calculer le niveau de bruit réel conjoint $L(I_{\text{total}})$. (Donnée : $\log_{10}(1{,}1) \approx 0{,}041$).
3. c) Si la limite légale autorisée pour cette zone en journée est de $85\text{ dB}$, déterminer en justifiant si les travaux respectent la réglementation ou l'enfreignent.

Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $f(x) = \log_{10} \left( \frac{x+3}{|x-2|} \right)$. Porter une attention particulière aux valeurs qui annulent le numérateur, le dénominateur et l'argument du logarithme.

Analyser la relation de symétrie entre les fonctions $f(x) = e^{x-1}$ et $g(x) = \ln(x) + 1$. Observer le graphique ci-joint qui représente les deux courbes et la bissectrice du premier quadrant. Démontrer de façon analytique que ce sont des fonctions réciproques en calculant les composées $(f \circ g)(x)$ et $(g \circ f)(x)$.

Résoudre l'équation logarithmique suivante. Vérifier les solutions possibles dans l'équation initiale afin d'écarter les fausses solutions :

$2\log_2(x) - \log_2(x-1) = 3$

La loi de désintégration radioactive du carbone 14 est donnée par la fonction $N(t) = N_0 \cdot e^{-\lambda t}$, où $N_0$ est la quantité initiale d'isotope, $N(t)$ la quantité restante à l'instant $t$ (en années) et $\lambda$ la constante de désintégration. Sachant que la demi-vie (temps nécessaire pour que la quantité initiale soit exactement divisée par deux) est de $5730$ ans, calculer la valeur exacte de la constante $\lambda$. Déterminer ensuite l'âge approximatif d'un fossile osseux qui ne conserve que $15\%$ de son carbone 14 d'origine.

D'après la loi de refroidissement de Newton, la température $T$ d'un corps à l'instant $t$ (en minutes) est donnée par l'expression $T(t) = T_a + (T_0 - T_a)e^{-kt}$, où $T_a$ est la température ambiante constante et $T_0$ la température initiale du corps. Une tasse de thé à $90^\circ\text{C}$ est laissée dans une pièce dont la température est de $20^\circ\text{C}$. Si, au bout de $10$ minutes, la température du thé est descendue à $60^\circ\text{C}$, déterminer la valeur exacte de la constante de refroidissement $k$. Calculer ensuite le temps total qui doit s'écouler depuis le début pour que la température descende à $35^\circ\text{C}$.

Déterminer les valeurs numériques des paramètres $a$ et $b$ pour que la fonction logarithme $f(x) = \ln(ax + b)$ vérifie simultanément deux conditions : avoir une asymptote verticale d'équation $x = -3$ et passer par le point de coordonnées $(2, 0)$.

Résoudre le système suivant, qui combine équations exponentielles et logarithmiques, en déterminant les valeurs de $x$ et $y$ :

$\begin{cases} 2^x \cdot 4^y = 64 \\ \ln(x) - \ln(y) = \ln(2) \end{cases}$

Soit la fonction $f(x) = \ln \left( \frac{1+x}{1-x} \right)$ dont l'ensemble de définition est l'intervalle $]-1 ; 1[$. Démontrer de façon analytique, à l'aide des propriétés des logarithmes, que l'identité $f(a) + f(b) = f\left( \frac{a+b}{1+ab} \right)$ est vraie pour tous réels $a$ et $b$ appartenant à l'ensemble de définition et pour lesquels l'expression a un sens.

Pour résoudre l'équation logarithmique $\log_2(x + 2) + \log_2(x - 1) = 2$, on propose trois stratégies :

• Méthode 1 (regroupement par produit) : appliquer la propriété de la somme de logarithmes pour transformer l'équation en $\log_2((x+2)(x-1)) = 2$, passer à la forme exponentielle $(x+2)(x-1) = 2^2$ et résoudre l'équation du second degré obtenue.

• Méthode 2 (égalité des arguments) : écrire le terme constant sous la forme $2 = \log_2(4)$, regrouper le premier membre en un seul logarithme et égaler directement les arguments : $(x+2)(x-1) = 4$.

• Méthode 3 (isolement et quotient) : isoler un logarithme, $\log_2(x+2) = 2 - \log_2(x-1)$, transformer le second membre en $\log_2(4) - \log_2(x-1) = \log_2\left(\frac{4}{x-1}\right)$, et égaler les arguments : $x+2 = \frac{4}{x-1}$.

1. a) Résoudre l'équation en détaillant toutes les étapes algébriques avec la méthode 1 et la méthode 3.
2. b) Dans les trois méthodes apparaît la solution algébrique $x = -3$. Expliquer de façon rigoureuse pourquoi cette solution est parasite (non valable), en précisant à quelle étape exacte de la manipulation algébrique l'ensemble de validité s'élargit par rapport à l'ensemble de définition initial de l'équation.
3. c) Comparer les trois méthodes en analysant laquelle est algébriquement la plus sûre pour éviter les erreurs de calcul ou les dénominateurs nuls, et justifier quelle vérification indispensable doit toujours être effectuée, quelle que soit la méthode choisie.

Une fonction logarithme de la forme $f(x) = \log_a(b \cdot x + c)$, de base $a>0$, $a \neq 1$ et de coefficient $b>0$, a pour fonction réciproque la fonction exponentielle $f^{-1}(x) = \frac{3^x - 7}{4}$.

1. a) Déterminer en justifiant les valeurs exactes des constantes $a$, $b$ et $c$. Pour cela, exprimer la variable indépendante à partir de l'expression de $f^{-1}$ en utilisant la définition du logarithme et la propriété de réciprocité entre fonctions réciproques.
2. b) Déterminer avec rigueur l'ensemble de définition et l'ensemble image de $f(x)$, ainsi que l'équation de son asymptote verticale. Expliquer comment ces éléments correspondent à l'ensemble image et à l'ensemble de définition de $f^{-1}(x)$ par la symétrie des courbes par rapport à la droite $y = x$.
3. c) Obtenir les expressions simplifiées des fonctions composées $(f \circ f^{-1})(x)$ et $(f^{-1} \circ f)(x)$. Justifier pour quel ensemble de nombres réels chacune est valable et expliquer pourquoi le fait que leurs ensembles de définition ne coïncident pas ne contredit pas la définition de fonctions réciproques.