Exercices: Opérations sur les suites. Formes indéterminées

Calculer la limite de la suite $a_n = \frac{4n^3 - 2n + 1}{5n^3 + n^2 - 3}$.

Déterminer la valeur de la limite de la suite $b_n = \frac{7n^2 - n}{n^3 + 4n - 1}$.

Déterminer la limite de la suite $c_n = \frac{-2n^4 + 3n^2}{8n^2 + 5n - 2}$.

Lever l'indétermination $\infty - \infty$ dans la suite suivante en effectuant au préalable les opérations sur les fractions algébriques :

$d_n = \frac{n^2 + 1}{n} - \frac{n^2 - 2}{n+1}$

Calculer la limite de la suite de type exponentiel $e_n = \left( 1 + \frac{1}{n} \right)^{3n}$.

Calculer la limite suivante comportant des radicaux en multipliant et en divisant par l'expression conjuguée :

$\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{n^2 + 5n} - n \right)$

Soit les suites $a_n = \frac{2n}{n+1}$ et $b_n = 3n^2$. Calculer les limites $\lim_{n \to \infty} \frac{a_n}{b_n}$ et $\lim_{n \to \infty} (a_n \cdot b_n)$.

Déterminer la limite de la suite $f_n = \left( \frac{n+4}{n} \right)^n$.

Lors d'un contrôle de mathématiques, Marc doit calculer la limite $\lim_{n \to \infty} \left( \frac{2n^2 + 3}{n} - 2n \right)$. Il écrit sur sa copie : « Comme $\lim \frac{2n^2+3}{n} = \infty$ et $\lim 2n = \infty$, alors le résultat est $\infty - \infty = 0$ ».

1. a) Expliquer en justifiant pourquoi le raisonnement de Marc est mathématiquement incorrect et ce que signifie réellement le fait que $\infty - \infty$ soit une forme indéterminée.
2. b) Calculer la limite de façon rigoureuse en transformant l'expression à l'aide d'un dénominateur commun.

Soit la suite de terme général $a_n = \frac{6n^2 + 50n}{2n^2 - 7}$ :

1. a) Calculer mentalement ou à la calculatrice les termes $a_{10}$, $a_{100}$ et $a_{1000}$ (arrondis à deux décimales) et, à partir de ceux-ci, émettre une estimation argumentée de la valeur vers laquelle tend la suite lorsque $n \to \infty$.
2. b) Calculer formellement $\lim_{n \to \infty} a_n$ en appliquant les règles opératoires sur les quotients de polynômes (en divisant le numérateur et le dénominateur par la plus grande puissance de $n$).
3. c) Comparer votre estimation initiale avec le résultat exact obtenu et réfléchir à l'influence du terme linéaire $50n$ lorsque $n$ devient arbitrairement grand.

Le nombre d'abonnés d'une chaîne de vulgarisation scientifique croît selon la suite $S_n = \frac{1200n^2 + 50n}{3n^2 + 25}$, où $n$ est le temps en mois et $S_n$ le nombre d'abonnés en milliers. Vers quelle valeur l'audience de la chaîne se stabilise-t-elle à très long terme ?

L'écart en millimètres d'un bras robotisé à son itération $n$ est donné par la suite $d_n = \sqrt{9n^2 + 4n} - 3n$. Calculer l'erreur d'écart limite lorsque le nombre d'itérations tend vers l'infini.

Identifier la forme indéterminée et calculer la limite de la suite $a_n = \left( \frac{3n^2 + 5}{3n^2 - 2} \right)^{4n^2}$.

Un analyste financier étudie la performance d'un fonds d'investissement dont le taux de rendement au mois $n$ suit la suite $R_n = \frac{(2n+1)^3 - 8n^3}{3n^2 + 5n - 1}$. Déterminer le rendement limite en levant la forme indéterminée correspondante.

Lever la forme indéterminée dans la suite comportant des radicaux itérés au numérateur et au dénominateur :

$\lim_{n \to \infty} \frac{\sqrt{16n^2 + 3n} - 2n}{5n + \sqrt{n^2 - 1}}$

La température d'un composant électronique lors d'un processus de refroidissement itératif suit la suite $T_n = \left( \frac{n^2 - n}{n^2 + 3} \right)^{2n+1}$ en degrés Celsius au-dessus de la température ambiante. Déterminer la limite de cette température.

Calculer la limite de la différence de fractions rationnelles :

$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{n^3 + 2n^2}{n^2 - 1} - \frac{n^2 + 3}{n + 1} \right)$

Le taux de migration nette d'une région est estimé par la suite $I_n = n \left( \sqrt{n^2 + 2} - \sqrt{n^2 - 2} \right)$. Déterminer la tendance limite de ce taux lorsque $n \to \infty$.

L'INSEE publie régulièrement des indicateurs sur la durabilité urbaine. Dans un département français qui a mis en place un plan intensif de recyclage des déchets technologiques, on modélise le pourcentage d'appareils correctement collectés après $n$ années de campagne par la suite :

1. a) Déterminer le pourcentage de collecte estimé pour la première année ($n = 1$) et pour la quatrième année ($n = 4$).
2. b) Calculer $\lim_{n \to \infty} P_n$ en détaillant chaque étape de la levée de la forme indéterminée $\frac{\infty}{\infty}$.
3. c) L'Union européenne fixe comme objectif que les communes dépassent de façon durable $80\,\%$ de collecte sélective. À partir de la valeur de la limite obtenue, interpréter si ce département parviendra à long terme à se stabiliser au-dessus de cet objectif ou si le plan sera insuffisant.

Concevoir le terme général d'une suite rationnelle $a_n = \frac{p\cdot n + q}{r\cdot n + s}$ (avec $p, q, r, s \in \mathbb{R}$ et $r \neq 0$) vérifiant simultanément les trois conditions suivantes :

1) Sa limite en l'infini est exactement $4$ : $\lim_{n \to \infty} a_n = 4$.

2) Son premier terme est $a_1 = 1$.

3) La suite est strictement croissante pour tout $n \ge 1$ (c'est-à-dire $a_{n+1} > a_n$).

Expliquer pas à pas la déduction des valeurs choisies pour les coefficients et démontrer algébriquement que la suite proposée est strictement croissante pour tout $n \ge 1$.

Déterminer la valeur du paramètre $k \in \mathbb{R}$ pour que la limite de la suite $a_n = \sqrt{4n^2 + kn} - 2n$ soit égale à $5$.

Déterminer les valeurs des paramètres $a$ et $b$ pour que l'égalité suivante soit vérifiée :

$\lim_{n \to \infty} \left( \frac{2n^2 + 3n}{n + 1} - an - b \right) = 0$

Lors d'un processus de cristallisation, la concentration d'un réactif suit la suite $C_n = \left( \frac{n + a}{n + 2} \right)^{3n}$. Sachant que la concentration limite à long terme est $e^6$, quelle doit être la valeur du paramètre $a$ ?

Calculer la limite suivante, qui combine la somme des $n$ premiers termes d'une suite arithmétique et une forme indéterminée polynomiale :

$\lim_{n \to \infty} \frac{1 + 2 + 3 + \dots + n}{3n^2 + 2n - 1}$

Lever la forme indéterminée $\infty - \infty$ produite par la différence de deux racines carrées de polynômes du second degré :

$\lim_{n \to \infty} \left( \sqrt{n^2 + 5n + 1} - \sqrt{n^2 - 3n + 2} \right)$

Démontrer, en calculant la limite, vers quelle valeur tend la suite définie par $a_n = \left( \frac{n^2 + 5n - 1}{n^2 + 2n + 3} \right)^{\frac{n^2+1}{n}}$.

L'inflation cumulée dans un modèle macroéconomique théorique est donnée par la suite $I_n = \frac{3^n + 5^{n+1}}{5^n + 2^{n+2}}$. Déterminer la limite de l'inflation lorsque $n \to \infty$.

Dans l'étude de l'énergie cinétique relativiste à basses vitesses, on utilise une approximation mathématique faisant intervenir la suite $E_n = n^2 \left( \sqrt{1 + \frac{2}{n^2}} - 1 \right)$. Déterminer la valeur de la limite de la suite $E_n$ lorsque $n \to \infty$.

Pour calculer la limite $\lim_{n \to \infty} \left(\sqrt{n^2 + 6n} - \sqrt{n^2 - 2n}\right)$, trois élèves de première proposent des stratégies différentes :

• Lucie (méthode A) : elle factorise par $n$ en écrivant $n\left(\sqrt{1 + \frac{6}{n}} - \sqrt{1 - \frac{2}{n}}\right)$, remplace $\frac{6}{n} \to 0$ et $\frac{2}{n} \to 0$, et conclut que la limite est $\infty \cdot (1 - 1) = \infty \cdot 0 = 0$.

• David (méthode B) : il multiplie et divise par l'expression conjuguée pour transformer la forme indéterminée $\infty - \infty$ en un quotient d'infinis.

• Hélène (méthode C) : elle met sous forme canonique à l'intérieur de chaque racine en observant que $n^2 + 6n = (n+3)^2 - 9$ et que $n^2 - 2n = (n-1)^2 - 1$. Elle raisonne que, pour des valeurs gigantesques de $n$, les nombres $-9$ et $-1$ sont négligeables devant les carrés, et approche donc la différence par $(n+3) - (n-1) = 4$.

Tâches :

1) Expliquer avec précision pourquoi le raisonnement de Lucie est incorrect et à quel endroit elle commet une erreur logique.

2) Développer entièrement le calcul en appliquant la méthode B de David et obtenir la valeur exacte de la limite.

3) Comparer la validité formelle de la méthode de David avec l'approximation heuristique d'Hélène : la proposition d'Hélène peut-elle être considérée comme une démonstration rigoureuse dans une évaluation ou seulement comme une conjecture intuitive ? Justifier la réponse.

Considérer la famille de suites dépendant de deux paramètres réels $a, b \in \mathbb{R}$ donnée par :

1. a) Analyser quel type de comportement ou de forme indéterminée présente $\lim_{n \to \infty} x_n$ lorsque $a < 0$, lorsque $a = 0$ et lorsque $a > 0$ avec $a \neq 3$. Déduire en justifiant quelle valeur doit nécessairement avoir le paramètre $a$ pour que la limite soit un nombre réel fini.
2. b) Cette valeur de $a$ étant fixée, déterminer la valeur exacte du paramètre $b$ pour que l'égalité $\lim_{n \to \infty} x_n = -1$ soit vérifiée.
3. c) Avec les paramètres $a$ et $b$ trouvés, analyser si les termes de la suite s'approchent de $-1$ par valeurs supérieures (valeurs plus grandes que $-1$) ou par valeurs inférieures (valeurs plus petites que $-1$) pour de grandes valeurs de $n$. Justifier la conclusion en étudiant le signe de la différence $x_n - (-1)$.