Exercices: Inégalités de concentration et loi des grands nombres

Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $50$ et de variance $25$. À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, majorer $P(|X - 50| \geq 10)$.

Soit $X$ une variable aléatoire d'espérance $E(X) = 8$ et de variance $V(X) = 4$. Majorer $P(|X-8| \geq 6)$ par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Soit $M_n$ la moyenne d'un échantillon de taille $100$ d'une variable d'écart type $2$ et d'espérance $m$. Calculer $V(M_{100})$ puis majorer $P(|M_{100} - m| \geq 0{,}5)$.

On lance $400$ fois une pièce équilibrée. Soit $X$ le nombre de « pile ».

1. a) Calculer $E(X)$ et $V(X)$.

1. b) Majorer $P(|X - 200| \geq 30)$.

Un fabricant de Toulouse produit des pièces dont $2\ \%$ sont défectueuses. On prélève $1\,000$ pièces, avec remise, et on note $F$ la fréquence de pièces défectueuses.

1. a) Calculer $E(F)$ et $V(F)$.

1. b) Majorer $P(|F - 0{,}02| \geq 0{,}01)$.

Soit $M_n$ la moyenne d'un échantillon de taille $n$ d'une variable d'espérance $m$ et de variance $\sigma^2 = 9$. Déterminer la plus petite taille $n$ telle que $P(|M_n - m| \geq 0{,}5) \leq 0{,}05$ soit garantie par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev.

Démontrer l'inégalité de concentration : pour $M_n$ moyenne d'un échantillon de taille $n$ de variables d'espérance $m$ et de variance $V$, et pour tout $\delta > 0$,

$P(|M_n - m| \geq \delta) \leq \dfrac{V}{n\delta^2}$.

En déduire que $P(|M_n - m| \geq \delta) \to 0$ quand $n \to +\infty$ (loi faible des grands nombres).

Un sondage est réalisé auprès de $n$ électeurs d'une ville, tirés avec remise. Soit $p$ la proportion inconnue favorable à un projet et $F_n$ la fréquence observée.

1. a) Montrer que $V(F_n) \leq \dfrac{1}{4n}$.

1. b) Déterminer la taille minimale $n$ de l'échantillon pour que l'intervalle $[F_n - 0{,}02\,;\,F_n + 0{,}02]$ contienne $p$ avec une probabilité d'au moins $0{,}95$, au vu de l'inégalité de concentration.

1. c) Même question avec un risque de $1\ \%$.

Un hôtel de Nice accepte $n$ réservations pour $200$ chambres. Chaque client, indépendamment, se présente avec la probabilité $0{,}9$. Soit $X$ le nombre de clients présents si $n = 210$.

1. a) Calculer $E(X)$ et $V(X)$.

1. b) Majorer, par l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, la probabilité que $X \geq 201$ (indiquer l'événement $|X - E(X)| \geq a$ utilisé).

1. c) Commenter l'intérêt de cette majoration.