Exercices: Types de fonctions

Soit la fonction polynôme $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$. Réaliser une étude élémentaire de son comportement en suivant les étapes suivantes :

1. a) Calculer les coordonnées des points d'intersection avec les axes du repère.
2. b) Déterminer les intervalles de croissance et de décroissance à l'aide de la dérivée première $f'(x)$.
3. c) Déterminer les coordonnées $(x, y)$ de ses maximums et minimums locaux.

Considérer la fonction rationnelle $f(x) = \frac{2x + 4}{x - 3}$. Pour comprendre sa structure avant de la représenter, analyser ses principaux éléments. La figure montre une partie de sa courbe ; les graduations des axes sont espacées de 1 unité.

1. a) Déterminer son ensemble de définition.

1. b) Déterminer les équations de ses asymptotes verticales et horizontales.

1. c) Étudier la parité de la fonction. Est-elle paire, impaire ou ni l'un ni l'autre ?

Les fonctions avec valeurs absolues présentent souvent des points où la courbe change brusquement de direction. Soit la fonction $f(x) = |x - 4|$.

1. a) Exprimer la fonction comme une fonction définie par morceaux.

1. b) Indiquer le point de la courbe où la fonction est continue mais non dérivable (point anguleux).

1. c) Esquisser sa courbe en indiquant le sommet.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

L'ensemble de définition d'une fonction est fondamental pour sa représentation. Déterminer l'ensemble de définition des fonctions transcendantes suivantes :

1. a) $f(x) = \ln(x^2 - 1)$
2. b) $g(x) = e^{\frac{1}{x}}$
3. c) $h(x) = \sqrt{x + 5}$

Expliquer brièvement pourquoi il existe des restrictions dans chaque cas.

Un biologiste étudie l'évolution d'une population de bactéries dans un milieu contrôlé. Le nombre de bactéries (en milliers) est donné par la fonction $P(t) = \frac{40t}{t + 2}$, où $t$ est le temps en heures écoulé depuis le début de l'expérience ($t \geq 0$). La figure montre la courbe représentative de $P(t)$.

1. a) Quelle est la population au début de l'expérience ($t = 0$) ?

1. b) Quelle est la limite de la population lorsque le temps croît indéfiniment ? Interpréter le résultat en termes d'asymptotes.

1. c) La population augmente-t-elle ou diminue-t-elle avec le temps ? Justifier la réponse à l'aide de la dérivée $P'(t)$.

Soit la fonction $f(x) = x^4 - 2x^2$. Étudier sa convexité en suivant les étapes ci-dessous :

1. a) Calculer la dérivée seconde $f''(x)$.
2. b) Déterminer les intervalles de convexité ($\cup$) et de concavité ($\cap$).
3. c) Déterminer les points d'inflexion de la fonction.

Déterminer la parité des fonctions suivantes en justifiant mathématiquement si elles sont paires ($f(x) = f(-x)$), impaires ($f(-x) = -f(x)$) ou ni l'un ni l'autre :

1. a) $f(x) = x^2 \cdot \cos(x)$
2. b) $g(x) = \frac{x^3}{x^2 + 1}$
3. c) $h(x) = e^x - x$

Observer la courbe suivante d'une fonction $f(x)$ (les droites en pointillés sont les asymptotes de la fonction ; utiliser les graduations des axes, une par unité) et en extraire les informations demandées :

1. a) Indiquer les valeurs de $x$ où se trouvent les asymptotes verticales.

1. b) Estimer les intervalles où la fonction est croissante.

1. c) Identifier la valeur de $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ en observant le comportement de la courbe.

Marc doit déterminer les extremums locaux de la fonction avec valeur absolue $f(x) = |x^2 - 9|$. Sur sa copie, il écrit :

« Comme la valeur absolue ne change pas le degré du polynôme, je dérive directement son argument pour obtenir le coefficient directeur : $f'(x) = 2x$. J'égale à zéro et j'obtiens $2x = 0 \implies x = 0$. En remplaçant, $f(0) = |-9| = 9$. Comme $f''(0) = 2 > 0$, je conclus que la fonction admet un unique extremum local : un minimum au point $(0 ; 9)$ ».

1. a) Identifier les deux erreurs conceptuelles graves commises par Marc en ignorant la définition de la valeur absolue et la dérivabilité de la fonction.
2. b) Écrire correctement $f(x)$ comme une fonction définie par morceaux selon le signe de son argument.
3. c) Déterminer tous les extremums locaux réels de $f(x)$, en les classant avec justification en maximums ou minimums et en distinguant ceux qui correspondent à des points lisses ($f'(x) = 0$) et ceux qui correspondent à des points anguleux où la fonction n'est pas dérivable.

Pour étudier les asymptotes et la position relative de la courbe de la fonction rationnelle $f(x) = \dfrac{2x^2 + 3x - 1}{x + 2}$, deux élèves proposent des stratégies différentes :

• Méthode A (Alba) : effectuer la division polynomiale du numérateur par le dénominateur pour écrire la fonction sous la forme $f(x) = c(x) + \dfrac{r(x)}{d(x)}$.

• Méthode B (Bruno) : appliquer les limites classiques $m = \lim_{x \to \pm\infty} \dfrac{f(x)}{x}$ et $n = \lim_{x \to \pm\infty} [f(x) - m \cdot x]$.

1. a) Comparer les deux méthodes et justifier pourquoi celle d'Alba est plus efficace dans ce cas pour déterminer simultanément l'équation de l'asymptote oblique et la position de la courbe par rapport à elle en $+\infty$ et $-\infty$ sans calculer de limites supplémentaires.
2. b) Appliquer la méthode d'Alba pour déterminer la droite asymptote et justifier par le calcul si la courbe est située au-dessus ou au-dessous de cette asymptote en chacun des deux infinis.

Soit la fonction rationnelle $f(x) = \frac{2x^2}{x^2 - 9}$. Réaliser une étude complète en vue de sa représentation graphique en suivant ces étapes :

1. a) Déterminer l'ensemble de définition et les points d'intersection avec les axes du repère.

1. b) Étudier l'existence de symétries de la fonction.

1. c) Déterminer les asymptotes verticales, horizontales et la position de la courbe par rapport à celles-ci.

1. d) Déterminer les intervalles de croissance et de décroissance, ainsi que ses maximums et minimums locaux.

1. e) Esquisser la courbe de la fonction à partir des résultats précédents.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

On considère la fonction $f(x) = \frac{x^2 + 3}{x - 1}$. On demande :

1. Déterminer les équations de ses asymptotes. S'il existe une asymptote oblique, déterminer la position de la courbe par rapport à celle-ci lorsque $x \to +\infty$ et $x \to -\infty$.

2. Trouver les intervalles de concavité et de convexité, et vérifier s'il existe des points d'inflexion.

3. Utiliser les informations sur la croissance et les extremums pour dessiner un schéma précis de la courbe.

Une étude biologique sur une population d'insectes en milieu contrôlé suit la fonction $P(t) = \frac{50t}{t^2 + 4} + 2$, où $P$ est la population en milliers et $t$ est le temps en mois depuis le début de l'expérience ($t \geq 0$).

1. Déterminer à quel moment la population atteint son maximum et quelle est cette valeur.

2. Vers quelle valeur tend la population si l'expérience se prolongeait indéfiniment ? Justifier la réponse par le calcul de limites.

3. Étudier la convexité de la fonction pour identifier à quel moment la diminution de la population commence à ralentir (point d'inflexion).

Soit la fonction avec valeur absolue $f(x) = |x^2 - 4x + 3|$ :

1. a) Exprimer la fonction sous forme de fonction définie par morceaux.

1. b) Étudier la dérivabilité de la fonction aux points $x = 1$ et $x = 3$. Que se passe-t-il géométriquement en ces points ?

1. c) Déterminer les extremums locaux de la fonction et la représenter graphiquement.

Soit la fonction $f(x) = (x - 2)e^x$. Réaliser une étude détaillée de celle-ci en vue de sa représentation graphique, comprenant :

1. Ensemble de définition et points d'intersection avec les axes.

2. Asymptotes horizontales et comportement à l'infini.

3. Intervalles de monotonie et extremums locaux.

4. Points d'inflexion et convexité.

Étudier et représenter la fonction logarithme $f(x) = \ln(x^2 + 1)$. Votre analyse doit comprendre :

1. Démonstration que la fonction est paire. Quelle conséquence cela a-t-il sur sa représentation ?

2. Détermination des intervalles de croissance et de décroissance.

3. Étude de la convexité et recherche de points d'inflexion.

4. La fonction admet-elle des asymptotes, de quelque type que ce soit ? Justifier la réponse.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

On considère la fonction définie par morceaux :

$$f(x) = \begin{cases} \frac{1}{x-2} & \text{si } x < 0 \\ x^2 - 2x - \frac{1}{2} & \text{si } x \geq 0 \end{cases}$$

1. Étudier la continuité et la dérivabilité de la fonction en $x = 0$.

2. Déterminer les asymptotes de la fonction sur son ensemble de définition.

3. Déterminer les minimums et maximums locaux de chaque morceau sur l'intervalle correspondant.

4. Esquisser la courbe de la fonction.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

Déterminer les valeurs des paramètres $a$ et $b$ pour que la fonction $f(x) = ax^3 + bx^2 - x + 4$ admette un point d'inflexion en $x = 1$ et que le coefficient directeur de la tangente en ce point soit $1$. Une fois les paramètres trouvés :

1. a) Étudier le sens de variation de la fonction obtenue.

1. b) Déterminer si elle admet un maximum ou un minimum local.

1. c) Justifier si la fonction admet des asymptotes.

Soit la fonction $f(x) = \dfrac{\ln(x)}{x}$. Répondre aux questions suivantes en combinant raisonnement logique et calcul formel :

1. Phase d'estimation (sans dériver ni calculer de limites formelles pour l'instant) :

a) À partir de l'ensemble de définition de la fonction logarithme et sachant que $\ln(x) \to -\infty$ lorsque $x \to 0^+$, estimer le comportement de la courbe près de l'axe $Y$. Y aura-t-il une asymptote verticale ? Vers où la branche va-t-elle tendre ?

b) Le cours souligne que le logarithme « croît beaucoup plus lentement que n'importe quel polynôme ». En vous appuyant sur cela, estimer vers quelle valeur $f(x)$ se rapprochera lorsque $x \to +\infty$ et en déduire s'il existera une asymptote horizontale.

c) Sachant que $f(1) = 0$, que $f(x) < 0$ pour $x \in ]0 ; 1[$, et que pour $x > 1$ la fonction est positive mais doit se rapprocher de l'asymptote horizontale lorsque $x \to +\infty$, déduire s'il doit obligatoirement exister au moins un maximum local et estimer dans quel intervalle de $x$ il devrait se trouver.

1. Phase de vérification :

d) Confirmer analytiquement vos estimations en calculant $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ et $\lim_{x \to +\infty} f(x)$.

e) Calculer la dérivée $f'(x)$, déterminer les coordonnées exactes $(x, y)$ de son extremum local et vérifier si votre déduction préalable sur l'existence et la position du maximum était correcte.

Lors d'un épisode hivernal d'inversion thermique à Paris, la concentration de dioxyde d'azote ($NO_2$) dans l'air, mesurée en microgrammes par mètre cube ($\mu\text{g/m}^3$), est suivie pendant une journée complète ($t \in [0, 24]$ heures). Le service de la qualité de l'air modélise l'évolution par une fonction définie par morceaux qui relie la phase d'accumulation matinale due à la circulation et la dispersion de l'après-midi :

$$C(t) = \begin{cases} 40 + 10t - 0,5t^2 & \text{si } 0 \le t \le 12 \\ 124 \cdot e^{-0,1(t-12)} - 36 & \text{si } 12 < t \le 24 \end{cases}$$

1. a) Vérifier si le modèle garantit la continuité au changement d'intervalle ($t = 12$). Étudier ensuite la dérivabilité en ce point et justifier si la courbe présente un point anguleux ou une transition lisse. Interpréter la signification physique de ce fait.
2. b) Déterminer à quel moment de la journée la concentration maximale de polluant est atteinte et calculer sa valeur exacte.
3. c) Si le modèle de dispersion exponentielle se poursuivait indéfiniment ($t \to +\infty$), aurait-il une asymptote horizontale ? Justifier par le calcul pourquoi le terme exponentiel tend vers zéro et quel serait le niveau résiduel théorique de pollution selon cette asymptote.

On considère la fonction définie par morceaux :

$$f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - 4}{x+2} & \text{si } x < -2 \\ a \cdot e^{x+2} + b x & \text{si } -2 \le x < 0 \\ \dfrac{x+1}{x^2+1} & \text{si } x \ge 0 \end{cases}$$

Réaliser une étude complète de la fonction en suivant ces étapes :

1. Déterminer les valeurs de $a$ et $b$ pour que la fonction soit continue en $x = -2$ et admette un extremum local en $x = -1$.

2. Pour les valeurs trouvées, étudier la dérivabilité en $x = -2$ et $x = 0$.

3. Déterminer les asymptotes de la fonction sur tout son ensemble de définition.

4. Déterminer les intervalles de croissance et de décroissance, ainsi que les maximums et minimums locaux sur l'intervalle $]-\infty \,;\, 0[$.

Soit la fonction rationnelle définie par :

$$f(x) = \frac{x^3 + ax^2 + b}{x^2 - 1}$$

Déterminer les valeurs des paramètres réels $a$ et $b$ sachant que la droite $y = x + 2$ est une asymptote oblique de la fonction et que sa courbe passe par le point $(0 ; 0)$. Une fois les paramètres calculés :

1. Déterminer l'ensemble de définition et les asymptotes verticales, en étudiant la position de la courbe par rapport à celles-ci.

2. Trouver les points d'intersection avec les axes.

3. Étudier l'existence de points d'inflexion. Est-il possible que cette fonction n'ait aucun point d'inflexion sur son ensemble de définition ? Justifier la réponse.

Un satellite de communication décrit une trajectoire telle que l'intensité du signal reçu sur Terre est donnée par la fonction :

$$S(t) = \ln |t^2 - 9| - \frac{t}{2}$$

où $t$ représente le temps en heures depuis le début du suivi ($t \ge 0$).

1. Déterminer l'ensemble de définition de la fonction et identifier les instants où le signal est complètement interrompu.

2. Déterminer les asymptotes verticales et expliquer leur signification dans ce contexte.

3. Déterminer les intervalles de croissance et de décroissance de l'intensité du signal.

4. Déterminer à quel moment le signal atteint son maximum local et esquisser la courbe représentant l'intensité.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

Soit la fonction :

$$f(x) = \frac{x \cdot |x|}{x - 1}$$

1. Exprimer la fonction sous forme de fonction définie par morceaux en supprimant la valeur absolue.

2. Étudier la continuité et la dérivabilité de la fonction sur tout son ensemble de définition, en portant une attention particulière au point $x = 0$.

3. Déterminer les asymptotes de la courbe de $f$.

4. Déterminer les intervalles de croissance et de décroissance et les extremums locaux.

5. Esquisser la courbe de la fonction en indiquant clairement les points où la dérivée n'existe pas, s'il y en a.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

On considère la fonction $f(x) = (x-2)^2 \cdot e^x$.

1. Déterminer les points d'intersection avec les axes et les asymptotes de la fonction.

2. Déterminer le sens de variation et les extremums locaux (maximums et minimums).

3. Déterminer les intervalles de convexité et les points d'inflexion.

4. Sachant que $e^{-2} \approx 0,135$ et $e^0 = 1$, esquisser la courbe de la fonction.

5. Calculer l'aire du triangle formé par l'origine du repère et les points de la courbe où la tangente est horizontale.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

Étudier et représenter graphiquement la fonction de « type mixte » :

$$f(x) = x \cdot e^{1/x}$$

Pour cela, analyser en détail :

1. a) L'ensemble de définition et le comportement de la fonction au voisinage de $x = 0$, en calculant les limites à droite $\lim_{x \to 0^+} f(x)$ et à gauche $\lim_{x \to 0^-} f(x)$.

1. b) Les asymptotes verticales et obliques.

1. c) L'existence d'extremums locaux à l'aide de la dérivée première.

1. d) La concavité et la convexité par l'étude du signe de $f''(x)$.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

On souhaite concevoir le profil d'une rampe de skatepark. Le profil latéral suit la courbe de la fonction :

$$f(x) = \frac{\ln(x^2+1)}{x}$$

pour $x \in [-5, 5], x \neq 0$. On demande :

1. Démontrer que la fonction est impaire. Qu'est-ce que cela implique pour sa représentation graphique ?

2. Définir la valeur de $f(0)$ de sorte que la fonction soit continue en $x=0$. Pour cela, calculer $\lim_{x \to 0} f(x)$ (on peut utiliser la règle de L'Hôpital).

3. La fonction est-elle dérivable en $x=0$ avec la définition précédente ? Justifier la réponse.

4. Déterminer les points de la rampe où la pente est nulle.

5. Étudier l'existence d'asymptotes horizontales lorsque l'ensemble de définition est étendu à tout ℝ.

Dessiner l'allure de la courbe d'une fonction continue $f(x)$ vérifiant simultanément les huit conditions suivantes :

• Son ensemble de définition est $\mathbb{R} - \{1\}$.

• Elle admet une asymptote verticale en $x = 1$ telle que $\lim_{x \to 1^-} f(x) = +\infty$ et $\lim_{x \to 1^+} f(x) = -\infty$.

• Elle admet une asymptote oblique $y = x$ lorsque $x \to +\infty$.

• Elle admet une asymptote horizontale $y = -2$ lorsque $x \to -\infty$.

• $f'(x) < 0$ sur l'intervalle $]-\infty ; -2[$ et $f'(x) > 0$ sur $]-2 ; 1[ \cup ]1 ; +\infty[$.

• Elle présente un minimum local au point $(-2 ; -4)$.

• $f''(x) > 0$ sur $]-3 ; 1[$ et $f''(x) < 0$ sur $]-\infty ; -3[ \cup ]1 ; +\infty[$.

• Elle coupe l'axe $OX$ uniquement aux points $x = 0$ et $x = 2$.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

On souhaite déterminer l'expression d'une fonction rationnelle irréductible $f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}$ vérifiant simultanément les quatre conditions géométriques et analytiques suivantes :

1. Son ensemble de définition est $\mathbb{R}$ tout entier (elle n'admet aucune asymptote verticale).

2. Elle est symétrique par rapport à l'origine du repère (fonction impaire).

3. La droite $y = 0$ est son asymptote horizontale en $+\infty$ comme en $-\infty$.

4. Elle admet un extremum local au point $(2 ; 4)$.

1. a) Justifier théoriquement pourquoi une fonction polynôme ne pourrait jamais vérifier à la fois les conditions 1, 3 et 4. Pour cela, rappeler le comportement d'un polynôme à l'infini : s'il n'est pas constant, sa limite lorsque $x\to\pm\infty$ est $+\infty$ ou $-\infty$ (elle est déterminée par le terme de plus haut degré) ; et s'il est constant, la condition 3 impose que ce soit le polynôme nul.

1. b) Analyser, en justifiant, quels degrés minimaux doivent avoir les polynômes $P(x)$ et $Q(x)$, et quelle parité doivent avoir les exposants de chacun, pour que les conditions 1, 2 et 3 soient vérifiées.

1. c) Déduire l'expression exacte de la fonction la plus simple vérifiant toutes les conditions données.

1. d) Démontrer à l'aide de la dérivée première si le point $(2 ; 4)$ est un maximum ou un minimum local, et déterminer, par simple symétrie et sans effectuer de nouveaux calculs de dérivées, les coordonnées et la nature de l'autre extremum local de la fonction.

Pour analyser les extremums locaux et le comportement asymptotique de la fonction $f(x) = |x^2 - 4| \cdot e^{-x}$, deux élèves de terminale proposent des méthodes différentes :

• Méthode A (décomposition analytique par morceaux) : étudier le signe de l'argument $x^2 - 4$, réécrire $f(x)$ comme une fonction définie par morceaux en supprimant les barres de valeur absolue, calculer la dérivée de chaque morceau séparément et analyser les points de raccord à l'aide des limites à gauche et à droite des dérivées.

• Méthode B (transformation géométrique d'une fonction auxiliaire) : étudier complètement la fonction dérivable auxiliaire $g(x) = (x^2 - 4) \cdot e^{-x}$ (intersections avec les axes, extremums en annulant une seule dérivée et asymptotes), puis obtenir la courbe et les propriétés de $f(x) = |g(x)|$ par une symétrie par rapport à l'axe $X$ des parties où $g(x) < 0$.

1. a) Comparer de façon critique les deux méthodes. Justifier pourquoi la méthode B est conceptuellement plus efficace pour identifier les points anguleux (pics) et en déduire la nouvelle position et la nature des extremums sans dériver de fonctions définies par morceaux.
2. b) En suivant la méthode B, calculer la dérivée de la fonction auxiliaire $g(x)$ et déterminer les abscisses exactes de ses extremums locaux.
3. c) À partir du comportement de $g(x)$, déterminer en justifiant, pour la fonction initiale $f(x)$ :

• Les coordonnées de tous ses extremums locaux, en indiquant explicitement lesquels sont des points réguliers ($f'(x) = 0$) et lesquels sont des pics où la dérivée n'existe pas.

• Les asymptotes horizontales en $+\infty$ et en $-\infty$, en justifiant pourquoi la fonction tend vers zéro dans un seul des deux sens de l'infini.

Défi du chapitre. Comment « respire » la consommation d'énergie de notre pays ? Votre mission est de modéliser et d'analyser la courbe de la demande électrique quotidienne d'une journée réelle.

1. Collecte des données : consulter le site officiel de RTE (Réseau de transport d'électricité) et relever la consommation réelle de la France métropolitaine (en GW) heure par heure pour la journée d'hier, pour $t \in [0, 24]$.

2. Modélisation et classification : saisir les couples de valeurs dans GeoGebra et proposer une fonction $f(t)$ qui approche le comportement global (un polynôme de degré 3 ou 4, ou une fonction rationnelle). Classer le type de fonction choisi et justifier votre choix.

3. Étude analytique : extraire analytiquement toutes les informations sur $f(t)$ : déterminer l'ensemble de définition, les asymptotes (s'il y en a), les intervalles de monotonie et les extremums à l'aide de $f'(t)=0$, ainsi que la convexité et les points d'inflexion avec $f''(t)=0$.

4. Compte rendu de conclusions : rédiger un bref compte rendu (une page) avec la courbe superposée aux données, en confrontant vos maximums et minimums analytiques aux pics réels de consommation (heures de pointe et heures creuses).

Seront valorisés :

• La rigueur dans l'étude analytique de la fonction (dérivées, sens de variation, convexité et asymptotes).

• La justification adaptée du type de fonction et de l'ajustement dans GeoGebra.

• La cohérence de l'interprétation dans le compte rendu lors de la confrontation du modèle avec les données réelles.