Exercices: Récurrence et suites

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 2$ et, pour tout entier naturel $n$, $u_{n+1} = u_n + 3$.

Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 2 + 3n$.

Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $2^n \geq n + 1$.

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = 2u_n + 1$.

Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n = 2^{n+1} - 1$.

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 5$ et $u_{n+1} = \dfrac{1}{2}u_n + 2$.

1. a) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $u_n \geq 4$.

1. b) Montrer par récurrence que la suite $(u_n)$ est décroissante.

Soit $a$ un réel strictement positif.

1. a) Énoncer l'inégalité de Bernoulli pour tout entier naturel $n$ : $(1+a)^n \geq \ldots$ puis la démontrer par récurrence.

1. b) Une population de bactéries augmente de $5\ \%$ chaque heure. Montrer que, au bout de $n$ heures, elle a été multipliée par au moins $1 + 0{,}05n$.

Pour tout entier naturel $n$, on pose $S_n = 1 + 2 + 3 + \cdots + n$.

1. a) Montrer par récurrence que $S_n = \dfrac{n(n+1)}{2}$.

1. b) Montrer par récurrence que, pour tout entier $n \geq 1$, $1^3 + 2^3 + \cdots + n^3 = S_n^2$.

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 1$ et $u_{n+1} = \sqrt{2 + u_n}$.

1. a) Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel $n$, $0 < u_n < 2$.

1. b) Montrer que la suite $(u_n)$ est croissante.

1. c) Montrer que, pour tout $n$, $2 - u_{n+1} \leq \dfrac{1}{2}(2 - u_n)$, puis en déduire que $2 - u_n \leq \dfrac{1}{2^n}$.

Pour tout entier naturel $n$, on pose $I_n = \displaystyle\int_0^1 x^n e^{x}\,dx$.

1. a) Calculer $I_0$ et $I_1$.

1. b) Montrer que, pour tout entier $n \geq 0$, $I_{n+1} = e - (n+1)I_n$.

1. c) Montrer que, pour tout $n$, $0 \leq I_n \leq \dfrac{e}{n+1}$, puis déterminer $\lim_{n\to+\infty} I_n$.

Soit $(u_n)$ la suite définie par $u_0 = 0$ et $u_{n+1} = \dfrac{2u_n + 3}{u_n + 4}$.

1. a) Montrer par récurrence que, pour tout $n$, $0 \leq u_n \leq 1$.

1. b) Montrer que, pour tout $n$, $u_{n+1} - u_n = \dfrac{(1-u_n)(u_n+3)}{u_n+4}$, puis que $(u_n)$ est croissante.

1. c) Montrer par récurrence que $1 - u_n \leq \left(\dfrac{1}{2}\right)^n$ pour tout $n$ et en déduire la limite de $(u_n)$.