Exercices: Parallélisme et orthogonalité entre droites et plans dans l'espace

Déterminer la position relative de la droite $r$ et du plan $\pi$ en étudiant la relation entre leurs vecteurs caractéristiques. La droite est donnée par l'équation symétrique $r: \dfrac{x-1}{2} = \dfrac{y+3}{-1} = \dfrac{z}{4}$ et le plan par l'équation cartésienne $\pi: 2x - y + 4z - 5 = 0$.

1. a) Écrire un vecteur directeur $\vec{v}_r$ de la droite et un vecteur normal $\vec{n}$ du plan.

1. b) Le vecteur directeur de la droite est-il colinéaire au vecteur normal du plan ? Justifier la réponse.

1. c) Justifier quelle conséquence géométrique ce fait a sur la position relative de $r$ et $\pi$.

Un bras robotisé d'une usine de montage se déplace selon une trajectoire rectiligne $s$. La trajectoire passe par le point de contrôle $A(2\,;\,-1\,;\,5)$ et doit être perpendiculaire au panneau de support, représenté par le plan $\pi: x + 3y - 2z + 4 = 0$. Déterminer une représentation paramétrique de la droite $s$ suivie par le bras robotisé.

Vérifier si le plan $\pi_1: 2x - 4y + 2z - 7 = 0$ et le plan $\pi_2: x - 2y + z + 5 = 0$ sont parallèles. Pour cela, étudier si leurs vecteurs normaux sont colinéaires. S'ils sont parallèles, déterminer s'ils sont confondus ou s'ils n'ont aucun point commun.

Soit le point $Q(3 ; -1 ; 4)$ et le plan $\alpha: 2x + y = 0$. Déterminer une équation de la droite $r$ passant par $Q$ et perpendiculaire au plan $\alpha$. Faire particulièrement attention à l'identification des coordonnées du vecteur normal du plan, en remarquant l'absence de la variable $z$.

Déterminer la valeur du paramètre $k$ pour que la droite $r: \dfrac{x-2}{3} = \dfrac{y}{-2} = \dfrac{z+1}{1}$ soit parallèle au plan $\pi: kx + 3y + z - 7 = 0$. Rappel : pour qu'une droite et un plan soient parallèles, le produit scalaire de leurs vecteurs caractéristiques doit être nul.

Dans un projet d'énergie solaire, on installe un panneau plan représenté par le plan $\pi \equiv 2x + y - z = 4$. Un mât de support est défini par la droite $r \equiv \{x = 1+t, y = 2-t, z = 3t\}$. À midi, les rayons du soleil arrivent perpendiculairement au panneau. Déterminer une équation de la droite $s$ représentant la projection orthogonale du mât $r$ sur le panneau solaire $\pi$ (son « ombre » sous incidence perpendiculaire). Déterminer aussi le point où le mât traverse le panneau.

On considère la droite $r$ passant par les points $A(1 ; 0 ; 2)$ et $B(2 ; 1 ; 0)$. Déterminer les coordonnées d'un point $P$ situé dans le plan $\pi \equiv x + y + z = 10$, tel que le segment joignant le point $P$ à sa projection orthogonale sur la droite $r$ soit perpendiculaire au plan $\pi$.

Soit la famille de plans $\pi_a \equiv ax + y + z = a$. Déterminer la valeur de $a$ pour que la projection orthogonale de la droite $r \equiv \frac{x-1}{1} = \frac{y}{2} = \frac{z+1}{-1}$ sur le plan $\pi_a$ soit une droite parallèle au plan de coordonnées $YZ$. Une fois $a$ trouvé, écrire une représentation paramétrique de cette droite projetée.

Un architecte conçoit une structure pyramidale de sommet $V(2 ; 2 ; 6)$ dont la base est contenue dans le plan $\pi \equiv x + 2y + 2z = 6$. Déterminer le pied de la hauteur de la pyramide (projection orthogonale de $V$ sur $\pi$) et le volume du tétraèdre formé par l'origine du repère et les points d'intersection du plan $\pi$ avec les trois axes de coordonnées.

Arthur doit déterminer la position relative de la droite $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+3}{-1} = \frac{z}{1}$ et du plan $\pi: 2x - y + z + 4 = 0$. Dans sa résolution, il écrit :

« Le vecteur directeur de la droite est $\vec{v} = (2, -1, 1)$ et le vecteur normal du plan est $\vec{n} = (2, -1, 1)$. Comme $\vec{v} = \vec{n}$, les deux vecteurs sont colinéaires, ce qui prouve que la droite et le plan sont parallèles ».

1. a) Expliquer l'erreur conceptuelle d'Arthur. Décrire la position géométrique que prennent réellement une droite et un plan lorsque leurs vecteurs directeur et normal sont colinéaires, en s'appuyant sur la signification du vecteur normal à une surface plane.
2. b) Corriger l'exercice : déterminer la véritable position relative de $r$ et $\pi$ et trouver les coordonnées de leur point d'intersection s'il existe.

On sait que la projection orthogonale du point extérieur $P(3 ; -1 ; 2)$ sur un plan inconnu $\pi$ est le point $Q(1 ; 1 ; 0)$.

1. a) Justifier géométriquement pourquoi le vecteur $\vec{QP}$ est un vecteur normal au plan $\pi$ et écrire une équation cartésienne de ce plan.
2. b) Écrire des équations symétriques d'une droite $r$ passant par le point $P$ et strictement parallèle au plan $\pi$. Combien de droites distinctes vérifient simultanément ces deux conditions ? Justifier la réponse en décrivant la figure géométrique formée par toutes ces droites dans l'espace.

Un architecte conçoit une rampe modélisée par un plan $\pi$ d'équation cartésienne $x + y + z - 6 = 0$. Pour installer un capteur de luminosité, il doit connaître la projection orthogonale du point $P(1 ; 2 ; 5)$ sur ce plan. Calculer les coordonnées du point $Q$ qui représente cette projection (appelé le pied de la perpendiculaire).

Déterminer la projection orthogonale du point $A(2\,;\,0\,;\,-1)$ sur la droite $r$ donnée par son équation :

Aide : Rappel : on peut construire un plan auxiliaire perpendiculaire à la droite et passant par le point $A$.

On projette la droite $r$, qui passe par les points $A(1 ; 0 ; 0)$ et $B(1 ; 1 ; 1)$, sur le plan $\pi: x = 0$.

1. Déterminer la projection orthogonale des points $A$ et $B$ sur le plan.

2. Écrire l'équation de la droite projetée $r'$ qui passe par ces deux nouveaux points.

Un ingénieur conçoit le tracé d'un câble de fibre optique qui doit être parallèle à un panneau de protection. Le panneau est représenté par le plan $\pi: 2x - 3y + az = 5$ et la trajectoire du câble par la droite $r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3 + 2\lambda \end{cases}$.

1. a) Déterminer la valeur du paramètre $a \in \mathbb{R}$ pour que la trajectoire du câble soit parallèle au panneau.
2. b) Pour la valeur de $a$ trouvée, vérifier si le câble est contenu dans le panneau ou s'il existe une distance constante entre eux.

Déterminer une équation du plan $\alpha$ passant par le point $P(1 ; 0 ; -2)$ et perpendiculaire à la droite $s$ définie par l'intersection des plans :

$s: \begin{cases} x + y - z = 4 \\ 2x - y + 3z = 1 \end{cases}$

Déterminer aussi le point d'intersection de la droite $s$ et du plan $\alpha$ trouvé (projection orthogonale de $P$ sur $s$).

Soit la droite $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y+1}{-1} = \frac{z}{3}$ et le plan $\pi: 3x + y - z = 4$. Déterminer une équation du plan $\beta$ vérifiant simultanément :

1. Il contient la droite $r$.

2. Il est perpendiculaire au plan $\pi$.

Considérer les plans $\pi_1: x - 2y + z = 0$ et $\pi_2: 3x + y - z = 5$.

1. a) Déterminer une équation de la droite $r$ intersection des deux plans.
2. b) Déterminer une équation d'un plan $\pi_3$ passant par le point $Q(0\,;\,0\,;\,1)$ et perpendiculaire à la droite $r$.

On veut placer une antenne en un point $M$ d'un versant plan représenté par le plan $\pi: x + 2y + 2z = 9$. L'antenne doit être le plus près possible d'une station de base située au point $P(5 ; 4 ; 10)$.

1. a) Calculer les coordonnées du point $M$ (projection orthogonale de $P$ sur $\pi$).
2. b) Si l'antenne doit être reliée à la station par un câble rectiligne, déterminer une représentation paramétrique de la droite suivie par ce câble.

Déterminer la position relative du plan $\pi: mx + y - z = 1$ et de la droite $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y}{m} = \frac{z+3}{3}$ en fonction du paramètre réel $m$. Préciser pour quelles valeurs ils sont perpendiculaires et pour lesquelles la droite est parallèle au plan.

Deux droites de l'espace, $a$ et $b$, sont non coplanaires. Si la droite $a$ est parallèle à un plan horizontal $\pi$ et que la droite $b$ est perpendiculaire à ce même plan $\pi$ :

1. a) Quel angle forment les directions des droites $a$ et $b$ ?
2. b) Peut-on trouver un plan contenant à la fois les deux droites ? Pourquoi ?
3. c) Peut-on affirmer que les deux droites sont orthogonales bien qu'elles n'aient aucun point commun ?

Observer le coin d'une pièce où se rencontrent deux murs et le sol. Cet ensemble forme un trièdre au sommet du coin inférieur.

1. a) Quelle est la mesure des trois angles qui définissent les faces de ce trièdre ?
2. b) Quelle est la somme des mesures des trois angles dièdres formés entre les murs et le sol ?
3. c) Si une mouche vole selon une trajectoire parallèle à la ligne de la plinthe d'un mur, cette trajectoire est-elle aussi parallèle au plan de l'autre mur ? Expliquer pourquoi.

Soit la droite $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y-1}{1} = \frac{z}{-1}$ et le plan $\pi: x + y + z - 4 = 0$ :

1. a) Vérifier que la droite $r$ n'est pas perpendiculaire au plan $\pi$ et déterminer leur point d'intersection $I$.
2. b) Pour déterminer la projection orthogonale de $r$ sur $\pi$, deux élèves envisagent deux méthodes différentes :

• Méthode A (projection de points) : comme $I$ appartient déjà au plan, il suffit de projeter orthogonalement un autre point quelconque $P \in r$ ($P \neq I$) pour obtenir $P'$, et la droite projetée sera la droite passant par $I$ et $P'$.

• Méthode B (plan projetant) : déterminer une équation du plan $\pi'$ contenant $r$ et perpendiculaire à $\pi$, puis exprimer la projection comme la droite d'intersection $\pi' \cap \pi$.

Appliquer l'une des deux méthodes pour calculer la droite projetée. Expliquer ensuite quelle méthode est la plus rapide en pratique dans ce cas, et laquelle resterait applicable si la droite $r$ était strictement parallèle au plan $\pi$.

Considérer la droite $r: \frac{x-1}{1} = \frac{y-2}{1} = \frac{z-1}{2}$ et le point extérieur $P(1 ; 2 ; 7)$.

1. a) Estimer : le point $A(1 ; 2 ; 1)$ appartient à la droite $r$. Observer que $P$ se situe exactement à la verticale de $A$, mais plus haut ($z = 7$). Sachant que le vecteur directeur $\vec{v} = (1 ; 1 ; 2)$ progresse en même temps vers les valeurs positives de $x$, $y$ et $z$, raisonner qualitativement avant tout calcul :

• Si la cote $z$ du pied de la perpendiculaire $P'$ (projection orthogonale de $P$ sur $r$) sera strictement comprise entre $1$ et $7$.

• Si les coordonnées $x$ et $y$ de ce point $P'$ seront supérieures ou inférieures à celles de $A$.

1. b) Vérifier : déterminer algébriquement les coordonnées de $P'$ en intersectant $r$ avec le plan perpendiculaire à cette droite passant par $P$. Vérifier si les valeurs obtenues confirment les déductions géométriques précédentes.

Calculer les coordonnées du point $Q$, projection orthogonale du point $P(3 ; -1 ; 5)$ sur la droite $r$ définie par l'équation symétrique suivante :

Déterminer le point $P'$, projection orthogonale du point $P(1 ; 0 ; -3)$ sur le plan $\pi$ d'équation :

Une source lumineuse située en un point très éloigné projette des rayons parallèles à la direction du vecteur $\vec{v} = (0 ; 0 ; -1)$. Un câble d'acier suit la trajectoire de la droite $r$. Déterminer l'équation de l'ombre qu'il projette sur un toit plat représenté par $\pi$ :

Déterminer une équation cartésienne du plan projetant de la droite $r$ sur le plan $\pi$. Rappel : le plan projetant est le plan perpendiculaire à $\pi$ qui contient la droite $r$.

Un rayon laser part du point $P(1 ; -2 ; 3)$ et se dirige vers un miroir plan d'équation $\pi: 2x - y + z - 5 = 0$. Le rayon se réfléchit sur le miroir selon les lois de la réflexion optique (le rayon incident, la normale au plan au point d'incidence et le rayon réfléchi sont dans un même plan, et les angles d'incidence et de réflexion sont égaux).

Déterminer :

1. a) Les coordonnées du point d'incidence $Q$, sachant que le rayon incident est perpendiculaire au plan $\pi$.
2. b) Une équation de la droite qui contient le rayon réfléchi si, au lieu d'être perpendiculaire, le rayon partait de $P$ et arrivait sur le plan au point $A(1 ; 0 ; 3)$.
3. c) Justifier la relation de parallélisme ou d'orthogonalité entre le rayon incident de la question a) et le vecteur normal au plan.

Dans la conception d'une structure métallique pour un festival de musique, on doit placer deux poutres représentées par les droites :

$r: \begin{cases} x = 1 + 2\lambda \\ y = \lambda \\ z = 3 - \lambda \end{cases}$ et $s: \frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z}{-1}$

Un ingénieur doit installer une troisième poutre de renfort, $t$, vérifiant simultanément :

1. Elle est orthogonale aux poutres $r$ et $s$.

2. Elle passe par le point d'intersection de la droite $r$ et du plan $XY$.

Déterminer une équation de la droite $t$ sous forme symétrique (continue) et déterminer s'il existe un point où cette nouvelle poutre $t$ coupe la poutre $s$.

Soit les droites $r$ et $s$ définies par :

$r: \frac{x-1}{a} = \frac{y}{1} = \frac{z+1}{2}$ et $s: \begin{cases} x + 2y - z = 3 \\ 2x - y + z = 1 \end{cases}$

1. a) Calculer la valeur du paramètre $a$ pour que les droites $r$ et $s$ soient orthogonales.
2. b) Pour la valeur de $a$ obtenue, les droites sont-elles sécantes ou non coplanaires ?
3. c) Déterminer une équation du plan parallèle à $s$ et contenant la droite $r$.

Considérer le plan $\pi: x + y + z = 2$ et la famille de droites $r_m$ données par :

$r_m: \begin{cases} x - 2y + z = m \\ mx + y - z = 1 \end{cases}$

1. a) Trouver la valeur de $m$ pour que la droite $r_m$ soit parallèle au plan $\pi$.
2. b) Pour cette valeur de $m$, étudier si la droite est contenue dans le plan.
3. c) Déterminer une équation d'un plan $\pi'$ perpendiculaire à $\pi$ et contenant la droite $r_m$ lorsque $m = 0$.

Déterminer une équation de la droite $t$ qui coupe perpendiculairement les droites $r$ et $s$, avec :

$r: \frac{x}{1} = \frac{y-1}{-2} = \frac{z-3}{2}$ et $s: \begin{cases} x = 3 + 2\mu \\ y = 1 \\ z = \mu \end{cases}$

Cet exercice demande de déterminer la direction de la « perpendiculaire commune » et les plans auxiliaires qui permettent de localiser les points d'intersection avec chaque droite.

Soit les points $A(1 ; 2 ; 3)$ et $B(3 ; 2 ; 1)$.

1. a) Déterminer une équation du plan $\pi$ perpendiculaire au segment $AB$ et passant par son milieu (plan médiateur).
2. b) Soit la droite $r: \begin{cases} x - y = 0 \\ z = 4 \end{cases}$. Étudier sa position relative par rapport au plan $\pi$ trouvé.
3. c) Trouver un point $C$ de la droite $r$ tel que le triangle $ABC$ soit isocèle de base $AB$.

Une antenne de télécommunications est située au point $A(5 ; 4 ; 3)$. On veut tendre un câble d'acier perpendiculaire à une paroi latérale représentée par le plan $\pi: x + y = 10$.

1. a) Déterminer une équation de la droite $r$ qui contient le câble.
2. b) Le câble doit être ancré sur un rail métallique fixé à la paroi, dont une équation est la droite $s: \begin{cases} x + y = 10 \\ x - z = 2 \end{cases}$. Vérifier si le câble (droite $r$) et le rail (droite $s$) sont sécants ou non coplanaires.
3. c) Calculer la distance minimale entre le câble et le rail s'ils ne se coupent pas.

Dans une salle d'exposition en forme de pavé droit de dimensions $10 \times 6 \times 4$ mètres, on tend un câble reliant un sommet du sol au milieu de l'arête supérieure opposée. Un second câble relie le centre du plafond au milieu de l'arête verticale opposée à ce sommet.

1. a) Déterminer s'il existe un point où les câbles se touchent (droites sécantes) ou si, au contraire, ils ne sont pas coplanaires et ne se touchent pas.
2. b) Existe-t-il un plan parallèle simultanément aux deux câbles ? Justifier la réponse à partir des directions des câbles.

Lors d'un chantier de stabilisation géologique d'une tranchée ferroviaire (SNCF Réseau), les topographes modélisent le talus rocheux par le plan $\pi: 2x - 2y + z - 6 = 0$ (en mètres). Une foreuse d'ancrages avance selon la droite directrice $r: \frac{x-4}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-8}{-2}$.

1. a) Démontrer que le forage n'arrive pas perpendiculairement au talus et déterminer les coordonnées du point d'impact $P_0$ dans la roche.
2. b) Pour installer une rangée de témoins d'auscultation dans la roche, on doit tracer la projection orthogonale de la droite $r$ sur le talus $\pi$. Déterminer, en justifiant, une équation cartésienne du plan projetant de $r$ sur $\pi$ et écrire les équations de la trajectoire projetée comme intersection de deux plans. Expliquer la signification physique de cette droite projetée par rapport à l'ombre que projetterait la tige de forage si elle était éclairée par une source lointaine orientée perpendiculairement à la surface du talus.

On cherche un plan inconnu $\pi$ passant par l'origine du repère $O(0 ; 0 ; 0)$ et vérifiant simultanément deux conditions géométriques :

• Condition 1 : le plan $\pi$ est perpendiculaire au plan $\pi_1: x - y + 2z - 1 = 0$.

• Condition 2 : la projection orthogonale de la droite $r: \frac{x-1}{1} = \frac{y}{1} = \frac{z+2}{0}$ sur le plan $\pi$ se réduit à un unique point.

1. a) À partir de la seule Condition 2, déduire en justifiant la direction du vecteur normal $\vec{n}_\pi$ du plan cherché, sans calculer de plans projetants.
2. b) Vérifier si la Condition 1 est compatible avec la direction déduite à la question a). Si oui, écrire une équation cartésienne du plan $\pi$ ; sinon, expliquer quelle impossibilité géométrique apparaîtrait.
3. c) Déterminer des équations symétriques d'une droite $s$ passant par le point $A(2 ; 3 ; -1)$ et parallèle à la fois aux deux plans $\pi$ et $\pi_1$. Justifier pourquoi le vecteur directeur de $s$ doit être colinéaire à la direction de la droite d'intersection de $\pi$ et $\pi_1$.