Exercices: Distances dans l'espace

Dans un environnement de développement d'un jeu vidéo en 3D, deux objets sont situés aux points $A(2 ; -3 ; 1)$ et $B(6 ; 1 ; 1)$, les unités étant des mètres. Calculer la distance qui sépare les deux objets afin de programmer une collision si cette distance est inférieure à 5 mètres.

Une antenne émettrice de téléphonie se trouve au point $P(1 ; 2 ; -3)$. On sait que le signal est intercepté de façon optimale par un panneau réflecteur plan d'équation $\pi: 3x - 4z + 2 = 0$. Déterminer la distance minimale que doit parcourir l'onde de l'antenne jusqu'au panneau.

Dans la conception d'une salle d'exposition, le sol et le plafond ont été modélisés par deux plans parallèles d'équations $\pi_1: x - 2y + 2z - 4 = 0$ et $\pi_2: x - 2y + 2z + 11 = 0$. Déterminer la hauteur de la salle.

Le crochet d'une grue de chantier est suspendu à la position $Q(4 ; -3 ; 12)$. Les techniciens ont besoin de connaître la distance du crochet à l'axe des cotes (axe $(Oz)$). Calculer cette distance afin de vérifier l'espace libre de rotation de la grue par rapport à l'axe vertical de référence.

On considère le point $A(1 ; 5 ; -2)$ et la droite $r$ définie par ses équations paramétriques :

Déterminer la distance du point $A$ à la droite $r$ en appliquant la formule du produit vectoriel.

Un capteur de profondeur laser se trouve au point $S(5 ; -7 ; 4)$. Le laser est dirigé droit vers le mur latéral, représenté par le plan de coordonnées $XZ$. À quelle distance du mur se trouve le capteur ?

On a installé un rail métallique pour un robot industriel, qui suit la trajectoire de la droite :

Si le sol de l'usine est le plan $\pi: x - 2z + 5 = 0$, vérifier d'abord que le rail est parallèle au sol, puis calculer la distance de sécurité à laquelle se trouve le rail par rapport au sol.

Calculer les coordonnées des points de l'axe des abscisses (axe $OX$) dont la distance au point $P(3 ; 2 ; 2)$ est exactement égale à $\sqrt{8}$ unités. Expliquer pourquoi on obtient une unique solution d'un point de vue géométrique.

Dans un devoir de terminale, on demande de calculer la distance entre les deux plans parallèles $\pi_1: 2x - 2y + z - 6 = 0$ et $\pi_2: 4x - 4y + 2z + 8 = 0$. Lucas rédige la résolution suivante :

« Comme les plans sont parallèles, je soustrais directement les termes constants et je divise par la norme du vecteur normal de $\pi_1$ :

1. Repérer l'erreur conceptuelle commise par Lucas lorsqu'il applique la formule directement avec les coefficients donnés.

2. Expliquer géométriquement pourquoi la formule simplifiée de la différence des termes constants n'est valable que lorsque les équations ont exactement le même vecteur normal (ou comment procéder de façon sûre en choisissant un point de l'un des plans).

3. Corriger le calcul et déterminer la distance réelle et exacte entre $\pi_1$ et $\pi_2$.

On considère le point $P(4\,;\,3\,;\,7)$ et la droite verticale $r \equiv \begin{cases} x = 1 \\ y = -1 \end{cases}$, parallèle à l'axe $Z$.

1. Estimer et justifier : avant d'appliquer une formule, analyser la position de $P$ et de la droite $r$. Expliquer pourquoi la cote (coordonnée $z$) de $P$ ne doit pas influer sur la distance minimale à la droite verticale $r$, et déduire la valeur exacte que devrait avoir cette distance en se basant uniquement sur les coordonnées $x$ et $y$ projetées dans le plan $z = 0$.

2. Vérifier : écrire la droite $r$ sous forme paramétrique, choisir un point $A \in r$ et son vecteur directeur $\vec{v}$, puis calculer formellement la distance en appliquant la formule tridimensionnelle du produit vectoriel : $d(P, r) = \frac{|\vec{AP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$. Vérifier si le résultat coïncide avec la déduction précédente et expliquer quelle grandeur géométrique représente le vecteur $\vec{AP} \times \vec{v}$ dans ce contexte.

Une fusée-sonde suit une trajectoire rectiligne définie par la droite $r \equiv \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = 3 + 2\lambda \end{cases}$. La fusée doit envoyer un signal à la station de suivi située au point $P(5 ; -1 ; 4)$. Calculer la distance minimale à laquelle la fusée passera de la station de suivi pendant son vol.

On conçoit les structures porteuses d'un pavillon. Deux des poutres principales sont modélisées par les droites $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y}{1} = \frac{z+1}{-1}$ et $s \equiv \frac{x}{1} = \frac{y-2}{2} = \frac{z}{3}$. Déterminer la distance minimale qui sépare les deux poutres afin de vérifier s'il est nécessaire d'installer un connecteur de sécurité entre elles.

Lors d'une fouille archéologique, on a déterminé que le sol d'origine d'une pièce se trouve dans le plan $\pi \equiv 2x - y + 2z - 6 = 0$. Un ensemble de capteurs se déplace sur un rail métallique représenté par la droite $r \equiv \begin{cases} x = \mu \\ y = 4\mu - 1 \\ z = \mu + 1 \end{cases}$.

1. a) Vérifier que le rail est parallèle au sol de la pièce.
2. b) Calculer la distance constante à laquelle se trouvent les capteurs par rapport au sol.

Déterminer les coordonnées des points de la droite $r \equiv x = y = z$ situés à une distance de $2\sqrt{3}$ unités du plan $\pi \equiv x + 2y - 2z + 1 = 0$.

Déterminer l'ensemble des points de l'espace équidistants des points $A(1 ; -2 ; 3)$ et $B(3 ; 0 ; 1)$. Quelle figure géométrique cet ensemble représente-t-il ? Calculer la distance de l'origine du repère à cet ensemble.

On considère le cube d'arête 4 unités dont un sommet est l'origine $(0 ; 0 ; 0)$ et dont les arêtes sont portées par les demi-axes positifs du repère. Calculer la distance du sommet $V(4 ; 4 ; 4)$ à la diagonale du cube joignant les points $(4 ; 0 ; 0)$ et $(0 ; 4 ; 0)$.

Un faisceau de lumière laser part du point $A(1 ; 1 ; 1)$ dans la direction du vecteur $\vec{v} = (1 ; 0 ; 2)$. On veut placer un miroir plan parallèle au plan $XY$ de sorte que la distance du point $A$ au miroir soit de 5 unités.

1. a) Déterminer les deux équations possibles des plans contenant le miroir.
2. b) Calculer la distance de l'origine à chacun de ces plans.

Calculer la valeur du paramètre $k$ pour que la distance entre les plans parallèles $\pi_1 \equiv 2x + 2y - z + 3 = 0$ et $\pi_2 \equiv 4x + 4y - 2z + k = 0$ soit égale à 3 unités. Expliquer pourquoi il existe deux valeurs possibles pour $k$.

On souhaite concevoir une galerie souterraine de ventilation dont l'axe central suit la droite :

Pour la protéger, on va construire deux écrans plans parallèles à la famille de plans de vecteur normal $\vec{n} = (2 ; 1 ; -2)$.

1. Expliquer de façon argumentée pourquoi, si la droite $r$ n'était pas parallèle aux plans de cette famille, il n'aurait aucun sens de chercher des plans de la famille situés à une distance constante non nulle de la droite. Vérifier analytiquement que, dans ce cas, $r$ est bien parallèle à ces plans.

2. Écrire l'équation cartésienne de la famille de plans parallèles $\pi_D \equiv 2x + y - 2z + D = 0$ et déterminer les deux valeurs possibles du paramètre $D$ pour que la distance de la droite $r$ au plan correspondant soit exactement égale à $5\text{ mètres}$.

3. À partir des valeurs de $D$ trouvées, déduire directement (sans réappliquer la formule de distance) la distance qui sépare les deux écrans plans, en justifiant la réponse.

Le gestionnaire de la navigation aérienne espagnol (ENAIRE) surveille dans son centre de contrôle la trajectoire de deux aéronefs en route commerciale dans l'espace aérien de la péninsule. Dans un repère cartésien où les distances sont en kilomètres, les trajectoires rectilignes des deux vols sont décrites par :

1. Démontrer analytiquement que les trajectoires ne sont ni parallèles ni sécantes (c'est-à-dire qu'elles sont non coplanaires).

2. Le protocole de sécurité aérienne impose de déclencher une alerte préventive si la distance minimale théorique entre les trajectoires rectilignes est inférieure à $8\text{ km}$. Calculer la distance minimale entre les deux droites à l'aide de la formule du produit mixte et du produit vectoriel, et déterminer si le centre de contrôle doit émettre cette alerte.

3. Du point de vue du mouvement réel des avions, expliquer pourquoi une distance entre trajectoires inférieure à $8\text{ km}$ n'implique pas nécessairement un risque imminent de collision, en indiquant quelle grandeur cinématique supplémentaire il faudrait considérer pour savoir si les deux avions se trouvent près du point de rapprochement maximal au même moment.

Deux satellites de communication suivent des trajectoires rectilignes dans l'espace (mesurées en centaines de kilomètres) représentées par les droites $r$ et $s$ :

$r: \begin{cases} x = 1 + \lambda \\ y = 2 - \lambda \\ z = \lambda \end{cases}$ et $s: \frac{x-3}{1} = \frac{y-1}{2} = \frac{z-k}{1}$

On demande :

1. Déterminer les valeurs du paramètre $k$ pour que la distance minimale entre les deux trajectoires soit exactement de $\sqrt{6}$ unités (600 km).

2. Pour chaque valeur de $k$ obtenue à la question précédente, déterminer les points de chaque trajectoire où cette distance minimale est atteinte (points de la perpendiculaire commune).

Une entreprise de logistique utilise des drones pour transporter des colis. Un drone se déplace du point $A(1 ; 0 ; 2)$ en ligne droite vers le point $B(5 ; 4 ; 10)$. Au centre de la zone d'opérations se trouve une antenne émettrice située au point $P(3 ; 5 ; 1)$.

Déterminer :

1. Le point exact de la trajectoire du drone qui se trouve à la distance minimale de l'antenne.

2. Si le signal de l'antenne a une portée de $5$ unités, déterminer pendant quel intervalle de son trajet (valeurs du paramètre $\lambda$) le drone est couvert.

On considère un plan $\pi$ qui passe par le point $M(1, 0, 3)$ et est perpendiculaire à la droite $r: \frac{x-2}{1} = \frac{y+1}{2} = \frac{z}{1}$.

1. Déterminer l'équation de la sphère tangente au plan $\pi$ et de centre le point $C(4, 5, 2)$.

2. Calculer la distance de l'origine du repère au point de tangence entre la sphère et le plan.

Un architecte conçoit une structure d'avant-garde composée de deux câbles tendus. Dans un repère cartésien, le premier câble coïncide avec la droite $r$ passant par $A(1 ; 1 ; 1)$ et $B(2 ; 3 ; 0)$. Le second câble a pour direction le vecteur $\vec{u} = (1 ; 0 ; 1)$ et passe par le point $C(0 ; 2 ; 2)$.

Déterminer :

1. La distance minimale entre les deux câbles.

2. L'équation de la droite qui représente un renfort métallique reliant les deux câbles par le chemin le plus court possible (perpendiculaire commune).

Déterminer les coordonnées des points de la droite $r: \frac{x-1}{2} = \frac{y+2}{3} = \frac{z-3}{-1}$ équidistants des plans :

$\pi_1: x + 2y - 2z + 1 = 0$

$\pi_2: 8x - 4y + z - 5 = 0$

Étudier s'il existe un point de la droite dont la distance aux deux plans soit nulle et expliquer sa signification géométrique.

Soit le point $P(1 ; 2 ; -1)$ et la droite $r: \begin{cases} x + y = 3 \\ 2x - z = 4 \end{cases}$.

1. Déterminer le symétrique de $P$ par rapport à la droite $r$. On le note $P'$.

2. Déterminer la distance de $P'$ au plan $\pi: 2x - 3y + z + 10 = 0$.

3. Quel est le volume du tétraèdre formé par le point $P$, sa projection sur la droite $r$, et les points d'intersection du plan $\pi$ avec les axes $OX$ et $OY$ ?

Un rayon laser part du point $A(5\,;\,2\,;\,6)$ et se réfléchit sur un miroir plan représenté par le plan de coordonnées $XY$ ($z=0$). Le rayon réfléchi doit passer par le point $B(1\,;\,4\,;\,2)$.

On demande :

1. Déterminer les coordonnées du point d'impact $C$ du laser sur le miroir.

2. Calculer la distance totale parcourue par le rayon depuis le point $A$ jusqu'au point $B$. (Remarque : la distance minimale s'obtient à l'aide du point symétrique.)

On considère la famille de plans $\pi_a: ax + (a-1)y + z + (a-2) = 0$, où $a \in \mathbb{R}$ :

1. Démontrer que tous les plans de la famille contiennent une même droite commune $r$. Déterminer des équations de cette droite.

2. Calculer la distance du point $Q(2 ; -1 ; 0)$ à la droite $r$.

3. Déterminer la valeur de $a$ pour laquelle le plan $\pi_a$ se trouve à une distance de $\frac{1}{\sqrt{2}}$ unités du point $P(0 ; 0 ; 0)$.

On considère le point $P(2 ; -1 ; 3)$ et la droite $r \equiv \frac{x-1}{2} = \frac{y-2}{1} = \frac{z+1}{-2}$. Un exercice propose de résoudre deux questions successives :

(a) Calculer la distance du point $P$ à la droite $r$.

(b) Déterminer les coordonnées du point $P'$, symétrique de $P$ par rapport à $r$.

Deux élèves débattent de la stratégie de résolution :

• Lucie propose de résoudre (a) avec la formule du produit vectoriel $d(P, r) = \frac{|\vec{AP} \times \vec{v}|}{|\vec{v}|}$, puis de résoudre (b) en déterminant le projeté orthogonal $M$ de $P$ sur $r$.

• Charles soutient qu'utiliser la formule du produit vectoriel dans cet exercice est un mauvais choix de méthode, qui entraîne des calculs redondants, et qu'il est plus efficace de commencer directement par chercher le projeté orthogonal $M$.

On demande :

1. Évaluer de façon critique les deux positions : expliquer pourquoi la méthode de Lucie double le travail de calcul et démontrer comment l'obtention préalable du projeté orthogonal $M$ permet de répondre immédiatement aux questions (a) et (b).

2. En suivant la méthode proposée par Charles (à l'aide d'un point générique de la droite ou en construisant le plan auxiliaire perpendiculaire à $r$ passant par $P$), déterminer les coordonnées du projeté orthogonal $M$, en déduire la distance exacte $d(P, r)$ et calculer les coordonnées du point symétrique $P'$.

Deux plans sécants $\pi_1 \equiv 2x - y + 2z - 1 = 0$ et $\pi_2 \equiv x + 2y - 2z + 5 = 0$ se coupent suivant une droite de l'espace, qu'ils divisent en quatre régions angulaires dièdres.

1. En utilisant la définition analytique de la distance d'un point à un plan, écrire la condition géométrique que doit vérifier tout point $X(x ; y ; z)$ de l'espace pour être équidistant des deux plans : $d(X, \pi_1) = d(X, \pi_2)$.

2. Développer l'équation obtenue en utilisant les propriétés de la valeur absolue et déterminer les équations cartésiennes des deux plans bissecteurs obtenus, $\sigma_1$ et $\sigma_2$.

3. À partir des vecteurs normaux de $\sigma_1$ et $\sigma_2$, vérifier algébriquement que les deux plans bissecteurs sont perpendiculaires entre eux.

4. Généraliser le résultat précédent à tout couple de plans sécants : si deux plans ont des vecteurs normaux unitaires $\vec{u}$ et $\vec{v}$ (avec $\vec{u} \neq \pm \vec{v}$), démontrer à l'aide des propriétés du produit scalaire que les vecteurs normaux des plans bissecteurs, $\vec{n}_1 = \vec{u} + \vec{v}$ et $\vec{n}_2 = \vec{u} - \vec{v}$, sont toujours orthogonaux, en expliquant la signification géométrique de ce fait.