Exercices: Limites en l'infini : x → ±∞

Calculer la limite de la fonction polynôme suivante lorsque la variable croît indéfiniment :

$$\lim_{x \to +\infty} (-3x^4 + 5x^2 - 10x + 1)$$

Expliquer sur quel terme vous vous êtes appuyé pour déterminer le résultat et pourquoi les autres termes n'influencent pas la valeur de la limite.

Observer la courbe de la fonction $f(x)$ et déterminer graphiquement la valeur des limites en l'infini. Indiquer aussi l'équation de l'asymptote horizontale si elle existe.

1. a) $\lim_{x \to +\infty} f(x)$
2. b) $\lim_{x \to -\infty} f(x)$

Une entreprise de recyclage de composants électroniques estime que le coût total (en milliers d'euros) pour traiter $x$ tonnes de matériau est donné par la fonction :

$$C(x) = \frac{12x + 45}{3x + 2}$$

Vers quelle valeur tend le coût par tonne lorsque la quantité de matériau traité est extrêmement grande ? Interpréter le résultat en termes d'« économie d'échelle ».

Déterminer la valeur des limites suivantes en comparant les degrés des polynômes :

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{5x^2 - 3x + 8}{2x^2 + 1}$

1. b) $\lim_{x \to -\infty} \frac{x^3 + 2x}{x^4 - 5}$

Le nombre d'abonnés d'un nouvel « influenceur » sur un réseau social, mesuré en milliers, évolue selon la fonction :

$$S(t) = \frac{100t^2}{2t^2 + 50}$$

où $t$ est le temps écoulé en mois depuis l'ouverture de son compte. Faire un schéma de la situation et calculer combien d'abonnés il aura à long terme (lorsque $t \to +\infty$).

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

Calculer la limite de la fonction rationnelle suivante contenant des radicaux, en simplifiant l'expression à l'aide des puissances dominantes :

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{9x^2 + 5}}{2x - 1}$$

Soit les fonctions $f(x) = 2^x$ et $g(x) = x^{10} + 500x^2$. Justifier laquelle des deux fonctions croît le plus vite lorsque $x \to +\infty$ en utilisant l'échelle des infinis. À partir de cette réponse, en déduire la valeur de la limite suivante :

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{x^{10} + 500x^2}{2^x}$$

Compléter le tableau de valeurs suivant pour la fonction $f(x) = \left( \frac{x+1}{x} \right)^x$ et utiliser les résultats obtenus pour conjecturer vers quel nombre célèbre tend la fonction lorsque $x$ devient très grand.

$x$	$10$	$100$	$1000$	$10000$
$f(x)$	$2,5937$	$2,7048$	$2,7169$	$2,7181$

Écrire le résultat en utilisant la notation des limites :

$$\lim_{x \to +\infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x = \dots$$

Marc résout la limite suivante en l'infini :

$$\lim_{x \to +\infty} \frac{5x^3 - 2^x}{4x^3 + \ln(x)}$$

Dans sa copie, il écrit la justification suivante : « Comme le plus grand degré polynomial qui apparaît au numérateur et au dénominateur est 3, on regarde les coefficients dominants de $x^3$ ; par conséquent, la limite est $\frac{5}{4}$ ».

1. a) Expliquer en détail pourquoi le raisonnement de Marc est conceptuellement faux, en indiquant quelles familles de fonctions interviennent dans l'expression et quelle est la hiérarchie des infinis entre elles lorsque $x \to +\infty$.
2. b) Résoudre correctement la limite en justifiant quel terme impose son rythme de croissance au numérateur et lequel au dénominateur.

Soit la fonction $f(x) = \left(\frac{x+3}{x+1}\right)^{2x}$. On souhaite étudier son comportement asymptotique lorsque $x \to +\infty$.

1. a) Faire une estimation qualitative argumentée avant d'appliquer des formules : observer que pour de grandes valeurs de $x$, la base $\frac{x+3}{x+1}$ est strictement supérieure à 1 mais très proche de 1 (par exemple, pour $x = 100$, elle vaut $\frac{103}{101} \approx 1{,}0198$), tandis que l'exposant $2x$ croît indéfiniment. Peut-on s'attendre intuitivement à ce que la limite soit égale à 1, inférieure à 1 ou supérieure à 1 ? Justifier la réponse.
2. b) Résoudre formellement la limite $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ en identifiant le type de forme indéterminée et en appliquant la formule $\lim g(x)^{h(x)} = e^{\lim h(x)\cdot(g(x)-1)}$.
3. c) Exprimer la valeur exacte obtenue en fonction du nombre $e$ et vérifier si l'estimation initiale était juste, sachant que $e \approx 2{,}718$.

Soit la fonction rationnelle $f(x) = \dfrac{ax^2 + 3x - 5}{2x^2 - k}$. Déterminer les valeurs des paramètres réels $a$ et $k$ sachant que la fonction admet une asymptote horizontale en $y = 3$ et que sa courbe passe par le point $(1 ; -2)$. Une fois ces valeurs trouvées, vérifier si la limite lorsque $x \to -\infty$ coïncide avec la limite lorsque $x \to +\infty$.

Calculer la limite de la fonction suivante lorsque la variable $x$ tend vers $+\infty$. Pour cela, identifier d'abord le terme dominant au numérateur et au dénominateur :

$$L = \lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{9x^4 + 2x^2 - 1}}{2x^2 - 5x + 3}$$

Un serveur de jeux vidéo a estimé que le nombre d'utilisateurs connectés simultanément pendant la première année suit la fonction $U(t) = \dfrac{500t^2 + 1000}{0,2t^2 + 5}$, où $t$ est le temps en mois.

1. a) Que se passe-t-il pour le nombre d'utilisateurs si le temps croît indéfiniment ?
2. b) Interpréter le résultat en termes d'asymptotes horizontales.

Résoudre la limite suivante, qui fait intervenir une différence de fonctions irrationnelles. Penser à utiliser la technique de la quantité conjuguée pour lever la forme indéterminée de type $[\infty - \infty]$ :

$$\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^2 + 5x} - \sqrt{x^2 - 3x} \right)$$

Déterminer la valeur de la limite suivante en utilisant le lien avec le nombre $e$. Il faut transformer l'expression pour faire apparaître la forme de la définition de cette constante :

$$\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{2x + 5}{2x - 1} \right)^{x+3}$$

Soit les fonctions $f(x) = e^x$, $g(x) = x^{10}$ et $h(x) = \ln(x)$. Classer les limites suivantes de la plus petite à la plus grande valeur selon l'ordre de grandeur des infinis en jeu lorsque $x \to +\infty$ :

1. $L_1 = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{g(x)}{f(x)}$

2. $L_2 = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{g(x)}{h(x)}$

3. $L_3 = \lim_{x \to +\infty} \dfrac{h(x)}{f(x)}$

Calculer la limite lorsque $x \to -\infty$ de la fonction suivante. Porter une attention particulière au traitement des signes lorsque la variable négative sort d'une racine d'indice pair ou y entre :

$$\lim_{x \to -\infty} \frac{3x - 2}{\sqrt{4x^2 + 1}}$$

Déterminer la valeur des paramètres $a$ et $b$ pour que l'égalité suivante soit vérifiée :

$$\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^2 + 1}{x - 1} - ax - b \right) = 0$$

Ce type de limite est fondamental pour le calcul des asymptotes obliques que vous étudierez dans des chapitres ultérieurs.

L'INSEE, dans ses rapports sur la numérisation des territoires, analyse la couverture en très haut débit dans les communes rurales de moins de 5 000 habitants en France. Le pourcentage estimé de foyers ruraux ayant accès à ce réseau en fonction du temps est modélisé par la fonction :

$$P(t) = \frac{88t^2 + 120t}{t^2 + 2t + 5}$$

où $t$ est le temps écoulé en années depuis la mise en place de la stratégie nationale ($t = 0$, correspondant à l'année 2018).

1. a) Calculer le pourcentage de foyers ruraux disposant d'une connexion au début du plan ($t = 0$) et interpréter le résultat.
2. b) Déterminer et justifier mathématiquement la valeur de $\lim_{t \to +\infty} P(t)$ en comparant les degrés du numérateur et du dénominateur, et expliquer quelle est la signification concrète de cette limite pour la cohésion territoriale.
3. c) Un opérateur a affirmé dans la presse que ce modèle garantit qu'avec les années, la couverture universelle ($100\,\%$) sera atteinte dans ces zones rurales. À partir des résultats analytiques obtenus, réfuter ou confirmer cette affirmation par des arguments mathématiques.

Pour calculer la limite en l'infini :

$$\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x^4 + 6x^2} - x^2 \right)$$

deux élèves proposent des stratégies différentes :

• Méthode A (Manon) : Factoriser la plus grande puissance à l'intérieur de la racine : $\sqrt{x^4\left(1 + \frac{6}{x^2}\right)} - x^2 = x^2\sqrt{1 + \frac{6}{x^2}} - x^2 = x^2\left(\sqrt{1 + \frac{6}{x^2}} - 1\right)$. Comme $\frac{6}{x^2} \to 0$, elle remplace $\sqrt{1+0}-1 = 0$ et conclut que le résultat est $\infty \cdot 0 = 0$.

• Méthode B (Sergio) : Identifier une forme indéterminée du type $\infty - \infty$ entre des termes du même ordre et multiplier et diviser par l'expression conjuguée $\sqrt{x^4 + 6x^2} + x^2$.

1. a) Analyser de façon critique la méthode A : expliquer pourquoi il n'est pas mathématiquement valable de remplacer seulement une partie de l'expression par sa limite partielle en conservant une autre partie variable, et rappeler quelle est la nature de l'expression $\infty \cdot 0$.
2. b) Développer en détail la méthode B et obtenir la valeur correcte de la limite.
3. c) À partir de la comparaison des deux méthodes, établir un critère général : dans quelles conditions est-il indispensable de recourir à la quantité conjuguée plutôt que de se limiter à comparer les termes dominants de chaque terme de la somme ?

Déterminer les valeurs des paramètres réels $a$ et $b$ pour que l'égalité suivante soit vérifiée en l'infini :

$$\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{4x^2 + ax + 1} - \sqrt{4x^2 - 3x + b} \right) = \frac{5}{4}$$

Pour résoudre, envisager l'utilisation de l'expression conjuguée et l'analyse des termes dominants au numérateur et au dénominateur obtenus.

On analyse la propagation d'une fausse information sur un réseau social. Le nombre d'utilisateurs touchés $N(t)$ au bout de $t$ heures est donné par la fonction :

$$N(t) = \frac{e^{0,5t} + 10t^4}{2e^{0,5t} + \ln(t^2 + 1)}$$

Déterminer le comportement de la fonction à long terme, c'est-à-dire calculer $\lim_{t \to +\infty} N(t)$. Justifier la réponse en comparant les ordres de grandeur des infinis (exponentielle face aux fonctions polynômes et logarithme).

Déterminer la valeur du paramètre $k \in \mathbb{R}$ pour que la limite suivante, de type $1^\infty$, soit égale à $\sqrt[3]{e^2}$ :

$$\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{3x^2 + kx - 1}{3x^2 + 2} \right)^{\frac{x^2 + 1}{x}}$$

Veiller à appliquer correctement la formule permettant de lever la forme indéterminée du type du nombre $e$.

Étudier la limite en moins l'infini de la fonction rationnelle suivante, qui contient une valeur absolue et une racine carrée :

$$f(x) = \frac{|3x - 2| + \sqrt{x^2 + 5x}}{2x - 7}$$

C'est-à-dire, calculer $\lim_{x \to -\infty} f(x)$. Faire particulièrement attention au signe de la variable $x$ lorsqu'on introduit ou extrait des facteurs de la racine carrée et lorsqu'on supprime la valeur absolue.

Un prototype de moteur à propulsion ionique pour satellites a une consommation d'énergie $E(x)$ en joules qui dépend de la vitesse $x$ (en km/s) selon l'expression :

$$E(x) = \sqrt{x^2 + 4x + 2} - x$$

La figure montre la courbe représentative de $E(x)$ pour $0 \le x \le 20$.

Calculer l'énergie limite que consomme le moteur lorsque la vitesse tend vers l'infini. Interpréter graphiquement si la consommation se stabilise ou si elle continue de croître indéfiniment, en déterminant l'asymptote horizontale si elle existe.

Calculer la valeur de la limite suivante, en levant la forme indéterminée $\infty - \infty$ par réduction à une seule fraction et étude des degrés des polynômes :

$$\lim_{x \to +\infty} \left[ \frac{2x^2 + 5}{x - 1} - \frac{2x^3 - 3x}{x^2 + 1} \right]$$

Une fois la forme rationnelle simplifiée obtenue, indiquer si la fonction présente une asymptote horizontale ou oblique, à partir du résultat de la limite.

Calculer la limite de la fonction donnée par la racine imbriquée suivante :

$$\lim_{x \to +\infty} \left( \sqrt{x + \sqrt{x + \sqrt{x}}} - \sqrt{x} \right)$$

Cet exercice demande une utilisation précise de la technique de la quantité conjuguée et une analyse soigneuse de la puissance dominante à l'intérieur des radicaux.

Soit la fonction $f(x) = \frac{ax^3 + bx^2 + 1}{2x^2 - 4}$. Déterminer les valeurs des coefficients réels $a$ et $b$ sachant que la fonction admet une asymptote oblique de coefficient directeur $m = 3$ et que la limite de la fonction lorsque $x$ tend vers $+\infty$, après avoir retranché sa composante de pente (c'est-à-dire le terme $n$ de l'asymptote $y=mx+n$), est $4$.

Autrement dit, déterminer $a$ et $b$ sachant que :

1. $\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = 3$

2. $\lim_{x \to +\infty} [f(x) - 3x] = 4$

Déterminer les valeurs des paramètres réels $a$, $b$ et $c$ pour que la fonction :

$$f(x) = \sqrt{4x^2 + ax + 1} - (bx + c)$$

vérifie simultanément les deux conditions asymptotiques suivantes :

1) $\lim_{x \to +\infty} f(x) = 0$

2) $\lim_{x \to -\infty} \left( f(x) + 4x \right) = 3$

Pour résoudre le problème de manière ordonnée :

1. a) Analyser la condition (1) lorsque $x \to +\infty$ : déduire en justifiant quelle valeur constante doit prendre $b$ pour que la limite ne soit pas infinie et, en appliquant la technique de la quantité conjuguée, obtenir une relation linéaire entre $a$ et $c$.
2. b) Analyser la condition (2) lorsque $x \to -\infty$ : effectuer le changement de variable $x = -t$ (avec $t \to +\infty$), en tenant compte du fait que $\sqrt{x^2} = |x| = -x = t$, appliquer la technique correspondante et obtenir une seconde équation en $a$ et $c$.
3. c) Résoudre le système obtenu, écrire l'expression définitive de la fonction $f(x)$ et vérifier la cohérence des résultats.

Charles doit calculer la limite suivante en moins l'infini :

$$\lim_{x \to -\infty} \left( \sqrt{x^2 - 4x} + x \right)$$

Dans son cahier, il développe les étapes suivantes :

1. Il applique le changement de variable $x = -t$ avec $t \to +\infty$ : $\lim_{t \to +\infty} \left( \sqrt{(-t)^2 - 4(-t)} + (-t) \right) = \lim_{t \to +\infty} \left( \sqrt{t^2 + 4t} - t \right)$.

2. Il raisonne : « Lorsque $t \to +\infty$, le terme $4t$ est négligeable devant $t^2$, donc $\sqrt{t^2 + 4t} \approx \sqrt{t^2} = t$ ».

3. Il conclut : « Par conséquent, la limite est $\lim_{t \to +\infty} (t - t) = 0$ ».

Sa professeure lui indique que l'étape 1 est correcte, mais que la conclusion finale est fausse et que la vraie limite est 2.

1. a) Repérer l'erreur conceptuelle commise à l'étape 2 : expliquer pourquoi approcher la racine carrée uniquement par son terme de plus haut degré entraîne une perte d'information critique lorsqu'on soustrait des infinis du même ordre.
2. b) Corriger le calcul en résolvant la limite obtenue à l'étape 1 par la méthode rigoureuse de la quantité conjuguée, jusqu'à justifier la valeur 2.
3. c) Charles demande : « Pourquoi, dans un quotient comme $\lim_{t \to +\infty} \frac{\sqrt{t^2 + 4t}}{3t}$, est-il parfaitement légitime de négliger le $4t$ et d'approcher la racine par $t$ pour obtenir $\frac{1}{3}$, alors que dans la différence ce n'est pas permis ? » Répondre à Charles en distinguant avec rigueur mathématique le comportement des approximations asymptotiques dans les quotients et dans les sommes ou différences avec compensation.