Exercices: Formes indéterminées

Observer la courbe représentative de la fonction $f(x)$ ci-dessous et déterminer, de manière intuitive, la valeur des limites indiquées. Si une limite n'existe pas ou est infinie, le préciser clairement.

1. a) $\lim_{x \to -2} f(x)$
2. b) $\lim_{x \to 0} f(x)$
3. c) $\lim_{x \to 3} f(x)$
4. d) $\lim_{x \to +\infty} f(x)$

Calculer les limites suivantes de fonctions polynômes lorsque la variable $x$ tend vers l'infini. Penser à identifier le terme dominant dans chaque cas :

1. a) $\lim_{x \to +\infty} (-2x^3 + 5x^2 - 1)$
2. b) $\lim_{x \to -\infty} (x^4 - 100x^2)$
3. c) $\lim_{x \to +\infty} \frac{3x^2 - 5}{10}$

Lever la forme indéterminée de type $\left[\frac{\infty}{\infty}\right]$ dans les limites de fonctions rationnelles suivantes, en comparant les degrés du numérateur et du dénominateur :

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{5x^2 - 3x + 2}{2x^2 + 1}$
2. b) $\lim_{x \to +\infty} \frac{x + 5}{x^2 - 3}$
3. c) $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^3 - 1}{x^2 + 10x}$

Calculer la limite de la fonction $f(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$ lorsque $x$ tend vers $3$.

Aide : Observer qu'en remplaçant directement, on obtient une forme indéterminée du type $\left[\frac{0}{0}\right]$. Essayer de factoriser le numérateur pour simplifier l'expression.

Soit la fonction rationnelle $f(x) = \frac{2}{x-4}$. Étudier son comportement au voisinage de son asymptote verticale en calculant les limites à gauche et à droite :

1. a) $\lim_{x \to 4^-} \frac{2}{x-4}$
2. b) $\lim_{x \to 4^+} \frac{2}{x-4}$

Indiquer, en justifiant, si la limite existe en $x = 4$.

Dans l'étude des algorithmes informatiques, il est essentiel de savoir quelle fonction croît le plus vite. À l'aide de la hiérarchie des infinis, donner la valeur des limites suivantes ($0$, $+\infty$ ou $-\infty$) :

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{\ln(x)}{x}$
2. b) $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x}{x^{10}}$
3. c) $\lim_{x \to +\infty} \frac{x^2 + 1}{\ln(x)}$

Une équipe de scientifiques étudie la croissance d'une population de bactéries en laboratoire. La population (en millions) suit le modèle donné par la fonction :

où $t$ est le temps en heures écoulé depuis le début de l'expérience. Le graphique montre l'évolution de la population pendant les 20 premières heures.

Quelle sera la population de bactéries si l'expérience se prolongeait indéfiniment ? Pour cela, calculer $\lim_{t \to +\infty} P(t)$.

Calculer la valeur de la limite suivante, qui conduit à une forme indéterminée du type $[1^\infty]$, en utilisant la formule abrégée du nombre $e$ :

Mathis résout la limite $\lim_{x \to +\infty} \left(\frac{x+5}{x+2}\right)^{3x}$ lors d'un contrôle et écrit dans sa copie :

« Comme $\lim_{x \to +\infty} \frac{x+5}{x+2} = 1$ et que le nombre $1$ élevé à n'importe quelle puissance vaut toujours $1$, la limite ne présente aucune difficulté et vaut directement $1^\infty = 1$ ».

1. a) Expliquer avec ses propres mots pourquoi le raisonnement de Mathis est conceptuellement faux. Il faut préciser ce que signifie exactement qu'une expression soit une « forme indéterminée » et quelles deux tendances opposées s'affrontent dans ce cas précis.
2. b) Corriger l'exercice en présentant la méthode algébrique rigoureuse et calculer la valeur exacte de la limite.

Soit la fonction $f(x) = \frac{4 \cdot 3^x - 5x^6}{2 \cdot 3^x + 7x^2 + 1}$ :

1. a) Avant tout calcul algébrique formel, estimer la valeur de $\lim_{x \to +\infty} f(x)$ en s'appuyant uniquement sur la hiérarchie des infinis. Justifier quels termes sont dominants au numérateur et au dénominateur lorsque $x$ prend des valeurs suffisamment grandes et quel est le poids relatif des puissances face aux fonctions exponentielles.
2. b) Vérifier formellement cette estimation en calculant la limite par factorisation du terme dominant au numérateur et au dénominateur afin de lever la forme indéterminée $\frac{\infty}{\infty}$.
3. c) Justifier si le résultat obtenu à la question précédente resterait le même si la limite était évaluée en $-\infty$, c'est-à-dire en calculant $\lim_{x \to -\infty} f(x)$. Justifier la conclusion en analysant le comportement de $3^x$ lorsque $x \to -\infty$.

Calculer la limite suivante en levant l'indétermination de type $\frac{0}{0}$ à l'aide de la technique de l'expression conjuguée :

Déterminer la valeur de la limite en l'infini en analysant le degré des termes dominants au numérateur et au dénominateur. Faire particulièrement attention aux puissances sous les racines :

Lever la forme indéterminée de type $\infty - \infty$ suivante. Pour cela, effectuer l'opération algébrique préalable et simplifier l'expression obtenue :

Lors du développement d'un nouveau réseau social, le nombre d'utilisateurs actifs (en millions) suit la fonction $U(t) = \left(\frac{2t+3}{2t-1}\right)^{t+1}$, où $t$ est le temps en mois depuis son lancement (avec $t>\frac{1}{2}$). Calculer vers quelle valeur tend le nombre d'utilisateurs lorsque le temps croît indéfiniment ($t \to +\infty$).

Déterminer la valeur des paramètres réels $a$ et $b$ pour que la limite suivante soit finie et vaille $4$ :

À partir de la courbe représentative de la fonction $f(x)$ ci-dessous, analyser graphiquement et calculer analytiquement les limites à gauche et à droite aux points de discontinuité afin de déterminer si la limite globale en $x = 2$ existe :

Calculer la valeur de $a$ pour que la limite en $x = 2$ soit unique et que la fonction ne présente pas de saut.

Utiliser la comparaison des croissances pour calculer les limites suivantes sans effectuer de longs calculs. Justifier la réponse en indiquant quelle fonction « l'emporte » sur l'autre :

1. a) $\lim_{x \to +\infty} \frac{e^x + x^5}{100x^6 - \ln(x)}$

1. b) $\lim_{x \to +\infty} \frac{\sqrt{x^7 + 1}}{x^3 \cdot \ln(x)}$

Calculer la valeur de la limite exponentielle suivante, qui conduit à une indétermination du type $1^\infty$. Exprimer le résultat en fonction du nombre $e$ :

Une équipe de sociologues utilise les projections de l'INSEE pour modéliser l'évolution démographique d'un territoire rural en Aveyron. La population $P(t)$, exprimée en milliers d'habitants, est estimée en fonction du temps $t$ (en années écoulées depuis 2024) par la fonction :

1. a) Analyser la tendance démographique à long terme ($t \to +\infty$) en identifiant le type d'indétermination qui apparaît dans chacun des deux termes de $P(t)$.
2. b) Lever en justifiant les deux indéterminations à l'aide des techniques adaptées (comparaison des degrés pour la fonction rationnelle et expression conjuguée pour l'expression avec racines).
3. c) Interpréter la valeur numérique obtenue pour $\lim_{t \to +\infty} P(t)$ : le territoire tend-il vers un dépeuplement total, une croissance indéfinie ou une stabilité démographique ? Indiquer vers quel nombre concret d'habitants tendra le territoire selon ce modèle.

Pour calculer la limite $\lim_{x \to +\infty} \left( \frac{x^2 + 4x}{x^2 + x + 1} \right)^{2x}$, deux élèves de terminale proposent des méthodes différentes après avoir constaté qu'il s'agit d'une indétermination du type $1^\infty$ :

• Méthode A (construction canonique du nombre $e$) : écrire la base sous la forme $1 + \frac{1}{g(x)}$, faire apparaître dans l'exposant $g(x)$ en multipliant et en divisant afin d'appliquer la définition fondamentale $\lim_{u \to \infty} \left(1 + \frac{1}{u}\right)^u = e$, puis calculer la limite de l'exposant obtenu.

• Méthode B (formule directe de la puissance) : utiliser l'identité générale $\lim_{x \to a} [u(x)]^{v(x)} = e^{\lim_{x \to a} v(x) \cdot (u(x) - 1)}$.

1. a) Calculer la limite en développant en détail toutes les étapes de la Méthode A.
2. b) Calculer la même limite en appliquant la Méthode B et vérifier que les deux résultats coïncident.
3. c) Comparer les deux méthodes en analysant la charge de calcul algébrique et le risque d'erreurs de signe lors de la manipulation de fractions algébriques. Justifier laquelle des deux méthodes est la plus efficace et la plus sûre lors d'une épreuve de durée limitée comme le baccalauréat.

Calculer la valeur de la limite suivante en analysant la hiérarchie des infinis en jeu. Justifier le terme qui domine au numérateur et au dénominateur avant de donner le résultat final :

Déterminer les valeurs des paramètres réels $a$ et $b$ pour que l'égalité suivante soit vérifiée :

Autrement dit, la limite doit être un nombre réel fini et valoir $-\dfrac{1}{2}$. Une fois $a$ et $b$ déterminés, vérifier que la limite vaut bien $-\dfrac{1}{2}$.

Lors de la conception d'une nouvelle antenne de télécommunications, l'intensité du signal $I$ en fonction de la distance $d$ au relais est donnée par l'expression :

Calculer l'intensité limite du signal lorsque la distance $d$ tend vers l'infini (forme indéterminée du type $1^\infty$).

Calculer la limite suivante en utilisant la technique de la double expression conjuguée pour lever l'indétermination $\frac{0}{0}$ :

Soit la fonction définie par morceaux :

Déterminer les valeurs de $a$ et $k$ pour que les limites à gauche et à droite en $x=1$ existent et soient égales à $2$. Quel type de discontinuité la fonction présente-t-elle en $x=1$ si l'on ne définit pas $f(1)$ ?

Calculer la valeur de l'expression suivante, qui présente une indétermination du type $\infty - \infty$ avec des racines d'indices différents :

Une équipe d'ingénieurs aérospatiaux étudie la pression $P$ (en pascals) à l'intérieur d'un conduit de ventilation. La pression dépend de la vitesse du flux d'air $v$ selon la formule :

Étudier le comportement de la pression lorsque la vitesse $v$ se rapproche de $3$ m/s. Si la limite est indéterminée, la lever et indiquer si la pression tend vers une valeur stable.

Soit la fonction $g(x) = \frac{|x-1|}{x^2-1} \cdot e^{\frac{1}{x-1}}$, étudier l'existence des limites à gauche et à droite lorsque $x \to 1$. Identifier les formes indéterminées qui apparaissent de chaque côté et préciser le type de discontinuité en ce point.

On considère la fonction dépendant de deux paramètres réels $a$ et $b$ définie par $f(x) = \sqrt{9x^2 - 12x + 7} - (ax + b)$.

1. a) Déterminer les valeurs des paramètres $a$ et $b$ pour que l'égalité suivante soit vérifiée :

1. b) Démontrer analytiquement que si $a \ne 3$, il est impossible que la limite de $f(x)$ lorsque $x \to +\infty$ soit une valeur finie. Distinguer en justifiant les cas $a < 3$ (en différenciant selon que $a \le 0$ ou $0 < a < 3$) et $a > 3$, en expliquant le résultat obtenu dans chaque situation.
2. c) La valeur de $a$ trouvée à la question a) étant fixée, calculer la valeur que doit prendre le paramètre $b$ pour que la limite soit exactement $-4$, c'est-à-dire $\lim_{x \to +\infty} f(x) = -4$.

On considère la limite suivante avec des racines d'indices différents :

1. a) [Estimer] : effectuer une approximation asymptotique intuitive avant de calculer. Sachant que pour de très grandes valeurs de $x$ on a $\sqrt[3]{8x^3+12x^2} = 2x\left(1+\frac{3}{2x}\right)^{1/3}$ et $\sqrt{4x^2-8x} = 2x\left(1-\frac{2}{x}\right)^{1/2}$, et en utilisant l'approximation affine $(1+u)^\alpha \approx 1 + \alpha u$ lorsque $u \to 0$, conjecturer en justifiant la valeur finale de la limite.
2. b) [Vérifier] : résoudre la limite formellement par la technique du terme intermédiaire : introduire $C(x) = 2x$ en l'ajoutant et en le retranchant pour décomposer la limite en la somme de deux formes indéterminées de type $\infty - \infty$ indépendantes :

Résoudre chaque bloc en appliquant l'expression conjuguée correspondant à son indice (l'identité $A^3 - B^3 = (A-B)(A^2 + AB + B^2)$ pour la racine cubique et l'expression conjuguée usuelle pour la racine carrée).

1. c) Comparer le résultat analytique avec la conjecture obtenue à la question a) et expliquer pourquoi le choix de tout autre terme intermédiaire linéaire différent de $2x$ (par exemple en prenant $C(x) = x$ ou $C(x) = 3x$) ne permettrait pas de lever l'indétermination globale.