Exercices: Continuité d'une fonction en un point

Observer la courbe représentative suivante de la fonction $f(x)$ et analyser son comportement au point d'abscisse $x = 2$. Indiquer si la fonction est continue en ce point en vérifiant les trois conditions de continuité : existence de $f(2)$, existence de $\lim_{x \to 2} f(x)$ et égalité des deux valeurs.

Étudier la continuité de la fonction $f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1}$ au point $x = 1$. Si elle présente une discontinuité, indiquer de quel type elle est (limite finie, saut fini ou limite infinie) et déterminer s'il existe un moyen de redéfinir la fonction pour qu'elle soit continue en ce point.

Soit la fonction définie par morceaux suivante. Calculer les limites à gauche et à droite au point de raccordement $x = 3$ et déterminer si la fonction est continue en ce point :

$f(x) = \begin{cases} 2x - 4 & \text{si } x < 3 \\ \sqrt{x + 1} & \text{si } x \ge 3 \end{cases}$

Un drone de surveillance suit une trajectoire dont la hauteur est définie par la fonction $h(t)$ (en mètres) en fonction du temps $t$ (en secondes). À la suite d'un changement du système de contrôle, la fonction change en $t = 5$ :

$h(t) = \begin{cases} t^2 - 10 & \text{si } 0 \le t < 5 \\ 3t & \text{si } t \ge 5 \end{cases}$

Vérifier si la transition de hauteur est continue à l'instant $t = 5$ afin d'éviter que le drone ne subisse un mouvement brusque.

Déterminer la valeur du paramètre $k$ pour que la fonction $g(x)$ soit continue sur toute la droite réelle $\mathbb{R}$ :

$g(x) = \begin{cases} x + k & \text{si } x \le 2 \\ x^2 - 1 & \text{si } x > 2 \end{cases}$

Analyser graphiquement la continuité de la fonction représentée ci-dessous. Identifier la valeur de $x$ en laquelle la fonction présente une discontinuité et la classer d'après le comportement de ses branches de part et d'autre.

Soit la fonction $f(x) = \frac{1}{x + 4}$. Justifier pourquoi elle n'est pas continue au point $x = -4$. Pour cela, calculer les limites à gauche et à droite $\lim_{x \to -4^-} f(x)$ et $\lim_{x \to -4^+} f(x)$ et décrire le type de discontinuité qu'elle présente.

Vérifier si la fonction $f(x) = e^{x-1}$ est continue au point $x = 1$. Pour que la réponse soit complète, vous devez vérifier si la valeur de la fonction en ce point coïncide avec la limite de la fonction quand $x$ tend vers 1.

Lors d'un devoir de terminale, on demande d'étudier la continuité au point $x = 1$ de la fonction :

Marc écrit la réponse suivante dans sa copie :

« Comme en remplaçant $x = 1$ dans la première branche on obtient $\frac{0}{0}$, je factorise le numérateur sous la forme $(x - 1)(x + 1)$. Je simplifie le facteur $(x - 1)$ avec le dénominateur $|x - 1|$, de sorte que l'expression simplifiée est $x + 1$. En calculant la limite quand $x \to 1$, j'obtiens $1 + 1 = 2$. Comme cette limite est égale à $f(1) = 2$, la fonction est continue en $x = 1$ ».

Votre tâche consiste à :

1. a) Identifier et expliquer les deux erreurs conceptuelles commises par Marc (l'une algébrique, relative à la simplification de la valeur absolue, et l'autre relative à la définition formelle de la limite).
2. b) Corriger l'exercice : écrire la fonction par morceaux en supprimant les barres de valeur absolue au voisinage de $x = 1$, calculer rigoureusement les limites à gauche et à droite $\lim_{x \to 1^-} f(x)$ et $\lim_{x \to 1^+} f(x)$, et conclure en justifiant si $f$ est continue en $x = 1$, en indiquant le type de discontinuité le cas échéant.

Considérer la fonction réelle définie par :

1. a) Estimer : avant tout développement algébrique formel, approcher le comportement du taux de variation près de l'origine. Pour cela, évaluer numériquement l'expression $\frac{\sqrt{x + 4} - 2}{x}$ pour des valeurs proches de zéro de part et d'autre (par exemple avec $x = 0,1$, $x = 0,01$, $x = -0,1$ et $x = -0,01$). À partir de ces résultats, formuler une conjecture argumentée : pensez-vous que la fonction soit continue en $x = 0$ ?
2. b) Vérifier : démontrer analytiquement votre conjecture en levant l'indétermination $\lim_{x \to 0} f(x)$ par multiplication par l'expression conjuguée. Vérifier de façon ordonnée si les trois conditions exigées par la définition de la continuité en $x = 0$ sont remplies.
3. c) Évaluer : comparer le résultat algébrique exact avec les approximations numériques calculées au début et réfléchir au risque de conclure à la continuité d'une fonction en se fondant uniquement sur un tableau fini de valeurs.

Soit la fonction dépendant du paramètre $k \in \mathbb{R}$ :

Calculer la valeur de $k$ pour que la fonction présente une discontinuité par saut fini en $x = 3$. Existe-t-il une valeur de $k$ qui la rende continue en ce point ? Justifier la réponse par le calcul des limites à gauche et à droite.

Étudier la continuité de la fonction suivante sur tout son ensemble de définition, en classant les points de discontinuité rencontrés :

Accompagner l'analyse analytique d'un schéma des limites à gauche et à droite aux points problématiques.

Un système de réfrigération industriel règle sa puissance $P$ (en kilowatts) selon la température extérieure $T$ (en degrés Celsius) à l'aide de la fonction suivante :

Déterminer la valeur de la constante $a$ pour que la transition de puissance soit continue lorsque la température passe par $0\,^\circ C$.

On considère la fonction $f(x)$ définie par :

Déterminer les valeurs de $a$ et $b$ pour que la fonction soit continue sur son ensemble de définition. Une fois ces valeurs trouvées, indiquer si la fonction est continue en $x = -1$.

Classer toutes les discontinuités de la fonction $g(x)$ et déterminer ses asymptotes verticales en analysant le comportement de la fonction au voisinage des valeurs où elle n'est pas définie :

Comment définirait-on la fonction aux points de discontinuité évitable pour qu'elle y soit continue ?

On teste un nouveau prototype de moteur dont l'accélération $a$ (en $m/s^2$) dépend du temps $t$ (en secondes) selon l'expression :

Calculer la valeur de $m$ pour que l'accélération ne subisse pas de sauts brusques (soit continue) à l'instant $t = 2$ s.

Soit la fonction :

Étudier sa continuité aux points $x = 1$ et $x = -1$. S'il existe des discontinuités, indiquer de quel type elles sont et s'il existe un moyen de redéfinir la fonction pour les supprimer.

Déterminer les valeurs de $a$ et $b$ pour que la fonction $f(x)$ soit continue sur tout $\mathbb{R}$ :

Expliquer en détail la démarche suivie, en vérifiant l'égalité des limites à gauche et à droite en chaque point de changement de branche.

Une entreprise de colis express opérant en France fixe le prix de ses envois nationaux en fonction du poids $x$ du colis (en kilogrammes). Le tarif facturé $P(x)$ (en euros) est donné par la fonction définie par morceaux suivante :

Pour respecter la législation de protection des consommateurs et éviter qu'une augmentation minime du poids pénalise l'utilisateur par un saut soudain sur la facture, l'entreprise exige que la fonction de prix n'ait aucune discontinuité sur son ensemble de définition.

1. a) Déterminer les valeurs réelles des paramètres $a$ et $b$ qui rendent la fonction $P(x)$ continue aux points de changement de tranche $x = 5$ et $x = 9$.
2. b) Justifier analytiquement la continuité en ces deux points en vérifiant que les trois conditions de continuité sont satisfaites une fois les paramètres trouvés.
3. c) Interpréter la signification pratique de la valeur $P(5)$ et expliquer ce qui se passerait commercialement si, en $x = 5$, il existait une discontinuité par saut fini avec $\lim_{x \to 5^+} P(x) = 15$ €. Qui cette situation pénaliserait-elle si le colis pèse $5,01\text{ kg}$ ?

Concevoir et écrire l'expression algébrique d'une fonction définie par morceaux $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ qui vérifie simultanément les trois exigences suivantes :

1. Elle présente une discontinuité avec limite finie (prolongeable par continuité) au point d'abscisse $x = -2$.

2. Elle est continue au point d'abscisse $x = 0$, en changeant d'expression algébrique en ce point et en faisant obligatoirement intervenir la valeur absolue $|x|$ dans au moins un de ses morceaux.

3. Elle présente une discontinuité avec saut fini d'amplitude exactement 3 unités au point d'abscisse $x = 3$ (c'est-à-dire $|\lim_{x \to 3^+} f(x) - \lim_{x \to 3^-} f(x)| = 3$).

Une fois votre fonction proposée :

1. a) Écrire son expression analytique complète en précisant les intervalles de définition de chaque morceau.
2. b) Justifier pas à pas, en appliquant les trois conditions de la définition formelle de la continuité et en calculant les limites à gauche et à droite correspondantes, pourquoi votre fonction vérifie rigoureusement chacune des trois exigences imposées.

Dans la conception d'un nouveau composant pour un accélérateur de particules, l'intensité d'un champ magnétique en fonction de la position $x$ (en millimètres) est définie par la fonction suivante :

$f(x) = \begin{cases} \frac{e^{ax} - 1}{x} & \text{si } x < 0 \\ b & \text{si } x = 0 \\ \frac{x^2 - 4}{x - 2} \cdot \cos(\pi x) & \text{si } x > 0 \end{cases}$

Déterminer les valeurs des paramètres réels $a$ et $b$ pour que l'intensité du champ magnétique soit continue au point $x = 0$. Une fois ces valeurs trouvées, la fonction serait-elle continue au point $x = 2$ ? Justifier analytiquement la réponse.

Étudier la continuité de la fonction suivante sur tout son ensemble de définition, en classant en détail chacun de ses points de discontinuité :

$f(x) = \dfrac{|x^2 - 1|}{x^2 - 3x + 2}$

Ensuite, s'il existe un point où la discontinuité est évitable, proposer une redéfinition de la fonction en ce point afin d'en faire une fonction continue en celui-ci. S'il n'y en a aucun, le justifier.

Une entreprise de télécommunications règle la puissance d'une antenne 5G. La perte de signal $L$ (en décibels) dépend de la distance $d$ (en km) selon l'expression :

$L(d) = \begin{cases} \frac{k \cdot \ln(d+1)}{d} & \text{si } 0 < d < 1 \\ \sqrt{d^2 + 3} - a & \text{si } d \geq 1 \end{cases}$

On exige que la transition de puissance soit douce et continue afin de ne pas interrompre les appels à la limite de 1 km. Calculer les valeurs de $k$ et $a$ sachant que, lorsque la distance tend vers 0 km, la perte de signal tend vers 2 dB.

Soit la fonction $f(x) = \left( \frac{2x^2 + 3}{2x^2 - 1} \right)^{ax^2}$. On demande :

1. a) Déterminer la valeur du paramètre $a \in \mathbb{R}$ pour que $\lim_{x \to \infty} f(x) = e^2$.
2. b) Avec la valeur de $a$ obtenue à la question précédente, on définit une nouvelle fonction $g(x)$ telle que :

$g(x) = \begin{cases} f(x) & \text{si } x \ge 1 \\ \frac{x^2 + bx + c}{x - 1} & \text{si } x < 1 \end{cases}$

Déterminer $b$ et $c$ pour que $g(x)$ soit continue en $x = 1$.

Appliquer le théorème des valeurs intermédiaires pour démontrer que les courbes représentatives des fonctions $f(x) = \ln(x)$ et $g(x) = e^{-x}$ se coupent en au moins un point dans l'intervalle $]1 ; e[$. Justifier si ce point d'intersection est unique dans cet intervalle en s'appuyant sur le sens de variation des fonctions.

Étudier la continuité de la fonction $f(x) = \frac{1}{1 + 2^{1/x}}$ au point $x = 0$. Pour cela, calculer les limites à gauche et à droite $\lim_{x \to 0^-} f(x)$ et $\lim_{x \to 0^+} f(x)$. Quel type de discontinuité la fonction présente-t-elle en ce point ?

Une équipe d'ingénieurs en robotique a programmé le mouvement d'un bras mécanique. La vitesse de l'extrémité du bras (en m/s) suit la trajectoire :

$v(t) = \begin{cases} \frac{\sqrt{t+5}-3}{t-4} & \text{si } 0 \leq t < 4 \\ \frac{a}{12} & \text{si } t = 4 \\ \frac{t^2 - 16}{t^2 - 3t - 4} \cdot b & \text{si } t > 4 \end{cases}$

Déterminer les valeurs de $a$ et $b$ pour que le mouvement du robot soit continu (sans à-coups brusques) à l'instant $t = 4$ secondes.

Soit la fonction dépendant du paramètre $k$ :

$f(x) = \frac{x^3 - kx^2 + 3x}{x^2 - x}$

1. a) Déterminer la valeur de $k$ pour que la fonction présente une discontinuité évitable en $x = 1$.
2. b) Pour cette valeur de $k$, étudier la continuité en $x = 0$ et déterminer s'il existe une asymptote verticale.
3. c) Existe-t-il une valeur de $k$ qui rende la fonction continue sur tout $\mathbb{R}$ ? Justifier la réponse.

On souhaite étudier s'il existe une valeur du paramètre $L \in \mathbb{R}$ pour laquelle la fonction suivante est continue au point $x = 1$ :

Pour calculer la limite de la fonction en $x = 1$, deux élèves proposent deux démarches différentes :

• Méthode 1 (décomposition préalable) : réécrire la fonction en supprimant les barres de valeur absolue selon le signe de $(x - 1)$ pour obtenir une fonction définie par morceaux au voisinage de $x = 1$, simplifier algébriquement chaque branche et évaluer les limites à gauche et à droite.

• Méthode 2 (substitution directe du signe) : conserver l'expression compacte et calculer directement les limites à gauche et à droite en remplaçant $|x - 1|$ par $-(x - 1)$ lorsqu'on s'approche par la gauche ($x \to 1^-$) et par $+(x - 1)$ lorsqu'on s'approche par la droite ($x \to 1^+$).

Un troisième élève suggère la méthode 3 : appliquer directement la règle de L'Hôpital sur le quotient en utilisant la dérivée de la valeur absolue $|u|' = \frac{u}{|u|} \cdot u'$.

1. a) Écarter en justifiant la méthode 3 en expliquant quelle propriété géométrique et analytique fait défaut en $x = 1$ pour la fonction $|x - 1|$, ce qui invalide l'usage de la dérivée en ce point.
2. b) Appliquer la méthode 1 ainsi que la méthode 2 pour calculer les limites à gauche et à droite $\lim_{x \to 1^-} f(x)$ et $\lim_{x \to 1^+} f(x)$. Justifier laquelle des deux méthodes offre le plus de garanties logiques pour ne pas commettre d'erreurs de signe avec le dénominateur.
3. c) À partir des résultats obtenus, déduire s'il est possible de trouver la valeur de $L$ qui rend la fonction continue en $x = 1$. Si ce n'est pas possible, classer la discontinuité existante en indiquant son saut.

On considère la fonction dépendant des constantes réelles $a, b, c, k \in \mathbb{R}$ :

1. a) Raisonnement sur les limites finies : observer que le dénominateur du premier morceau s'annule en $x = 2$. Justifier pourquoi, pour que la fonction ait une chance d'être continue en $x = 2$, il est strictement nécessaire que le numérateur s'annule aussi en $x = 2$. Quel type de comportement la fonction présenterait-elle si ce numérateur n'était pas nul ?
2. b) Déduction des paramètres selon le type de discontinuité : on sait que, à l'intérieur de l'intervalle $]-\infty ; 2[$, la fonction présente une discontinuité évitable au point $x = -2$. Avec cette information et la déduction de la question précédente, déterminer de manière unique les valeurs des coefficients $a$ et $b$.
3. c) Raccordement des morceaux : avec les valeurs de $a$ et $b$ déjà calculées, déterminer la valeur de la limite à gauche $\lim_{x \to 2^-} f(x)$. Calculer ensuite la limite à droite $\lim_{x \to 2^+} f(x)$ en utilisant les équivalents ou la règle de L'Hôpital. Enfin, déduire quelles valeurs doivent prendre $c$ et $k$ pour garantir que $f$ soit continue en $x = 2$.