Exercices: Asymptotes d'une fonction

Observer le graphique suivant qui représente la consommation de mémoire RAM (en Go) d'un serveur de processus en fonction du temps $t$ (en secondes). Déterminer, de façon intuitive, la valeur des limites à gauche et à droite à l'instant $t = 4$ et justifier s'il existe une limite en ce point.

Un drone d'inspection technique suit une trajectoire d'approche d'une antenne dont la hauteur est donnée par la fonction $H(x) = \frac{x^2 - 9}{x - 3}$, où $x$ est la distance horizontale au centre de contrôle. Calculer la limite de la hauteur lorsque le drone se trouve très près de $x = 3$ mètres.

(Remarque : bien que la fonction ne soit pas définie en $x=3$, étudier la limite en simplifiant l'expression).

Calculer les limites suivantes par substitution directe, qui représentent la vitesse d'une particule en mètres par seconde à différents instants $t$ :

1. a) $\lim_{t \to 2} (t^2 + 3t - 1)$

1. b) $\lim_{t \to 0} \frac{e^t + 1}{t + 2}$

Soit la fonction rationnelle $f(x) = \frac{5}{x - 2}$, qui décrit l'intensité d'un champ magnétique en fonction de la distance $x$ à un fil conducteur :

1. a) Déterminer l'ensemble de définition de la fonction.
2. b) Calculer les limites à gauche et à droite $\lim_{x \to 2^-} f(x)$ et $\lim_{x \to 2^+} f(x)$.
3. c) Donner l'équation de son asymptote verticale.

Dans une étude biologique, le nombre d'individus d'une population de bactéries (en milliers) suit le modèle $P(t) = \frac{4t + 10}{t + 2}$, où $t$ est le temps en heures.

1. a) Calculer $\lim_{t \to +\infty} P(t)$ pour connaître la population à long terme.
2. b) Quel type d'asymptote ce résultat représente-t-il ? Écrire son équation.

Déterminer toutes les asymptotes (verticales et horizontales) de la fonction $f(x) = \frac{3x - 6}{x + 1}$. Pour cela :

1. Identifier la valeur de $x$ qui annule le dénominateur.

2. Calculer la limite de la fonction lorsque $x \to \infty$.

Déterminer le comportement à l'infini des fonctions polynômes suivantes, en indiquant si elles tendent vers $+\infty$ ou $-\infty$ :

1. a) $f(x) = -2x^3 + 5x - 1$ lorsque $x \to +\infty$

1. b) $g(x) = x^4 - 100x^2$ lorsque $x \to -\infty$

Soit la fonction $f(x) = \frac{x^2}{x^2 + 4}$, qui modélise le rendement d'un panneau photovoltaïque en fonction du rayonnement reçu $x$. Justifier par le calcul de limites si la fonction admet une asymptote horizontale et la représenter graphiquement de façon schématique.

Lors d'un contrôle de mathématiques, il est demandé d'étudier les asymptotes de la fonction $f(x) = \dfrac{x^2 - x - 2}{x^2 - 4}$. Lucas rend la rédaction suivante :

« Comme le dénominateur s'annule en $x = 2$ et en $x = -2$, la fonction a obligatoirement deux asymptotes verticales : les droites $x = 2$ et $x = -2$. De plus, comme $\lim_{x \to \infty} f(x) = 1$, la droite $y = 1$ est asymptote horizontale et, par conséquent, la courbe de la fonction ne pourra jamais couper cette droite $y = 1$ ».

1. a) Identifier et expliquer les deux erreurs conceptuelles commises par Lucas dans son raisonnement.
2. b) Corriger l'exercice : calculer les limites à gauche et à droite pertinentes en $x = -2$ pour caractériser la véritable asymptote verticale, expliquer ce qui se passe exactement en $x = 2$ et vérifier algébriquement si la courbe coupe ou non la droite $y = 1$.

On considère la fonction rationnelle $f(x) = \dfrac{3x^2 - 5x}{x^2 + 1}$.

1. a) Estimer : avant d'appliquer une règle formelle sur les limites, observer les termes de plus haut degré du numérateur et du dénominateur. Prévoir en justifiant vers quelle valeur numérique tendra la fonction lorsque $x$ prend de très grandes valeurs positives (par exemple $x = 1000$). Déduire aussi intuitivement si la courbe s'approchera de cette valeur par au-dessus ou par en dessous, en analysant l'effet du terme $-5x$.
2. b) Vérifier : calculer formellement l'équation de l'asymptote horizontale à l'aide des limites lorsque $x \to +\infty$ et lorsque $x \to -\infty$. Étudier ensuite analytiquement la position relative de la courbe par rapport à l'asymptote en calculant le signe de la différence $f(x) - y_{\text{asymptote}}$. Apprécier si les résultats confirment ou corrigent l'estimation initiale.

Soit la fonction rationnelle $f(x) = \dfrac{ax^2 + 5x - 3}{2x^2 - 8}$. Déterminer la valeur du paramètre réel $a$ sachant que la fonction admet pour asymptote horizontale la droite $y = 3$. Une fois la valeur de $a$ trouvée, calculer les limites à gauche et à droite de la fonction aux asymptotes verticales et expliquer le comportement de la courbe en ces points.

Une équipe d'ingénieurs surveille la température $T$ (en degrés Celsius) d'un nouveau processeur graphique en fonction du temps $t$ (en minutes) depuis son allumage. La fonction est donnée par :

Calculer la température initiale du processeur et déterminer, par le calcul de limites, si la température se stabilise à long terme. Quel type d'asymptote cette valeur de stabilisation représente-t-elle ?

Observer le graphique suivant d'une fonction $f(x)$ (chaque graduation des axes correspond à une unité). On suppose que les deux branches se poursuivent hors du cadre avec la tendance qu'elles montrent. À partir de l'information visuelle, déterminer la valeur des limites suivantes et les équations de toutes ses asymptotes :

1. a) $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} f(x)$

1. b) $\displaystyle \lim_{x \to 1^-} f(x)$ et $\displaystyle \lim_{x \to 1^+} f(x)$

1. c) $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)$

Déterminer l'équation de l'asymptote oblique de la fonction $f(x) = \dfrac{2x^2 - 3x + 1}{x - 2}$. Pour compléter l'étude, indiquer la position relative de la courbe par rapport à cette asymptote lorsque $x \to +\infty$ et lorsque $x \to -\infty$.

Calculer la valeur de la limite suivante, qui donne lieu à une forme indéterminée du type $1^\infty$, en utilisant la relation avec le nombre $e$ :

On considère la fonction $f(x) = \sqrt{x^2 + 4x} - x$.

1. a) Calculer $\displaystyle \lim_{x \to +\infty} f(x)$.
2. b) Vérifier s'il existe une asymptote horizontale lorsque $x$ tend vers $+\infty$.
3. c) Étudier ce qui se passe pour la limite de la fonction lorsque $x \to -\infty$. Existe-t-il une asymptote sur cette branche ?

Soit la fonction $f(x) = \dfrac{x^2 - k}{x^2 - 4x + 4}$ :

1. a) Déterminer s'il existe une valeur de $k$ pour laquelle la fonction présente une discontinuité évitable en $x = 2$.
2. b) Si $k = 9$, étudier l'existence d'asymptotes verticales et décrire le comportement de la fonction à leur voisinage à l'aide des limites à gauche et à droite.

Calculer les limites suivantes en levant les formes indéterminées correspondantes :

1. a) $\displaystyle \lim_{x \to 0} \frac{\sqrt{1+x} - \sqrt{1-x}}{x}$

1. b) $\displaystyle \lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x^2 - 4}$

Pour déterminer l'asymptote oblique de la fonction rationnelle $f(x) = \dfrac{2x^3 - 3x^2 + 5}{x^2 - 1}$ et étudier la position de la courbe par rapport à elle, deux camarades de classe proposent des stratégies différentes :

• Stratégie A (division algébrique) : effectuer la division euclidienne du numérateur par le dénominateur pour exprimer la fonction sous la forme $f(x) = mx + n + \dfrac{R(x)}{Q(x)}$.

• Stratégie B (limites) : calculer les coefficients à l'aide des formules $m = \lim_{x \to \infty} \dfrac{f(x)}{x}$ et $n = \lim_{x \to \infty} [f(x) - mx]$.

1. a) Appliquer la stratégie A : obtenir le quotient et le reste simplifié, et indiquer directement l'équation de la droite asymptote et la position relative de la courbe en $+\infty$ et en $-\infty$.
2. b) Appliquer la stratégie B : calculer en détail les deux limites jusqu'à obtenir la même équation.
3. c) Comparer les deux méthodes : justifier laquelle des deux stratégies est la plus efficace dans ce cas particulier pour déterminer la position relative de la courbe et expliquer pour quel type de fonctions la stratégie A est totalement inutilisable, rendant indispensable le recours à la stratégie B.

Concevoir l'expression analytique d'une fonction rationnelle $f(x) = \dfrac{P(x)}{Q(x)}$ satisfaisant simultanément les quatre conditions suivantes :

1. Elle admet une unique asymptote verticale, la droite $x = 3$, avec $\lim_{x \to 3^-} f(x) = -\infty$ et $\lim_{x \to 3^+} f(x) = +\infty$.

2. Elle présente une discontinuité évitable au point d'abscisse $x = -1$.

3. Elle admet une asymptote oblique d'équation $y = 2x - 1$.

4. Elle coupe l'axe des ordonnées au point $(0 ; -2)$.

1. a) Déduire en justifiant les degrés minimaux des polynômes $P(x)$ et $Q(x)$.
2. b) Construire pas à pas les polynômes $P(x)$ et $Q(x)$, en justifiant comment chacune des conditions fixées est garantie.

On conçoit un nouvel algorithme de compression de données pour une plateforme de streaming. Le temps de réponse du système, en millisecondes, est modélisé par la fonction $T(x)$, où $x$ représente la charge de travail en téraoctets :

Sachant que, pour que le système soit stable sous des charges extrêmes, la limite du temps de réponse lorsque la charge tend vers l'infini doit être exactement $e^4$, déterminer en justifiant la valeur du paramètre $a$.

Soit la fonction $f(x)$, définie à l'aide d'une valeur absolue, qui modélise la trajectoire d'un drone de surveillance :

Étudier l'existence d'asymptotes obliques pour cette fonction. Si elles existent, calculer leurs équations et analyser la position de la courbe par rapport à ces asymptotes, tant en $+\infty$ qu'en $-\infty$.

Un satellite de communication suit une orbite dont la perturbation gravitationnelle est décrite par la fonction $g(x)$. On exige que le satellite ne s'écarte pas indéfiniment d'une trajectoire linéaire prévue. La fonction est :

Déterminer les valeurs des paramètres réels $a$ et $b$ pour que la fonction admette une asymptote horizontale en $y = 2$ lorsque $x \to +\infty$.

Soit la fonction dépendant des paramètres $k$ et $m$ :

Calculer les valeurs de $k$ et $m$ pour que $f(x)$ admette une asymptote oblique passant par le point $(0\,;\,2)$ et de coefficient directeur $3$. Une fois ces valeurs trouvées, vérifier si la fonction possède une asymptote verticale et justifier si la discontinuité correspondante est éliminable (prolongement par continuité possible) ou non.

Dans l'étude de la propagation d'un virus informatique sur un réseau social, on a déterminé que le nombre de nœuds infectés $N(t)$ au bout d'un temps $t$ (en heures) suit la fonction :

Analyser le comportement de l'infection à long terme en calculant $\lim_{t \to +\infty} N(t)$. La fonction présente-t-elle une asymptote horizontale ? Justifier la réponse en appliquant les hiérarchies d'infinis correspondantes.

Étudier l'ensemble de définition et toutes les asymptotes de la fonction logarithme suivante :

Déterminer les limites à gauche et à droite en chacun des points où la fonction n'est pas définie et esquisser le comportement de la fonction au voisinage de ses asymptotes verticales.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

Calculer la valeur de la limite suivante en utilisant la règle de L'Hôpital après avoir effectué les transformations nécessaires pour lever la forme indéterminée :

À partir du résultat obtenu, indiquer si la fonction $f(x) = \frac{\sin(x) - x}{x^2 \cdot \sin(x)}$ admet une asymptote verticale à l'origine.

Soit la fonction $f(x)$ définie par morceaux :

1. Déterminer la valeur de $k$ pour que la fonction présente une discontinuité par saut fini en $x = 2$.

2. Pour la valeur de $k$ obtenue à la question précédente, déterminer la valeur de $a$ pour que la fonction admette une asymptote horizontale $y = 3$ lorsque $x \to +\infty$.

Dans le cadre de la transition énergétique en France, on modélise le coût moyen de production électrique de deux installations en fonction de l'énergie mensuelle produite $x$ (en milliers de MWh, avec $x > 0$) :

• Une centrale thermosolaire avec stockage en Occitanie a un coût moyen unitaire (en euros/MWh) modélisé par : $$C_1(x) = \dfrac{35x + \sqrt{16x^2 + 20x + 9}}{x}$$

• Un parc éolien offshore flottant expérimental présente un coût moyen unitaire modélisé par : $$C_2(x) = \dfrac{2x^2 + 15x + 8}{x + 1}$$

1. a) Étudier en justifiant le comportement de $C_1(x)$ pour des niveaux de production minimaux ($x \to 0^+$) et déterminer son asymptote horizontale lorsque la production croît à grande échelle ($x \to +\infty$). Interpréter la signification physique et en termes de gestion des deux asymptotes.
2. b) Déterminer analytiquement l'asymptote de $C_2(x)$ lorsque $x \to +\infty$ (horizontale ou oblique) en obtenant son équation complète.
3. c) Expliquer en justifiant lequel des deux modèles décrit une technologie à rendements d'échelle soutenables à long terme et lequel présentera des coûts unitaires croissants lorsque la production augmente, en s'appuyant sur la nature de leurs asymptotes.

On considère la famille de fonctions définie pour tout nombre réel par l'expression :

où $a$ et $b$ sont des paramètres réels.

1. a) Déterminer en justifiant les valeurs de $a$ et $b$ pour que la courbe représentative de $f(x)$ présente en $+\infty$ une asymptote horizontale d'équation $y = 4$.
2. b) Avec les valeurs de $a$ et $b$ fixées à la question précédente, démontrer que la fonction n'a pas d'asymptote horizontale en $-\infty$, mais une asymptote oblique. Calculer rigoureusement son équation $y = mx + n$, en portant une attention particulière au traitement algébrique du radical lorsque $x \to -\infty$ au moment de la mise en facteur.
3. c) Justifier pourquoi cette fonction ne peut avoir aucune asymptote verticale sur l'ensemble des nombres réels $\mathbb{R}$.