Exercices: Aire entre deux courbes

Un graphiste crée un nouveau logo pour une marque de vêtements urbains. Le motif central est le domaine délimité par la parabole $f(x) = -x^2 + 4$ et la droite $g(x) = x + 2$, que vous pouvez voir sur la figure.

Pour savoir quelle quantité de peinture argentée sera nécessaire pour l'impression, résoudre :

1. a) Déterminer les points d'intersection des deux courbes.

1. b) Calculer l'aire du domaine délimité par les deux courbes (en unités d'aire).

Dans un parc de sports extrêmes, on souhaite installer une rampe de skate. Le profil latéral de la rampe est défini par la courbe $f(x) = x^2$ et on veut la recouvrir d'une bâche de sécurité allant jusqu'à la plateforme horizontale définie par la droite $g(x) = 4$.

Calculer l'aire de la section latérale comprise entre la rampe et la plateforme horizontale (unités en mètres).

Deux entreprises technologiques comparent la croissance de leurs utilisateurs durant la première année. Le nombre d'utilisateurs (en milliers) de l'entreprise A suit la fonction $f(x) = x^2$, tandis que celui de l'entreprise B suit la fonction $g(x) = x$.

Calculer l'aire du domaine compris entre les deux courbes sur l'intervalle $[0 ; 1]$ afin de visualiser la différence totale cumulée d'utilisateurs durant cette première année.

On conçoit un panneau solaire d'une forme géométrique particulière. Les bords du panneau sont définis par la parabole $f(x) = 2x - x^2$ et la parabole inversée $g(x) = x^2 - 2x$. La figure montre les deux courbes et le domaine formé par le panneau.

Calculer les points d'intersection des deux courbes et l'aire totale de la surface du panneau solaire.

Un architecte veut concevoir une fenêtre pour un bâtiment moderne. La partie supérieure est délimitée par la courbe $f(x) = 6x - x^2$ et la partie inférieure par la droite $g(x) = x$.

Déterminer le domaine délimité par ces deux fonctions et calculer son aire afin de prévoir la quantité de verre nécessaire.

Dans un projet d'ingénierie environnementale, on étudie la section transversale d'un canal d'irrigation. Le profil du canal est donné par la courbe $f(x) = x^2 - 1$ et le niveau maximal de l'eau est limité par la droite $g(x) = 3$.

Calculer l'aire de la section transversale du canal située sous le niveau de l'eau.

Calculer l'aire du domaine plan délimité par les courbes des fonctions $f(x) = \sqrt{x}$ et $g(x) = x^2$ dans le premier quadrant.

Aide : rappelez-vous que $\sqrt{x}$ peut s'écrire comme une puissance d'exposant fractionnaire pour faciliter l'intégration.

Déterminer l'aire du domaine délimité par la droite $y = 2x$ et la courbe $y = x^2 - 3$.

Pour cela, déterminer d'abord les points d'intersection en égalant les deux fonctions, puis calculer l'intégrale de la fonction différence à l'aide d'une primitive.

Lucie doit calculer l'aire du domaine borné délimité par les courbes de $f(x) = 4 - x^2$ et $g(x) = 2 - x$. Sur sa copie, elle écrit :

1. « Points d'intersection : je pose $f(x) = 0 \implies 4 - x^2 = 0 \implies x = -2$ et $x = 2$, puis j'intègre entre $-2$ et $2$ ».

2. « Position relative : je prends $x = 0$ ; comme $f(0) = 4$ et $g(0) = 2$, la parabole est au-dessus de la droite ».

3. « Calcul : $\text{Aire} = \int_{-2}^{2} [(4 - x^2) - (2 - x)]\,dx = \left[ 2x + \frac{x^2}{2} - \frac{x^3}{3} \right]_{-2}^{2} = \frac{8}{3} \approx 2,67$ unités d'aire ».

1. a) Repérer et expliquer de façon argumentée les deux erreurs conceptuelles commises par Lucie dans sa démarche.
2. b) Corriger l'exercice en le résolvant pas à pas : déterminer les bornes d'intégration correctes, vérifier la position relative sur l'intervalle adéquat et calculer la valeur exacte de l'aire.

On souhaite calculer l'aire du domaine délimité par la parabole $f(x) = -x^2 + 4x$ et la droite $g(x) = x$.

1. a) Déterminer les points d'intersection des deux courbes et les coordonnées du sommet de la parabole.
2. b) Estimer avant d'intégrer : considérer le rectangle ayant pour base le segment compris entre les abscisses des points d'intersection et pour hauteur la valeur maximale de $f(x)$, ainsi que le triangle joignant les deux points d'intersection au sommet de la parabole. Justifier, par un raisonnement géométrique, pourquoi l'aire cherchée est strictement inférieure à celle du rectangle et supérieure à celle du triangle, en indiquant l'intervalle numérique dans lequel doit se trouver le résultat.
3. c) Vérifier : calculer la valeur exacte de l'aire à l'aide d'une intégrale et vérifier que le résultat obtenu est cohérent avec l'estimation précédente.

Calculer l'aire de la région du plan comprise entre les courbes représentatives des fonctions $f(x) = -x^2 + 6x$ et $g(x) = x$. Commencer par déterminer les points d'intersection des deux courbes et réaliser un schéma du domaine avant de calculer l'intégrale à l'aide d'une primitive.

Déterminer l'aire du domaine limité par les courbes représentatives des fonctions $f(x) = x^2 - 2x + 1$ et $g(x) = -x^2 + 4x + 1$. Déterminer laquelle des deux fonctions est au-dessus de l'autre sur l'intervalle d'intégration en étudiant le signe de la fonction différence $h(x) = f(x) - g(x)$.

Une entreprise de design souhaite créer un nouveau logo en utilisant la région comprise entre les courbes $f(x) = \sqrt{x}$ et $g(x) = x^2$. Calculer l'aire de cette région (exprimée en unités d'aire) afin de pouvoir budgétiser le coût de l'impression sur plexiglas.

Soit la fonction $f(x) = x^2 - 4$. Déterminer l'équation de la tangente à sa courbe au point d'abscisse $x = 3$. Ensuite, calculer l'aire du domaine délimité par la courbe de $f(x)$, la tangente obtenue et l'axe des ordonnées ($OY$).

Déterminer l'aire du domaine délimité par la fonction cubique $f(x) = x^3 - 4x$ et la droite $g(x) = 0$ (l'axe des abscisses). Remarquer que le domaine est composé de deux parties distinctes et qu'il faudra calculer l'aire de chacune séparément, en utilisant des valeurs absolues si nécessaire.

Le profil d'une rampe pour vélos dans un parc urbain suit la courbe $f(x) = \frac{x^2}{10} + 2$. On décide de couvrir l'espace situé entre la rampe et une structure de renfort rectiligne reliant les points $A(0\,;\,2)$ et $B(10\,;\,12)$. Calculer l'aire de la section latérale comprise entre la rampe courbe et la structure rectiligne.

Déterminer l'aire du domaine délimité par les courbes des fonctions $f(x) = e^x$ et $g(x) = e^{-x}$ et la droite verticale $x = 1$. Réaliser un schéma des fonctions en indiquant le point où elles se croisent.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Calculer la valeur du paramètre réel positif $k$ pour que l'aire du domaine délimité par la parabole $y = x^2$ et la droite $y = kx$ soit égale à $36$ unités d'aire. Indice : exprimer l'aire en fonction de $k$ et égaler le résultat à la valeur donnée pour déterminer l'inconnue.

Une coopérative d'irrigants du département de la Haute-Garonne dispose d'une installation solaire photovoltaïque pour alimenter ses pompes à eau. Lors d'une journée ensoleillée de printemps, la puissance électrique produite (en kilowatts, $\text{kW}$) entre 8 h ($t = 0$) et 18 h ($t = 10$) est modélisée par la fonction $P(t) = -t^2 + 10t$. La consommation continue exigée par le système de pompage suit quant à elle le modèle $C(t) = 2t + 7$ (en $\text{kW}$).

1. a) Déterminer les heures de la journée (valeurs de $t$) entre lesquelles la production des panneaux dépasse la demande des pompes, générant un excédent d'énergie.
2. b) Poser et calculer l'intégrale qui donne l'énergie totale excédentaire (en kilowattheures, $\text{kWh}$) produite au cours de cette journée.
3. c) Si la coopérative revend cet excédent au réseau électrique et qu'il est rémunéré $0,08$ euros par $\text{kWh}$, quel est le revenu obtenu ce jour-là grâce à l'excédent ?

Considérer la parabole $f(x) = x^2$ et sa tangente au point d'abscisse $x = 2$, que l'on notera $r$. On souhaite déterminer l'aire du domaine borné compris entre la courbe $f(x)$, la tangente $r$ et l'axe des abscisses ($y = 0$).

1. a) Déterminer l'équation de la tangente $r$ et calculer les coordonnées de son point d'intersection avec l'axe des abscisses.
2. b) Pour calculer l'aire de ce domaine, deux méthodes sont possibles :

• Méthode 1 (décomposition) : découper le domaine par une droite verticale en deux sous-intervalles et additionner deux intégrales définies.

• Méthode 2 (soustraction géométrique) : calculer l'aire totale sous la parabole sur l'intervalle $[0 ; 2]$ et lui retrancher l'aire du triangle formé par la tangente, l'axe des abscisses et la verticale $x = 2$.

Expliquer clairement pourquoi la méthode 1 oblige à utiliser deux intégrales distinctes et pourquoi la méthode 2 est nettement plus directe et présente moins de risque d'erreur de calcul.

1. c) Appliquer la méthode 2 pour déterminer l'aire exacte du domaine et vérifier qu'elle coïncide avec celle obtenue par la méthode 1.

Une entreprise de design graphique crée un nouveau logo qui comprend une forme aérodynamique. La partie supérieure du logo suit la courbe de la fonction $f(x) = -x^2 + 6x - 5$. On a décidé d'ajouter une ligne esthétique qui soit la tangente à la courbe de $f(x)$ au point d'abscisse $x = 4$. Calculer l'aire de la région du premier quadrant limitée par la courbe $f(x)$, la tangente mentionnée et l'axe des ordonnées $(OY)$.

On considère deux fonctions qui représentent le flux d'air dans une soufflerie pendant une expérience de 10 secondes : $f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x$ et $g(x) = x^2 - 3x$. Les ingénieurs ont besoin de connaître le « volume d'interférence » total, qui correspond à l'aire comprise entre les deux courbes sur tout leur ensemble de définition. Déterminer les points d'intersection des deux fonctions et calculer l'aire totale des domaines qu'elles délimitent, en tenant compte du fait que les fonctions peuvent échanger leur position (laquelle est au-dessus de l'autre) selon les intervalles.

On conçoit la section transversale d'un canal d'irrigation. Le fond du canal est défini par la parabole $f(x) = \frac{1}{2}x^2$, tandis que la surface de l'eau un jour de débit maximal est limitée par la courbe $g(x) = \sqrt{2x}$. Déterminer la valeur d'une constante $k$ telle que la droite verticale $x = k$ partage l'aire de la section transversale de l'eau en deux parties exactement égales.

Un architecte projette une fenêtre décorative dont la silhouette est délimitée par la fonction avec valeur absolue $f(x) = |x^2 - 4|$ et la droite horizontale $g(x) = 2$. En raison de la complexité de la forme, le verre doit être découpé en plusieurs morceaux. Calculer l'aire totale de la fenêtre en identifiant correctement les bornes d'intégration et les fonctions qui constituent la frontière supérieure et inférieure sur chaque intervalle.

Dans une étude de microéconomie, la fonction d'offre d'un produit est $S(x) = x^2 + 2x + 1$ et la fonction de demande est $D(x) = 11 - x^2$, où $x$ est le nombre d'unités en milliers. Le « surplus du consommateur » est défini comme l'aire limitée par la courbe de demande, la droite horizontale passant par le point d'équilibre (où l'offre est égale à la demande) et l'axe des ordonnées. Calculer ce surplus en déterminant d'abord le point d'équilibre dans le premier quadrant.

Déterminer l'aire du domaine limité par la courbe $f(x) = e^{x-1}$, la tangente à cette courbe au point où son coefficient directeur est égal à $1$, et la droite verticale $x = 0$.

Remarque : pour trouver le point de tangence, il faut d'abord résoudre $f'(x) = 1$.

On considère la fonction $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4$. Calculer l'aire de la région finie limitée par la courbe représentative de cette fonction et la droite passant par ses deux points singuliers (le maximum local et le minimum local). Il faudra d'abord déterminer les coordonnées de ces points et l'équation de la droite qui les relie.

Sur la figure, on voit la courbe de $f$, la droite $r$ et les régions qu'elles délimitent.

Déterminer l'aire de la région comprise entre les courbes représentatives des fonctions $f(x) = \frac{8}{x}$ et $g(x) = 6 - x$. Ici, le domaine est situé entièrement dans le premier quadrant. Déterminer les points d'intersection en résolvant l'équation obtenue et justifier laquelle des deux fonctions est au-dessus sur l'intervalle d'intégration avant de calculer l'intégrale à l'aide d'une primitive.

On considère le domaine borné limité par la parabole $f(x) = 2x - x^2$ et l'axe des abscisses ($y = 0$). On trace une droite passant par l'origine du repère, d'équation $y = mx$ (avec $0 < m < 2$), qui partage ce domaine en deux régions : une région supérieure (comprise entre la parabole et la droite) et une région inférieure (entre la droite et l'axe $OX$).

1. a) Calculer l'aire totale comprise entre la parabole et l'axe des abscisses.
2. b) Déterminer, en fonction du coefficient directeur $m$, l'abscisse du point d'intersection non nul entre la parabole et la droite, et obtenir l'expression algébrique (en fonction de $m$) de l'aire de la région supérieure.
3. c) Déterminer la valeur exacte du coefficient directeur $m$ pour que la droite partage le domaine initial en deux parties d'aires exactement égales.
4. d) La droite joignant l'origine $(0\,;\,0)$ au sommet de la parabole a pour coefficient directeur $m = 1$. Sans effectuer de calculs fastidieux, expliquer géométriquement pourquoi le coefficient directeur $m$ obtenu à la question précédente doit être strictement inférieur à $1$, en tenant compte de la façon dont l'aire de la parabole se répartit sur l'intervalle.

Le service mobilité d'une mairie analyse le flux d'entrée de voyageurs par heure (en centaines de personnes par heure) à deux accès d'une gare centrale pendant les 4 heures de pointe ($t \in [0, 4]$). Ces flux sont modélisés par les fonctions :

Un rapport préliminaire affirme : « Puisque $\int_0^4 [f(t) - g(t)]\,dt = 0$, les deux accès ont fonctionné avec une affluence nette globale identique et, par conséquent, il n'existe aucun écart ni aucune aire comprise entre les deux profils de flux. »

1. a) Déterminer tous les instants $t \in [0, 4]$ pour lesquels les deux accès enregistrent exactement le même flux de voyageurs.
2. b) Réfuter la conclusion du rapport : expliquer en détail pourquoi une intégrale nulle n'implique pas que l'aire comprise entre les courbes soit nulle, en distinguant le bilan net cumulé et l'aire géométrique entre courbes.
3. c) Calculer l'aire totale réelle comprise entre les deux fonctions sur l'intervalle $[0, 4]$ et interpréter la signification de chacun des domaines obtenus en termes de l'accès qui supporte la plus forte affluence sur chaque tronçon.
4. d) Expliquer, sans calculer de nouvelle primitive, quelle valeur prendrait l'intégrale $\int_0^4 [f(t) - g(t)]\,dt$ si le flux $f(t)$ était augmenté uniformément de $1$ centaine de voyageurs/heure pendant toute la période. L'aire géométrique comprise entre les deux courbes changerait-elle aussi ? Justifier la réponse.

Défi du thème. Quel est l'impact de la transition énergétique sur la consommation quotidienne ? Analyser la demande électrique et la production renouvelable de votre région à partir de données officielles et d'outils de calcul intégral.

1. Collecte et modélisation : Télécharger sur le site de RTE (Réseau de transport d'électricité) la courbe horaire de la demande et de la production solaire de la veille. Dans GeoGebra ou un tableur, ajuster la demande par une fonction continue et la normaliser pour définir une fonction de densité de probabilité $f(t)$ avec $\int_{0}^{24} f(t)\,dt = 1$, en calculant sa primitive par intégration par parties ou décomposition en éléments simples.

2. Calcul d'aires et de probabilités : Déterminer la probabilité que la consommation critique ait lieu entre $19,0$ h et $22,0$ h. Modéliser la courbe solaire $S(t)$ par une fonction admettant une primitive usuelle (de la forme $u'e^{u}$, $u'u^{n}$…) et utiliser une primitive pour calculer l'aire totale sous la courbe de demande (énergie consommée) et l'aire comprise entre la demande et la production solaire (énergie non couverte par le photovoltaïque).

3. Rapport de synthèse : Remettre un rapport d'une page avec les graphiques superposés, le développement analytique pas à pas de chaque intégrale et une proposition argumentée sur le stockage d'énergie.

Seront évalués :

• La rigueur algébrique dans le calcul des primitives (immédiates, rationnelles et par parties) et l'application précise du calcul d'intégrale à l'aide d'une primitive.

• Le traitement et la modélisation mathématique adaptés de données réelles de RTE à l'aide de GeoGebra ou d'un tableur.

• L'interprétation probabiliste correcte des aires et la justification, en contexte, de l'aire entre les deux courbes.