Exercices: Règles de dérivation et fonctions dérivées des fonctions usuelles

Une fusée pyrotechnique décolle verticalement depuis une plateforme de lancement. La hauteur $h$ en mètres en fonction du temps $t$ en secondes est donnée par la fonction polynôme $h(t) = t^3 - 4t^2 + 5t + 2$. Calculer la fonction dérivée $h'(t)$, qui représente la vitesse instantanée de la fusée à tout instant $t$.

Un compte de réseau social a analysé sa croissance et a établi que le nombre d'abonnés $S$ évolue selon la fonction exponentielle $S(t) = 150 \cdot e^{0,4t}$, où $t$ est le temps écoulé en mois depuis sa création. Déterminer la fonction dérivée $S'(t)$ pour connaître le rythme de croissance du nombre d'abonnés.

Calculer la fonction dérivée des fonctions suivantes en appliquant les règles de dérivation des fonctions usuelles (puissances et racines) :

1. a) $f(x) = x^7 - 5x^3 + \pi$

1. b) $g(x) = \sqrt{x} + \frac{1}{x^2}$

On considère la fonction du second degré $f(x) = x^2 - 6x + 5$. On demande :

1. a) Déterminer la fonction dérivée $f'(x)$.

1. b) Calculer le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de la fonction au point $P$ d'abscisse $x = 4$ (marqué sur la figure).

Déterminer la fonction dérivée des fonctions transcendantes suivantes à l'aide du tableau des dérivées des fonctions usuelles :

1. a) $f(x) = 4 \cdot \ln(x) + \log_{2}(x)$

1. b) $g(x) = 3^x - 5 \cdot \sin(x)$

Un ressort oscille selon un mouvement harmonique simple décrit par la fonction $y(x) = 5 \cdot \cos(x) + 2$, où $y$ est la position en centimètres et $x$ est le temps. Déterminer l'expression de la fonction dérivée $y'(x)$, qui représente la vitesse d'oscillation du ressort.

Calculer la dérivée des fonctions composées simples suivantes en utilisant directement la formule de dérivation d'une fonction composée :

1. a) $f(x) = (2x + 3)^5$

1. b) $g(x) = e^{x^2 - 1}$

Soit la fonction $f(x) = \frac{x^4}{4} - \sqrt[3]{x}$. Calculer sa fonction dérivée $f'(x)$ et simplifier le résultat en exprimant de nouveau la racine sous forme de radical.

Lors d'un contrôle en terminale, Marc doit calculer la fonction dérivée de $f(x) = \sin^3(2x)$. Sur sa copie, il écrit :

« Comme c'est une puissance, je fais descendre l'exposant et je dérive le sinus :

$f'(x) = 3\sin^2(2x) \cdot \cos(2x)$ ».

1. a) Identifier précisément quelle étape essentielle de la dérivation d'une fonction composée Marc a omise en décomposant les couches de la fonction composée. Expliquer pourquoi son raisonnement est erroné.
2. b) Corriger l'exercice en écrivant pas à pas la chaîne complète de dérivation, en identifiant chacune des fonctions élémentaires qui composent $f$ (de la plus extérieure à la plus intérieure), et obtenir l'expression simplifiée correcte de $f'(x)$.

On souhaite calculer la fonction dérivée de $f(x) = \ln\left(\frac{e^{3x}}{(x^2+1)^4}\right)$ pour tout $x \in \mathbb{R}$. Deux élèves proposent des stratégies différentes :

• Méthode A (dérivation directe) : Appliquer immédiatement la formule $(\ln u)' = \frac{u'}{u}$, en calculant au préalable la dérivée de la fraction à l'aide de la formule de dérivation d'un quotient et de celle d'une fonction composée pour le dénominateur.

• Méthode B (simplification préalable avec les logarithmes) : Utiliser les propriétés des logarithmes ($\ln(A/B) = \ln A - \ln B$, $\ln(A^k) = k \ln A$ et $\ln(e^u) = u$) pour décomposer $f(x)$ en une somme et différence de termes simples avant de dériver.

1. a) Comparer les deux méthodes et justifier laquelle est préférable en termes de volume de calculs et de moindre risque d'erreurs de signe ou de simplification.
2. b) Appliquer la méthode la plus efficace pour calculer $f'(x)$ et exprimer le résultat sous la forme d'une unique fraction irréductible.

Calculer la fonction dérivée de la fonction composée suivante, en appliquant la formule de dérivation d'une fonction composée et en simplifiant au maximum le résultat :

$f(x) = \cos^3(e^{x^2+1})$

Soit la fonction rationnelle faisant intervenir des logarithmes népériens :

$g(x) = \frac{\ln(x^2 + 4)}{x}$

Déterminer l'expression de sa dérivée $g'(x)$ et trouver les valeurs de $x$ pour lesquelles le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $g(x)$ est égal à zéro.

Un drone de surveillance suit une trajectoire dont l'altitude en mètres est donnée par la fonction $h(t) = 15t \cdot e^{-0,2t}$, où $t$ est le temps en secondes depuis le décollage.

1. a) Calculer la fonction qui représente la vitesse verticale du drone, $v(t) = h'(t)$.

1. b) Quelle est la vitesse verticale du drone à l'instant $t = 5$ secondes ?

Déterminer les valeurs des paramètres $a, b \in \mathbb{R}$ pour que la fonction $f(x) = a \cdot \sin(x) + b \cdot e^{-x}$ vérifie simultanément les conditions suivantes :

• Sa courbe passe par le point $(0 ; 3)$.

• Sa dérivée en l'origine est $f'(0) = 2$.

Utiliser la technique de la dérivation logarithmique pour obtenir la dérivée de la fonction puissance-exponentielle suivante :

$f(x) = (x^2 + 1)^{\sin(x)}$

Calculer l'équation de la tangente à la courbe $f(x) = \arctan\left(\frac{x}{2}\right)$ au point d'abscisse $x = 2$.

La figure montre la courbe représentative de $f$, ses asymptotes horizontales et le point $P$ de la courbe d'abscisse $x = 2$.

Soit la fonction $f(x) = \ln(\cos(x))$. Déterminer :

1. a) La dérivée première $f'(x)$.
2. b) La dérivée seconde $f''(x)$, en simplifiant le résultat à l'aide de fonctions trigonométriques usuelles.

Calculer la dérivée de la fonction suivante en simplifiant le résultat final autant que possible à l'aide d'identités trigonométriques :

$f(x) = \ln\left( \sqrt{\frac{1 + \sin x}{1 - \sin x}} \right)$

Calculer la dérivée de la fonction $f(x) = \arctan\left(\frac{x-1}{x+1}\right)$ et simplifier l'expression obtenue. À quelle fonction plus simple cette dérivée correspond-elle ?

En utilisant la technique de dérivation logarithmique, déterminer la dérivée de la fonction $f(x) = x^{\sqrt{x}}$ pour $x > 0$.

Dans une station météorologique de Météo-France à Toulouse, lors d'un épisode de forte chaleur estivale, la température ambiante $T(t)$ en degrés Celsius ($^{\circ}\text{C}$) au cours d'une journée de 24 heures est modélisée par :

$T(t) = 31 - 9 \cdot \cos\left(\frac{\pi \cdot (t - 4)}{12}\right)$,

où $t$ représente le temps écoulé en heures depuis minuit ($t \in [0, 24]$).

1. a) Déterminer la fonction dérivée $T'(t)$, en indiquant clairement chacune des règles de dérivation utilisées (constante multipliée par une fonction, fonction composée et fonction trigonométrique).
2. b) Calculer la valeur exacte et une valeur approchée à deux décimales de $T'(10)$ (à 10 h 00) et de $T'(16)$ (à 16 h 00).
3. c) Interpréter la signification physique et dans le contexte des valeurs et des signes obtenus à la question précédente (en indiquant les unités de mesure correspondant à la dérivée) et déterminer à quelle heure de la journée la température augmente le plus rapidement.

On considère la fonction transcendante $f(x) = \arctan(2x) - x$.

1. a) Sans calculer analytiquement la fonction dérivée, estimer la valeur du coefficient directeur de la tangente en $x = 0$ en calculant le taux de variation moyen (TVM) sur l'intervalle $[0;\, 0,1]$ à l'aide de la calculatrice (en mode radians). À partir du résultat, peut-on s'attendre à ce que la fonction soit croissante ou décroissante au voisinage immédiat de $x = 0$ ?
2. b) Appliquer les règles de dérivation pour obtenir l'expression simplifiée de la fonction dérivée $f'(x)$.
3. c) Calculer la valeur exacte de $f'(0)$, la comparer à la valeur estimée obtenue à la question a) et valider par un raisonnement si l'hypothèse précédente sur le sens de variation local de la fonction est confirmée.

Soit la fonction définie par $f(x) = (\arctan x)^x$ pour $x > 0$. Utiliser la technique de la dérivation logarithmique pour calculer sa fonction dérivée $f'(x)$. Calculer ensuite la valeur exacte du coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative de $f$ au point d'abscisse $x = 1$.

Déterminer les valeurs des paramètres réels $a$ et $b$ pour que la fonction définie par morceaux suivante soit dérivable sur tout son ensemble de définition :

Expliquer en justifiant le lien entre continuité et dérivabilité au point de raccordement $x = 1$.

Déterminer l'expression générale de la dérivée n-ième ($f^{(n)}(x)$) de la fonction rationnelle :

Indication : Décomposer la fonction en éléments simples avant de commencer à dériver successivement.

On considère la courbe définie implicitement par l'équation :

1. a) Déterminer l'expression de la dérivée $y'$ en fonction de $x$ et de $y$ par dérivation implicite.
2. b) Trouver l'équation de la normale à la courbe au point $P(3 ; 1)$.

Soit la fonction $f(x) = x^3 + 2x + \cos(x - 1)$.

1. a) Démontrer que $f(x)$ est bijective sur $\mathbb{R}$ (on pourra s'appuyer sur l'étude de son sens de variation).

1. b) Sachant que $f(1) = 4$, calculer la valeur de la dérivée de la fonction réciproque en ce point, c'est-à-dire $(f^{-1})'(4)$.

Un drone de surveillance se déplace selon la trajectoire donnée par la fonction $f(x) = \sqrt{x^2 + 1}$. Un opérateur situé au point $A(2 ; 0)$ observe le drone.

Déterminer le point de la trajectoire où le drone se trouve à la distance minimale de l'opérateur.

Remarque : Pour minimiser la distance $d$, il suffit de minimiser le carré de la distance $d^2$. Vous devrez dériver la fonction de distance obtenue.

Calculer la dérivée de la fonction composée suivante et simplifier au maximum le résultat à l'aide d'identités trigonométriques :

Quelle particularité observez-vous dans le résultat final simplifié ?

Dans un laboratoire de biotechnologie, le volume d'une population de bactéries (en $mm^3$) croît selon la fonction $V(t) = 20 \cdot e^{0,5t}$, où $t$ est le temps en heures. Parallèlement, le rayon de la boîte de culture circulaire où se développent les bactéries augmente de sorte que l'aire occupée par la population est $A(t) = \pi \cdot [r(t)]^2$.

En supposant que l'épaisseur de la couche bactérienne est constante et égale à $0,1 mm$ (de sorte que $V = A \cdot h$), calculer le taux de variation instantané du rayon de la population à l'instant $t = 2$ heures.

Pour dimensionner correctement une poutre en acier soumise à une torsion asymétrique, un ingénieur doit optimiser une fonction de contrainte donnée par $E(x) = \frac{\sqrt{x^2 - 1} \cdot e^{3x}}{(2x + 1)^4}$ pour $x > 1$. Appliquer la méthode de dérivation logarithmique pour obtenir l'expression simplifiée de la dérivée $E'(x)$.

Un oscillateur harmonique dans un système mécanique a pour position $x(t) = e^{-2t} \cos(3t)$. Calculer la vitesse $v(t) = x'(t)$ et l'accélération $a(t) = x''(t)$, et vérifier si elles satisfont l'équation différentielle $x''(t) + 4x'(t) + 13x(t) = 0$.

Une fonction inconnue $f(x)$, dérivable et strictement positive sur l'intervalle $]0 ; +\infty[$, a pour dérivée logarithmique l'expression :

$\frac{f'(x)}{f(x)} = \frac{2\ln x + 1}{x}$.

On sait de plus que la courbe représentative de $f$ passe par le point $(1 ; 1)$.

1. a) Justifier pourquoi l'expression $\frac{f'(x)}{f(x)}$ coïncide formellement avec la dérivée de la fonction composée $\ln(f(x))$.
2. b) Déduire en justifiant l'expression de la fonction $g(x) = \ln(f(x))$ en identifiant une fonction dont la dérivée est $\frac{2\ln x + 1}{x}$. Pour cela, décomposer le quotient en somme de deux fractions et les reconnaître comme dérivées de fonctions usuelles ou de puissances de $\ln x$.
3. c) À partir de la condition $f(1) = 1$, déterminer la constante correspondante et exprimer la fonction initiale $f(x)$ sous la forme puissance-exponentielle $u(x)^{v(x)}$.
4. d) Vérifier le résultat en dérivant directement la fonction $f(x)$ obtenue par la technique de dérivation logarithmique et en contrôlant que l'on retrouve bien le quotient de départ.

Soit la fonction $f(x) = \ln\sqrt{\frac{1 - \cos(2x)}{1 + \cos(2x)}}$, définie sur l'intervalle ouvert $I = \left]0 \,;\, \frac{\pi}{2}\right[$ :

On envisage deux méthodes pour calculer sa fonction dérivée $f'(x)$ :

• Méthode 1 (propriétés algébriques des logarithmes) : Réécrire d'abord $f(x) = \frac{1}{2}\big(\ln(1 - \cos(2x)) - \ln(1 + \cos(2x))\big)$ et dériver comme une différence de logarithmes népériens en appliquant la dérivation d'une fonction composée.

• Méthode 2 (simplification trigonométrique préalable) : Transformer le radicande à l'aide des formules de l'angle double ($1 - \cos(2x) = 2\sin^2 x$ et $1 + \cos(2x) = 2\cos^2 x$) avant d'appliquer toute règle de dérivation.

1. a) Développer entièrement la méthode 2 pour déterminer $f'(x)$ sous sa forme la plus compacte, exprimée comme quotient faisant intervenir une seule fonction trigonométrique d'angle double. Justifier pourquoi le signe sous la racine carrée ne pose pas d'ambiguïté sur l'intervalle $I$.
2. b) Développer la méthode 1 et détailler toutes les étapes algébriques et trigonométriques nécessaires pour simplifier la somme de fractions obtenue jusqu'à retrouver exactement la même expression qu'avec la méthode 2.
3. c) Comparer de façon critique les deux méthodes : analyser laquelle minimise le risque d'erreur algébrique et conclure sur le principe général de simplification préalable qu'il convient d'adopter face à ce type de dérivées au baccalauréat.