Exercices: Variable aléatoire. Loi de probabilité, fonction de répartition et paramètres

Une application de hasard génère des nombres entiers de $1$ à $4$, tous avec la même probabilité. Soit $X$ le nombre généré.

1. a) Écrire la loi de probabilité de $X$ sous forme de tableau.
2. b) Calculer l'espérance $\mu$.
3. c) Calculer l'écart type $\sigma$, en arrondissant au centième.

Une variable aléatoire discrète $X$ prend les valeurs $1$, $2$, $3$ et $4$ avec la loi de probabilité incomplète suivante :

$x_i$	$1$	$2$	$3$	$4$
$p_i$	$0,15$	$k$	$0,35$	$0,25$

1. a) Calculer la valeur de $k$.
2. b) Déterminer $P[X \ge 3]$.
3. c) Déterminer $P[X < 2]$.

Indiquer, en justifiant, lesquels des tableaux suivants peuvent représenter la loi de probabilité d'une variable aléatoire discrète :

• Tableau 1 : valeurs $1$, $2$, $3$ avec les probabilités $0,3$ ; $0,4$ ; $0,2$.

• Tableau 2 : valeurs $1$, $2$, $3$, $4$ avec les probabilités $0,5$ ; $0,3$ ; $0,3$ ; $-0,1$.

• Tableau 3 : valeurs $1$, $2$, $3$, $4$ avec les probabilités $0,25$ ; $0,25$ ; $0,25$ ; $0,25$.

Dans chaque cas, énoncer la ou les conditions qui sont vérifiées ou non.

On lance deux pièces et on compte le nombre de « pile » (ou de « face ») obtenus, noté $X$.

1. a) Écrire l'univers de l'expérience et en déduire la loi de probabilité de $X$.
2. b) Calculer l'espérance $\mu$ et l'interpréter.
3. c) Calculer $P[X \ge 1]$.

La fonction de répartition d'une variable aléatoire discrète $X$ est donnée par :

$F(0) = 0,2 \qquad F(1) = 0,5 \qquad F(2) = 0,8 \qquad F(3) = 1$

1. a) Calculer $P[X \le 2]$.
2. b) Calculer $P[X = 2]$.
3. c) Calculer $P[X > 1]$.

Lors d'un championnat scolaire d'échecs rapides à Paris, le score obtenu par partie est modélisé par une variable aléatoire discrète $X$ d'espérance $\mu_X = 4$ points et d'écart type $\sigma_X = 1,2$ points. Pour la phase finale de qualification, l'organisation applique un barème correcteur défini par la transformation affine $Y = 20 - 3X$.

Marc affirme dans son devoir : « La nouvelle moyenne est $\mu_Y = 20 - 3 \cdot 4 = 8$ points et le nouvel écart type est $\sigma_Y = -3 \cdot 1,2 = -3,6$ points ; donc les scores sont moins dispersés puisque le signe de l'échelle a été inversé ».

1. a) Identifier et expliquer en détail l'erreur de raisonnement commise par Marc dans le calcul de l'écart type.
2. b) Corriger les calculs en déterminant les valeurs exactes de $\mu_Y$ et $\sigma_Y$.
3. c) Justifier avec vos propres mots pourquoi un écart type ne peut jamais être négatif, en vous appuyant sur sa définition comme mesure de dispersion.

À partir de données simplifiées de l'INSEE sur l'équipement des ménages en France, le nombre de voitures $X$ que possède une famille est modélisé par la loi de probabilité suivante :

$P[X = 0] = 0,20$, $P[X = 1] = 0,55$, $P[X = 2] = 0,20$ et $P[X = 3] = 0,05$.

1. a) Avant tout calcul numérique, faire une estimation argumentée : entre quelles deux valeurs entières l'espérance $\mu$ se situe-t-elle nécessairement, et de laquelle pensez-vous qu'elle sera la plus proche ? Justifier en analysant où se concentre la plus grande probabilité.
2. b) Calculer exactement l'espérance $\mu$ et l'écart type $\sigma$, puis comparer la valeur obtenue pour l'espérance avec votre estimation.
3. c) Un porte-parole d'une association de quartier affirme : « Comme la valeur moyenne n'est pas un nombre entier de voitures, la moyenne n'a aucun sens concret pour décrire une famille réelle ». Réfuter cette affirmation en expliquant précisément ce que représente l'espérance à long terme.

Dans un sac d'un jeu de société, il y a $20$ cartes de points : $6$ cartes avec un $1$, $4$ cartes avec un $2$ et $10$ cartes avec un $3$. On tire une carte au hasard et on note son score $X$.

1. a) Écrire la loi de probabilité de $X$ sous forme de tableau.
2. b) Calculer l'espérance $\mu$ et l'interpréter : quel score moyen par carte peut-on espérer à long terme ?
3. c) Calculer l'écart type $\sigma$, en arrondissant au centième.

La figure montre la fonction de répartition $F(x)$ d'une variable aléatoire discrète $X$ qui prend les valeurs $0$, $1$, $2$ et $3$.

1. a) Déduire du graphique la loi de probabilité de $X$ (les valeurs $p_i = P[X = x_i]$) et l'écrire sous forme de tableau.
2. b) Calculer $P[1 \le X < 3]$ à partir de la fonction de répartition.
3. c) Déterminer l'espérance de $X$.

Une roue de loterie de fête foraine comporte $8$ secteurs égaux avec les gains visibles sur la figure : un secteur de $10\ \text{€}$, deux de $5\ \text{€}$, trois de $2\ \text{€}$ et deux sans gain.

1. a) Écrire la loi de probabilité de la variable $X$ = « gain obtenu en un tour ».
2. b) Calculer le gain moyen par tour, $\mu$.
3. c) Jouer coûte $3\ \text{€}$ le tour. Définir la variable $G$ = « gain net du joueur » (gain moins la mise), calculer son espérance et décider, en justifiant, s'il est conseillé de jouer.

L'association de parents d'élèves d'un lycée organise une tombola solidaire : elle vend $200$ billets à $2\ \text{€}$ chacun, avec un lot de $100\ \text{€}$, quatre lots de $25\ \text{€}$ et dix lots de $5\ \text{€}$.

1. a) Écrire la loi de probabilité de la variable $G$ = « gain net en achetant un billet » (valeur du lot moins les $2\ \text{€}$ que coûte le billet).
2. b) Calculer l'espérance de $G$.
3. c) Interpréter le signe du résultat : si l'espérance est négative, où va cet argent ? Cela contredit-il le but solidaire de la tombola ?

Une variable aléatoire discrète $X$ prend les valeurs $1$, $2$, $3$ et $4$ avec des probabilités proportionnelles à la valeur elle-même : $P[X = x] = k \cdot x$.

1. a) Calculer la valeur de la constante $k$.
2. b) Déterminer l'espérance $\mu$.
3. c) Vérifier que la variance vaut exactement $1$ et en déduire l'écart type.

Le temps d'attente $X$ (en minutes) du bus scolaire à un arrêt suit une loi uniforme entre $0$ et $10$ minutes, c'est-à-dire que sa fonction de densité est constante : $f(x) = k$ pour $x \in [0 ; 10]$ et $f(x) = 0$ en dehors.

1. a) Calculer la valeur de $k$ sachant que l'aire sous la courbe de la fonction de densité doit être égale à $1$.
2. b) Déterminer la probabilité d'attendre entre $2$ et $5$ minutes.
3. c) Déterminer la probabilité d'attendre plus de $8$ minutes et expliquer pourquoi $P[X = 8] = 0$ alors qu'attendre exactement $8$ minutes n'est pas impossible.

Pour financer le voyage de fin d'études de terminale, les élèves conçoivent une roue de loterie caritative. La variable aléatoire $X$ représente le gain net en euros d'une personne après un tour, et prend uniquement les valeurs $-3$ € (si elle perd sa mise), $+1$ € (petit lot) et $+k$ € (gros lot, avec $k > 1$). On a fixé la probabilité de perdre à $P[X = -3] = 0,40$ et celle de gagner un euro à $P[X = 1] = 0,45$.

1. a) Déterminer la probabilité $P[X = k]$ d'obtenir le gros lot, en justifiant quelle propriété des lois de probabilité est utilisée.
2. b) Poser l'équation de l'espérance et calculer la valeur exacte de $k$ pour que le jeu soit équitable ($E[X] = 0$).
3. c) Si l'équipe organisatrice souhaite garantir une recette moyenne espérée pour le voyage de $0,45$ € par tour vendu (c'est-à-dire que le gain net moyen du joueur soit $E[X] = -0,45$ €), quelle valeur entière faut-il attribuer au lot $k$ ?

Une entreprise de messagerie express qui opère à Toulouse analyse le nombre de visites infructueuses $X$ avant de pouvoir remettre un colis en main propre. Le modèle de probabilité estimé pour chaque envoi est le suivant :

$P[X = 0] = 0,60$ ; $P[X = 1] = 0,25$ ; $P[X = 2] = 0,10$ ; $P[X = 3] = 0,05$, sans jamais de quatrième tentative infructueuse.

1. a) Écrire la fonction de répartition $F(x) = P[X \le x]$ pour tout nombre réel $x \in \mathbb{R}$, en indiquant clairement les intervalles et en identifiant la valeur du saut en chaque valeur possible de la variable.
2. b) Chaque tentative infructueuse entraîne un coût opérationnel de $3$ € en carburant et en temps du livreur, auquel s'ajoute un coût fixe de gestion de $2$ € par colis livré. Exprimer le coût total par colis $C$ comme une transformation affine de $X$ ($C = aX + b$) et calculer son coût moyen $E[C]$ et son écart type $\sigma_C$.
3. c) Si l'entreprise livre $1\,000$ colis en une journée, quel budget total prévoit-elle de consacrer à ces coûts ? Expliquer quel principe probabiliste assure que le coût moyen réel de cette journée sera très proche de $E[C]$.

Le temps (en minutes) que met un serveur à démarrer après un redémarrage est une variable aléatoire continue $X$ de densité $f(x) = k \cdot x$ pour $x \in [0 ; 4]$ et $f(x) = 0$ ailleurs, représentée sur la figure.

1. a) Calculer la valeur de $k$ sachant que l'aire totale sous la courbe de la fonction de densité doit être égale à $1$.
2. b) Déterminer la probabilité que le serveur mette moins de $2$ minutes à démarrer.
3. c) Calculer la médiane de $X$ (la valeur $m$ telle que $P[X \le m] = \frac{1}{2}$) et la moyenne $\mu$. Laquelle des deux est la plus grande ? À quoi est-ce dû, selon vous ?

Amina étudie la variable $X$ = « nombre de pannes hebdomadaires d'une photocopieuse », dont la loi de probabilité est la suivante :

$x_i$	$0$	$1$	$2$	$3$
$p_i$	$0,1$	$0,3$	$0,4$	$0,2$

Elle a calculé la moyenne, $\mu = 1,7$, puis a écrit :

« $\sigma^2 = \sum p_i \cdot x_i^2 - \mu = 3,7 - 1,7 = 2 \implies \sigma = \sqrt{2} \approx 1,41$ »

1. a) Revoir son calcul de $\sum p_i \cdot x_i^2$ et vérifier qu'il est correct.
2. b) Repérer l'erreur dans la formule qu'elle a appliquée pour la variance et la corriger.
3. c) Calculer l'écart type correct.

Dans un stand de fête foraine, on joue avec deux dés cubiques : on gagne $12\ \text{€}$ si l'on obtient un double (les deux dés identiques), $6\ \text{€}$ si la somme est $7$, et rien dans tous les autres cas.

1. a) Calculer la probabilité de chaque gain et celle de ne rien gagner. (Remarquer qu'obtenir un double et obtenir une somme égale à $7$ sont des événements incompatibles ; pourquoi ?)
2. b) Déterminer l'espérance du gain par partie et en déduire quel devrait être le prix de la mise pour que le jeu soit équitable.
3. c) Si le stand fait payer $4\ \text{€}$ par partie, à qui le jeu est-il favorable ? Combien un joueur qui joue $100$ parties peut-il espérer gagner ou perdre ?

Une variable aléatoire discrète $X$ prend les valeurs $0$, $1$, $2$ et $4$, et sa fonction de répartition vérifie :

$F(0) = 0,1 \qquad F(1) = 0,5 \qquad F(2) = a \qquad F(4) = 1$

1. a) Sachant que l'espérance de la loi est $\mu = 2,2$, poser l'équation qui permet de déterminer $a$ et calculer sa valeur.
2. b) Écrire la loi de probabilité complète de $X$.
3. c) Calculer la variance et l'écart type de $X$, en arrondissant au centième.

Soit $X$ une variable aléatoire discrète d'espérance $\mu$ et d'écart type $\sigma$, et soit $Y = a \cdot X + b$ une nouvelle variable obtenue en appliquant à $X$ une transformation affine.

1. a) Démontrer, à partir de la définition de l'espérance, que $\mu_Y = a \cdot \mu + b$.
2. b) Démontrer que $\sigma_Y = |a| \cdot \sigma$. Pourquoi la constante $b$ n'affecte-t-elle pas la dispersion ?
3. c) Application : dans un examen, les notes ont pour moyenne $6,2$ et pour écart type $1,4$. Le professeur décide de transformer chaque note $X$ en $Y = 0,9 \cdot X + 1$. Calculer la nouvelle moyenne et le nouvel écart type.

Pour analyser la variabilité des scores à un test de sélection, on définit une variable discrète $X$ qui ne prend que quatre valeurs élevées : $200$, $204$, $208$ et $212$, de probabilités associées respectives $0,15$, $0,35$, $0,30$ et $0,20$. Pour calculer l'écart type $\sigma_X$, on hésite entre deux méthodes :

• Méthode A (calcul direct) : calculer $\mu_X = \sum x_i p_i$, puis $\sum x_i^2 p_i$ (en manipulant des quantités supérieures à $40\,000$) et appliquer $\sigma_X = \sqrt{\sum x_i^2 p_i - \mu_X^2}$.

• Méthode B (changement de variable affine) : définir une variable réduite $Y = \frac{X - 200}{4}$, calculer l'espérance $\mu_Y$ et l'écart type $\sigma_Y$ de cette variable simplifiée (dont les valeurs sont seulement $0, 1, 2, 3$), puis en déduire $\mu_X$ et $\sigma_X$.

1. a) Appliquer la méthode B : écrire la loi de probabilité de $Y$, calculer $\mu_Y$ et $\sigma_Y$, puis déterminer à partir de celles-ci $\mu_X$ et $\sigma_X$ en utilisant les propriétés des transformations affines.
2. b) Appliquer la méthode A pour vérifier le résultat et comparer les deux procédés : quel risque d'erreur d'arrondi ou de perte de précision numérique la méthode A présente-t-elle par rapport à la méthode B lorsqu'on utilise des calculatrices de précision limitée ?
3. c) Justifier théoriquement pourquoi la soustraction $-200$ décale la moyenne mais ne modifie en rien la dispersion, alors que la division par $4$ change l'échelle de la moyenne comme de l'écart type.

La fonction de répartition du nombre quotidien d'incidents techniques $X$ sur une ligne de RER est donnée par :

$$F(x) = \begin{cases} 0 & \text{si } x < 0 \\ 0,40 & \text{si } 0 \le x < 1 \\ 0,75 & \text{si } 1 \le x < 2 \\ 0,95 & \text{si } 2 \le x < 3 \\ 1 & \text{si } x \ge 3 \end{cases}$$

1. a) Reconstruire la loi de probabilité de $X$ (en indiquant la valeur de $P[X = x_i]$ pour chaque valeur possible) à partir des sauts de $F(x)$, et vérifier qu'elle satisfait les deux conditions nécessaires pour être valide.
2. b) On sait qu'au cours d'une journée donnée, il s'est produit au moins un incident ($X \ge 1$). Calculer la probabilité conditionnelle qu'il y ait eu exactement $2$ incidents ce jour-là.
3. c) L'entreprise de maintenance facture un forfait quotidien de $100$ € qui couvre jusqu'à un incident (s'il y a $0$ ou $1$ incident, aucun supplément n'est facturé) ; en revanche, à partir du deuxième incident (c'est-à-dire pour le deuxième et pour le troisième), chacun entraîne un coût supplémentaire de $150$ €. Modéliser la variable aléatoire $G$ (dépense quotidienne en euros), déterminer sa loi de probabilité, calculer la dépense moyenne espérée $E[G]$ et expliquer pourquoi $G$ ne peut pas s'exprimer comme une transformation affine globale de la forme $aX + b$ pour toutes les valeurs de $X$.