Exercices: Probabilités

Une usine de Saint-Étienne fabrique des pièces métalliques. Chaque pièce a une probabilité $0{,}08$ d'être défectueuse, indépendamment des autres. On prélève au hasard 10 pièces dans la production, que l'on assimile à un tirage avec remise. On note $X$ le nombre de pièces défectueuses parmi les 10 pièces prélevées.

1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

2. Calculer la probabilité qu'aucune pièce ne soit défectueuse. Arrondir à $10^{-3}$.

3. En déduire la probabilité qu'au moins une pièce soit défectueuse. Arrondir à $10^{-3}$.

4. Calculer la probabilité qu'exactement deux pièces soient défectueuses. Arrondir à $10^{-3}$.

5. Calculer l'espérance de $X$ et interpréter ce résultat.

Dans un lycée de Lyon, $60\ \%$ des élèves sont demi-pensionnaires. Parmi les demi-pensionnaires, $5\ \%$ arrivent en retard le lundi matin. Parmi les élèves non demi-pensionnaires, $10\ \%$ arrivent en retard le lundi matin. On choisit au hasard un élève du lycée et on note $D$ l'événement « l'élève est demi-pensionnaire » et $R$ l'événement « l'élève arrive en retard le lundi matin ».

1. Représenter la situation par un arbre pondéré.

2. Calculer $P(D\cap R)$.

3. Montrer que $P(R)=0{,}07$.

4. Sachant que l'élève est arrivé en retard, quelle est la probabilité qu'il soit demi-pensionnaire ? Donner la valeur exacte sous forme de fraction, puis arrondir à $10^{-3}$.

5. Les événements $D$ et $R$ sont-ils indépendants ? Justifier.

Soit $X$ la variable aléatoire dont la loi de probabilité est donnée par le tableau suivant.

$x_i$	$1$	$2$	$5$
$P(X=x_i)$	$0{,}5$	$0{,}3$	$0{,}2$

1. Calculer $E(X)$.

2. Calculer $E(X^2)$, puis $V(X)$.

3. Soit $Y$ une variable aléatoire indépendante de $X$, d'espérance $3$ et de variance $1{,}5$. Calculer $E(X+Y)$ et $V(X+Y)$.

4. Calculer $E(3X-2)$ et $V(3X-2)$.

Une entreprise fabrique des composants électroniques. Chaque composant est non conforme avec une probabilité de $0{,}03$, indépendamment des autres.

Partie A

On prélève 20 composants. On note $X$ le nombre de composants non conformes parmi ces 20 composants.

1. Justifier que $X$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

2. Calculer $P(X=0)$, puis $P(X\le2)$. Arrondir à $10^{-3}$.

3. Calculer l'espérance et la variance de $X$.

Partie B

On prélève maintenant $n$ composants, où $n$ est un entier naturel non nul.

1. Exprimer en fonction de $n$ la probabilité $p_n$ qu'au moins un composant soit non conforme.

2. Déterminer le plus petit entier $n$ tel que $p_n\ge0{,}99$.

3. Écrire en Python une fonction qui renvoie ce plus petit entier $n$.

Une compagnie de transport par autocar dispose de 50 places sur la ligne Paris-Lille. Elle sait que chaque personne ayant réservé se présente au départ avec la probabilité $0{,}92$, indépendamment des autres. La compagnie pratique la surréservation : elle vend $n$ billets avec $n\ge50$. On note $X_n$ le nombre de personnes se présentant au départ parmi les $n$ personnes ayant réservé.

1. Justifier que $X_n$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

2. On suppose $n=52$.

a) Calculer l'espérance de $X_{52}$.

b) Calculer la probabilité que plus de 50 personnes se présentent. Arrondir à $10^{-3}$.

1. La compagnie souhaite que la probabilité qu'au moins une personne ayant réservé n'ait pas de place soit inférieure ou égale à $0{,}05$.

a) Exprimer cet événement à l'aide de $X_n$.

b) À l'aide de la calculatrice, déterminer le plus grand nombre $n$ de billets que la compagnie peut vendre.

Partie A

Un jeu consiste à lancer 100 fois une pièce équilibrée. On note $X$ le nombre de « pile » obtenus.

1. Donner la loi de $X$, son espérance et sa variance.

2. À l'aide de l'inégalité de Bienaymé-Tchebychev, montrer que $P(|X-50|\ge15)\le\dfrac19$.

3. En déduire une minoration de la probabilité d'obtenir un nombre de « pile » strictement compris entre 35 et 65.

Partie B

Un sondage porte sur une population où la proportion de personnes favorables à un projet est $p=0{,}3$. On interroge $n$ personnes de manière indépendante. Pour $i\in\{1\,;\dots;n\}$, on note $X_i$ la variable aléatoire égale à $1$ si la $i$-ème personne est favorable et à $0$ sinon, et $M_n=\dfrac{X_1+\dots+X_n}n$.

1. Donner la loi de $X_i$, puis $E(X_i)$ et $V(X_i)$.

2. Calculer $E(M_n)$ et $V(M_n)$.

3. Montrer que $P(|M_n-0{,}3|\ge0{,}05)\le\dfrac{84}n$.

4. Déterminer le nombre minimal de personnes à interroger pour que cette majoration soit inférieure ou égale à $0{,}05$.

Un joueur dispose de deux dés truqués $A$ et $B$ à deux issues « succès » ou « échec ». Avec le dé $A$, la probabilité d'un succès est $0{,}2$ ; avec le dé $B$, elle est $0{,}6$. Le joueur choisit au hasard un des deux dés avec les probabilités $P(A)=\dfrac13$ et $P(B)=\dfrac23$, puis lance 5 fois de suite le dé choisi, les lancers étant indépendants. On note $X$ le nombre de succès obtenus.

1. Sachant que le dé $A$ a été choisi, quelle est la loi de $X$ ? Même question avec le dé $B$.

2. Montrer que $P(X=0)=\dfrac{0{,}34816}{3}$. En donner une valeur approchée à $10^{-3}$.

3. Sachant que le joueur n'a obtenu aucun succès, calculer la probabilité qu'il ait choisi le dé $A$. Donner la valeur exacte sous forme de fraction irréductible.

4. Calculer $E(X)$.

5. Montrer que $X$ ne suit pas une loi binomiale. On pourra raisonner à partir de $E(X)$ et de $P(X=0)$.

Partie A

Soit $X$ une variable aléatoire suivant la loi binomiale $\mathcal B(n,p)$ avec $n\ge1$ et $p\in[0\,;1]$. On pose $F=\dfrac Xn$.

1. Donner $E(F)$ et $V(F)$ en fonction de $n$ et $p$.

2. Étudier les variations de la fonction $x\mapsto x(1-x)$ sur $[0\,;1]$ et en déduire que $p(1-p)\le\dfrac14$.

3. Montrer que, pour tout réel $\delta>0$, $P(|F-p|\ge\delta)\le\dfrac1{4n\delta^2}$.

Partie B

Un institut de sondage souhaite estimer la proportion $p$ d'électeurs favorables à une mesure, à partir de la fréquence $F$ observée sur un échantillon de $n$ personnes tirées avec remise.

1. Déterminer la taille minimale $n$ de l'échantillon pour que la fréquence $F$ soit à une distance strictement inférieure à $0{,}03$ de $p$ avec une probabilité d'au moins $0{,}95$.

2. Sur un échantillon de 1 000 personnes, on observe une fréquence $f=0{,}52$. En appliquant la partie A avec $\delta=0{,}05$, montrer que l'on peut affirmer, avec une probabilité d'au moins $0{,}9$, que $|F-p|<0{,}05$.

3. En déduire un intervalle contenant $p$ avec un risque d'erreur inférieur à $0{,}1$. Peut-on en conclure que $p>0{,}5$ ? Justifier.

Dans un jeu de fête foraine, on mise 1 € à chaque partie. À chaque partie, le gain algébrique $X$ du joueur (mise déduite), en euro, vaut $2$ avec la probabilité $0{,}3$ et $-1$ avec la probabilité $0{,}7$. Le joueur effectue $n$ parties indépendantes. On note $X_i$ le gain algébrique à la $i$-ème partie, $S_n=X_1+\dots+X_n$ son gain algébrique total et $M_n=\dfrac{S_n}n$.

Partie A

1. Calculer $E(X)$ et $V(X)$.

2. En déduire $E(S_n)$, $V(S_n)$, $E(M_n)$ et $V(M_n)$.

3. Montrer que $P(M_n\ge0)\le\dfrac{189}n$. On pourra remarquer que l'événement $\{M_n\ge0\}$ est inclus dans $\{|M_n-E(M_n)|\ge0{,}1\}$.

4. Déterminer à partir de quelle valeur de $n$ cette majoration est inférieure ou égale à $0{,}05$.

Partie B

On note $Y_n$ le nombre de parties gagnantes (gain $2$) parmi les $n$ parties.

1. Justifier que $Y_n$ suit une loi binomiale dont on précisera les paramètres.

2. Exprimer $S_n$ en fonction de $Y_n$ et $n$.

3. Pour $n=3$, calculer la probabilité que le joueur ne perde pas d'argent, c'est-à-dire $P(S_3\ge0)$. Donner la valeur exacte.