Exercices: Équations exponentielles et logarithmiques

Résoudre les équations exponentielles suivantes en écrivant les deux membres comme puissances de la même base :

1. a) $2^{x} = 8$

1. b) $3^{x} = \frac{1}{9}$

1. c) $5^{x} = 25$

1. d) $10^{x} = 0,001$

En appliquant la définition du logarithme, résoudre :

1. a) $\log_{2} x = 5$

1. b) $\log_{3} x = -2$

1. c) $\log x = 4$

1. d) $\ln x = 0$

Résoudre les équations :

1. a) $\log_{2} x + \log_{2} 4 = 5$

1. b) $\log_{5} x - \log_{5} 2 = 2$

Résoudre les équations exponentielles suivantes dont l'inconnue figure dans une expression de l'exposant :

1. a) $3^{x + 1} = 27$

1. b) $2^{3x} = 16$

1. c) $5^{2 - x} = 125$

Résoudre les équations en prenant les logarithmes décimaux des deux membres. Exprimer la solution exacte sous forme de quotient de logarithmes (il n'est pas nécessaire de donner la valeur décimale) :

1. a) $2^{x} = 15$

1. b) $7^{x} = 100$

Résoudre en appliquant la fonction réciproque adéquate :

1. a) $\ln x = 4$

1. b) $e^{x} = 7$

1. c) $10^{x} = 45$

1. d) $\log x = 2,5$

Pour résoudre l'équation exponentielle $8^{x-1} = 4^{x+2}$, deux élèves proposent des chemins différents :

• Pauline affirme que le plus direct est de décomposer les bases en puissances de $2$ ($8 = 2^3$ et $4 = 2^2$) et d'égaler les exposants obtenus.

• Serge suggère d'appliquer directement les logarithmes décimaux aux deux membres : $\log(8^{x-1}) = \log(4^{x+2})$, et de faire descendre les exposants grâce à la propriété du logarithme d'une puissance.

1. a) Résoudre l'équation par la méthode proposée par Pauline.
2. b) Justifier pourquoi les deux méthodes sont mathématiquement valides et argumenter laquelle est la plus avantageuse et la moins sujette aux erreurs de calcul dans ce cas particulier.

Lucie essaie de résoudre l'équation exponentielle $4^x - 3 \cdot 2^x - 4 = 0$ et rend le raisonnement suivant dans son cahier :

« Étape 1 : Je pose $t = 2^x$, ce qui donne $4^x = (2^x)^2 = t^2$.

Étape 2 : J'obtiens $t^2 - 3t - 4 = 0$, dont les solutions sont $t_1 = 4$ et $t_2 = -1$.

Étape 3 : Je reviens à la variable initiale :

• Pour $t_1 = 4 \implies 2^x = 4 \implies x = 2$.

• Pour $t_2 = -1 \implies 2^x = -1 \implies x = -0,5$ (car $2 \cdot (-0,5) = -1$).

Conclusion : L'équation a deux solutions réelles : $x = 2$ et $x = -0,5$ ».

1. a) Repérer et expliquer en détail l'erreur conceptuelle commise par Lucie à l'étape 3, en justifiant à l'aide des propriétés de la fonction exponentielle pourquoi l'égalité $2^x = -1$ est impossible dans l'ensemble des nombres réels.
2. b) Corriger la résolution et déterminer l'ensemble final des solutions valides de l'équation.

Résoudre l'équation $4^{x} - 5 \cdot 2^{x} + 4 = 0$ en effectuant le changement de variable $t = 2^{x}$. Vérifier les solutions obtenues.

Résoudre l'équation $2^{x + 1} + 2^{x} + 2^{x - 1} = 28$ en mettant en facteur la plus petite puissance. Vérifier la solution.

Résoudre l'équation logarithmique $\log_{2}(x - 1) + \log_{2}(x + 1) = 3$ et vérifier la validité de chaque solution candidate.

Résoudre l'équation $\log x + \log(x + 3) = 1$, où $\log$ désigne le logarithme décimal. Pourquoi faut-il écarter l'une des solutions de l'équation du second degré associée ?

Résoudre l'équation $3^{x - 1} = 2^{x}$ en prenant les logarithmes népériens des deux membres. Exprimer la solution exacte à l'aide de logarithmes et en donner une valeur approchée à deux décimales.

Résoudre le système logarithmique :

Vérifier que la solution satisfait les deux équations et que les valeurs sont valides pour les logarithmes.

Résoudre le système exponentiel :

Indication : transformer chaque équation en une équation linéaire portant sur les exposants.

La figure représente la courbe $y = 2^{x}$ et la droite $y = 5$.

1. a) Expliquer pourquoi la solution de l'équation $2^{x} = 5$ est l'abscisse du point d'intersection marqué par « ? ».

1. b) Encadrer la solution entre deux entiers consécutifs à l'aide du graphique ou par tâtonnement.

1. c) Exprimer la solution exacte à l'aide d'un logarithme et en calculer une valeur approchée à trois décimales.

Soit l'équation exponentielle $3^{2x-1} = 50$ :

1. a) Sans calculatrice ni logarithmes, encadrer la valeur de l'inconnue $x$. Pour cela, identifier entre quelles deux puissances entières consécutives de base $3$ se situe le nombre $50$, en déduire entre quels deux entiers consécutifs doit se trouver l'exposant $2x-1$ puis, à partir de là, obtenir pour $x$ un intervalle borné par deux nombres rationnels ou décimaux simples.
2. b) Résoudre l'équation de façon exacte en appliquant les logarithmes décimaux aux deux membres et en isolant l'inconnue $x$.
3. c) Obtenir la valeur numérique approchée à trois décimales et vérifier si votre estimation initiale du a) était cohérente.

Selon les barèmes d'évaluation des véhicules d'occasion utilisés par les impôts en Espagne, une voiture à moteur thermique se déprécie à un taux d'environ $12\,\%$ par an durant ses premières années de circulation. Une entreprise de messagerie achète une camionnette de livraison pour $25\,000\text{ \euro}$. Sa valeur résiduelle $V(t)$, exprimée en euros après $t$ années de service, est modélisée par la fonction $V(t) = 25\,000 \cdot (0,88)^t$.

1. a) Poser l'équation exponentielle qui permet de calculer au bout de combien d'années la valeur de la camionnette est réduite exactement à $10\,000\text{ \euro}$.
2. b) Résoudre cette équation à l'aide des logarithmes, arrondir le résultat au centième et interpréter la valeur obtenue en indiquant le nombre approximatif d'années et de mois nécessaires pour atteindre cette valeur.
3. c) Si l'entreprise avait acheté une camionnette de plus grande capacité pour $50\,000\text{ \euro}$ avec le même taux de dépréciation de $12\,\%$ par an, mettrait-elle plus de temps, moins de temps ou le même temps à perdre exactement la moitié de sa valeur initiale ? Justifier la réponse à partir de la structure algébrique de l'équation, sans refaire tous les calculs.

Résoudre l'équation exponentielle $9^{x} - 4 \cdot 3^{x} + 3 = 0$ en suivant ces étapes :

1. a) Exprimer $9^{x}$ comme puissance de base $3$ et effectuer le changement de variable $t = 3^{x}$.

1. b) Résoudre l'équation du second degré obtenue.

1. c) Revenir à la variable initiale, vérifier chaque solution dans l'équation de départ et écarter celles qui ne conviennent pas.

Résoudre l'équation logarithmique $\log_{2} x + \log_{4} x = 3$.

1. a) Exprimer $\log_{4} x$ en fonction de $\log_{2} x$ à l'aide du changement de base.

1. b) Résoudre l'équation obtenue et vérifier la solution.

Un élève résout l'équation $\log_{2}(x - 1) + \log_{2}(x - 3) = 3$ ainsi :

« $\log_{2}[(x - 1)(x - 3)] = 3 \Rightarrow (x - 1)(x - 3) = 8 \Rightarrow x^{2} - 4x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5$ et $x = -1$. Donc l'équation a deux solutions : $x = 5$ et $x = -1$. »

1. a) Expliquer où se situe l'erreur de sa conclusion, même si les calculs sont corrects.

1. b) Rédiger la résolution complète et correcte, en indiquant quelle vérification est obligatoire dans toute équation logarithmique.

Résoudre l'équation $4^{x} - 3 \cdot 2^{x + 1} + 8 = 0$.

1. a) Réécrire l'équation en utilisant uniquement des puissances de base $2$ et effectuer le changement $t = 2^{x}$.

1. b) Résoudre l'équation du second degré en $t$.

1. c) Revenir à la variable initiale et vérifier les deux solutions.

Une famille place $5\,000\ \text{ €}$ sur un dépôt à intérêts composés annuels au taux de $4 \%$, de sorte que le capital au bout de $t$ années est $C(t) = 5\,000 \cdot 1,04^{t}$.

1. a) Poser l'équation exponentielle qui permet de déterminer au bout de combien d'années le capital atteint $8\,000\ \text{ €}$.

1. b) La résoudre à l'aide des logarithmes et exprimer le résultat arrondi au mois.

1. c) Sans effectuer tout le calcul, expliquer si avec un taux de $2 \%$ la durée nécessaire serait exactement le double. Vérifier votre conjecture par le calcul.

Résoudre les équations suivantes, dans lesquelles l'inconnue apparaît à des endroits peu habituels :

1. a) $\log_{x} 8 = \frac{3}{2}$ (l'inconnue est la base du logarithme ; rappeler quelles valeurs une base peut prendre).

1. b) $\log_{3}(x + 2) - \log_{3}(x - 2) = 1$ (appliquer la propriété du logarithme d'un quotient et vérifier la solution).

Une colonie de bactéries croît au rythme de $15 \%$ par jour, de façon cumulative. Si au départ il y a $2\,000$ bactéries :

1. a) Écrire l'expression du nombre de bactéries au bout de $t$ jours et poser l'inéquation qui détermine à partir de quand la population dépassera $10\,000$ bactéries.

1. b) La résoudre à l'aide des logarithmes et conclure : combien de jours entiers doivent s'écouler au minimum ?

Concevoir une équation exponentielle de structure quadratique de la forme $a \cdot 4^x + b \cdot 2^x + c = 0$ vérifiant simultanément les trois conditions suivantes :

1. Les coefficients $a$, $b$ et $c$ sont des nombres entiers et $a = 1$.

2. Le nombre réel $x = 3$ est l'unique solution réelle de l'équation.

3. Avec le changement de variable $t = 2^x$, l'équation du second degré $t^2 + bt + c = 0$ possède deux solutions réelles distinctes, mais l'une d'elles n'engendre aucune solution réelle pour $x$.

1. a) Déduire les valeurs entières de $b$ et $c$ qui vérifient ces conditions, en explicitant le raisonnement qui relie les racines de l'équation du second degré en $t$ à l'ensemble image de la fonction exponentielle $2^x$.
2. b) Résoudre pas à pas l'équation obtenue pour démontrer qu'elle n'admet effectivement que $x = 3$ comme solution réelle dans $\mathbb{R}$.

On considère le système d'équations non linéaires suivant :

$\begin{cases} \log x + \log y = 2 \\ x - y = 15 \end{cases}$

1. a) Résoudre algébriquement le système en appliquant les propriétés des logarithmes et la méthode de substitution.
2. b) En résolvant l'équation du second degré qui apparaît dans la démarche, on obtient deux couples de valeurs : $(20 ; 5)$ et $(-5 ; -20)$. Expliquer analytiquement, en s'appuyant sur la définition et l'ensemble de définition de la fonction logarithme d'origine, pourquoi l'un d'eux doit être écarté.
3. c) Si un élève remplace la première équation par $\log(x \cdot y) = 2$, transformant le système en :

$\begin{cases} \log(x \cdot y) = 2 \\ x - y = 15 \end{cases}$

ce nouveau système est-il équivalent au système initial ? Comparer de façon argumentée les ensembles de définition des expressions $\log x + \log y$ et $\log(x \cdot y)$ et déterminer si le couple $(-5 ; -20)$ est ou non une solution admissible de ce second système.

Défi du thème. Votre défi consiste à élaborer un rapport financier viable pour une microcoopérative de jeunes en utilisant des données de l'INSEE (salaire médian et dépense moyenne des ménages).

Phase 1 (Données et Gauss) : Rechercher à l'INSEE la dépense moyenne mensuelle dans trois postes (logement, transport et alimentation). Poser un système $3 \times 3$ avec des contraintes de budget et une épargne fixée, puis le résoudre par la méthode du pivot de Gauss pour déterminer les affectations.

Phase 2 (Polynômes et viabilité) : Modéliser les coûts et les revenus à l'aide de polynômes. Les factoriser et construire la fonction de coût moyen sous la forme d'une fraction rationnelle. Poser et résoudre une inéquation du second degré pour fixer le seuil de rentabilité, ainsi qu'un système d'inéquations qui délimite la région admissible.

Phase 3 (Projection à long terme) : Modéliser dans GeoGebra le fonds de réserve face à l'inflation (taux moyen de $2,5\%$) à l'aide d'un système non linéaire comportant des fonctions exponentielles et logarithmiques. Étudier ses branches infinies ($t \to +\infty$) pour prédire si le projet s'effondrera ou se stabilisera.

Remettre un rapport de synthèse bref avec des captures d'écran de GeoGebra et votre proposition justifiée.

Seront évalués :

• L'exactitude dans l'application du pivot de Gauss, de la factorisation et de la résolution d'inéquations et de systèmes.

• La rigueur dans l'analyse des branches infinies et leur interprétation socio-économique.

• L'intégration cohérente des données réelles de l'INSEE dans le rapport final.