Exercices: Mouvements composés

Une barque traverse une rivière de $40\ \text{m}$ de largeur avec une vitesse propre de $2\ \text{m/s}$, dirigée perpendiculairement au courant. Observer le schéma de la traversée :

1. a) Énoncer le principe d'indépendance des mouvements de Galilée.
2. b) L'appliquer pour calculer la durée que met la barque à traverser la rivière, en justifiant pourquoi le courant ne modifie pas cette durée.

Un drone vole vers le nord à $4\ \text{m/s}$ tandis que le vent le pousse vers l'est à $3\ \text{m/s}$.

1. a) Calculer la valeur de la vitesse résultante du drone par rapport au sol.
2. b) En tenant compte de l'indépendance des mouvements, calculer le temps qu'il met pour avancer de $100\ \text{m}$ vers le nord.

Un train franchit un pont de $19,6\ \text{m}$ de hauteur lorsqu'un objet se détache d'un wagon. Prendre $g = 9,8\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calculer la durée que met l'objet pour arriver au sol.
2. b) Justifier si cette durée dépend de la vitesse horizontale du train.

Un avion d'aide humanitaire vole horizontalement à $100\ \text{m/s}$ et à $500\ \text{m}$ d'altitude lorsqu'il largue un colis. Prendre $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. Observer le schéma :

1. a) Calculer la durée de chute du colis.
2. b) Calculer la distance horizontale parcourue par le colis avant de toucher le sol.

Un ballon est frappé avec une vitesse initiale $v_0 = 50\ \text{m/s}$ formant $37^\circ$ avec l'horizontale. Utiliser $\sin 37^\circ \approx 0,6$ et $\cos 37^\circ \approx 0,8$. La figure montre la décomposition de la vitesse initiale.

1. a) Calculer la composante horizontale de la vitesse initiale.
2. b) Calculer la composante verticale de la vitesse initiale.

Une balle de tennis part de la raquette à $v_0 = 20\ \text{m/s}$ en formant $60^\circ$ avec l'horizontale. Utiliser $\sin 60^\circ \approx 0,87$ et $\cos 60^\circ = 0,5$.

1. a) Calculer la composante horizontale de sa vitesse initiale.
2. b) Calculer la composante verticale de sa vitesse initiale.

La composante verticale de la vitesse initiale d'un projectile est $20\ \text{m/s}$. Prendre $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calculer la durée pour atteindre le point le plus haut de sa trajectoire.
2. b) S'il part du sol et retombe au sol, quelle est la durée totale de son vol ? Justifier.

Une flèche quitte l'arc avec une composante verticale de vitesse de $30\ \text{m/s}$. Prendre $g \approx 10\ \text{m/s}^2$ et se rappeler qu'au point le plus haut la vitesse verticale s'annule.

1. a) Calculer la durée de la montée.
2. b) Calculer la hauteur maximale atteinte au-dessus du point de départ.

Une barque de vitesse propre $4\ \text{m/s}$ traverse une rivière de $80\ \text{m}$ de largeur en dirigeant la proue perpendiculairement au courant, qui l'entraîne à $1,5\ \text{m/s}$. Observer le schéma de la traversée :

1. a) Calculer la durée de la traversée.
2. b) Calculer la dérive : la distance dont le courant a déplacé la barque vers l'aval en arrivant sur l'autre rive.
3. c) Calculer la valeur du déplacement total entre le point de départ et le point d'arrivée.

Un batelier veut traverser une rivière de $120\ \text{m}$ de largeur en arrivant exactement au point situé en face. Sa barque atteint $5\ \text{m/s}$ en eau calme et le courant est de $3\ \text{m/s}$. Le diagramme des vitesses est représenté sur la figure.

1. a) Calculer l'angle vers l'amont avec lequel il doit diriger la proue, sachant qu'il vérifie $\sin\theta = \frac{3}{5}$.
2. b) Calculer la valeur de la vitesse résultante de la barque par rapport aux rives.
3. c) Calculer la durée de la traversée.

Un hélicoptère vole horizontalement à $30\ \text{m/s}$ et à $20\ \text{m}$ d'altitude lorsqu'il largue un colis. Prendre $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calculer la durée de chute du colis.
2. b) Calculer la portée horizontale du colis.
3. c) Calculer les composantes de la vitesse à l'arrivée au sol et sa valeur.

Un avion vole horizontalement à $80\ \text{m/s}$ et à $720\ \text{m}$ d'altitude et doit larguer un colis pour qu'il tombe sur un point précis du sol. Prendre $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calculer la durée de chute du colis.
2. b) Calculer la distance horizontale parcourue par le colis pendant la chute.
3. c) Justifier à quelle distance horizontale avant la cible le colis doit être largué.

Une balle de golf part du tee à $v_0 = 50\ \text{m/s}$ en formant $37^\circ$ avec l'horizontale. Utiliser $\sin 37^\circ \approx 0,6$, $\cos 37^\circ \approx 0,8$ et $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. La trajectoire du coup est représentée sur la figure.

1. a) Calculer les composantes de la vitesse initiale.
2. b) Calculer la durée du vol.
3. c) Calculer la portée sur un terrain horizontal.
4. d) Calculer la hauteur maximale.

Un gardien de handball lance le ballon à $v_0 = 20\ \text{m/s}$ en formant $30^\circ$ avec l'horizontale. Utiliser $\sin 30^\circ = 0,5$, $\cos 30^\circ \approx 0,87$ et $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calculer les composantes de la vitesse initiale.
2. b) Calculer la durée du vol jusqu'à ce que le ballon revienne à la hauteur de départ.
3. c) Calculer la portée.
4. d) Calculer la hauteur maximale.

Un joueur de volley-ball effectue un service à $v_0 = 25\ \text{m/s}$ en formant $53^\circ$ avec l'horizontale. Utiliser $\sin 53^\circ \approx 0,8$, $\cos 53^\circ \approx 0,6$ et $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calculer les composantes de la vitesse initiale.
2. b) Justifier la valeur de la composante verticale de la vitesse au point le plus haut et calculer en ce point la valeur de la vitesse.
3. c) Calculer la hauteur maximale et la durée pour l'atteindre.

Du haut d'une falaise de $45\ \text{m}$ au-dessus de la mer, on laisse tomber une pierre et, au même instant, on lance une autre pierre identique horizontalement à $10\ \text{m/s}$. Prendre $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. Observer le schéma de la falaise :

1. a) Calculer la durée de chute de la première pierre.
2. b) Justifier, à l'aide du principe d'indépendance des mouvements, laquelle des deux arrive la première dans l'eau.
3. c) Calculer la portée horizontale de la seconde pierre.
4. d) Calculer la valeur de la vitesse d'arrivée de chaque pierre et comparer les résultats.

Un joueur de rugby frappe le ballon depuis le sol à $v_0 = 30\ \text{m/s}$ en formant $53^\circ$ avec l'horizontale. Utiliser $\sin 53^\circ \approx 0,8$, $\cos 53^\circ \approx 0,6$ et $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. La figure montre la trajectoire du ballon et les poteaux.

1. a) Calculer les composantes de la vitesse initiale.
2. b) Si les poteaux sont à $36\ \text{m}$ du point de frappe, calculer à quelle hauteur passe le ballon au-dessus de la ligne d'en-but et décider s'il passe au-dessus de la barre transversale, située à $3\ \text{m}$ de hauteur.
3. c) Calculer la hauteur maximale atteinte par le ballon.
4. d) Calculer la portée du ballon et décider s'il sortirait par la ligne de ballon mort, située à $80\ \text{m}$ du point de frappe.

Pour un lancer sur terrain horizontal, la portée est donnée par $x = \frac{v_0^2 \cdot \sin(2\theta)}{g}$, où $\theta$ est l'angle de lancer.

1. a) Justifier, à partir de cette expression, que la portée est maximale lorsque $\theta = 45^\circ$.
2. b) Une lanceuse de javelot veut atteindre $80\ \text{m}$ en lançant à $45^\circ$ ; prendre $g \approx 10\ \text{m/s}^2$ et calculer la vitesse initiale nécessaire.
3. c) Avec cette même vitesse initiale, calculer la portée si le lancer part à $30^\circ$ et vérifier si elle atteint $80\ \text{m}$. Utiliser $\sin 60^\circ \approx 0,87$.

Lors d'une reconstitution historique, un canon tire des projectiles à $v_0 = 40\ \text{m/s}$. Prendre $g \approx 10\ \text{m/s}^2$, $\sin 37^\circ \approx 0,6$, $\cos 37^\circ \approx 0,8$ et se rappeler que $\sin(2\theta) = 2 \cdot \sin\theta \cdot \cos\theta$.

1. a) Calculer la portée pour un angle de tir de $37^\circ$.
2. b) Calculer la portée pour l'angle complémentaire, $53^\circ$, et comparer les deux résultats.
3. c) Calculer la hauteur maximale et la durée du vol dans chacun des deux cas.
4. d) Expliquer quelle propriété ont les couples d'angles complémentaires dans le mouvement dans un champ de pesanteur uniforme et ce que l'on gagne et ce que l'on perd en choisissant l'angle le plus élevé.

Une barque capable de naviguer à $5\ \text{m/s}$ en eau calme doit traverser une rivière de $100\ \text{m}$ de largeur avec un courant de $3\ \text{m/s}$.

1. a) Si elle dirige la proue perpendiculairement à la rive, calculer la durée de la traversée, la dérive et la valeur du déplacement total.
2. b) Si elle veut arriver exactement au point situé en face, calculer l'angle vers l'amont qu'elle doit prendre (il vérifie $\sin\theta = \frac{3}{5}$), la vitesse résultante et la durée de la traversée.
3. c) Comparer les deux stratégies et justifier laquelle minimise la durée de la traversée et laquelle minimise la longueur de la trajectoire par rapport à la rive, en s'appuyant sur les résultats obtenus.

Un skieur de saut quitte le tremplin avec une vitesse horizontale de $20\ \text{m/s}$ depuis une hauteur de $80\ \text{m}$ au-dessus de la zone de réception. Prendre $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calculer la durée du vol et la portée horizontale.
2. b) Calculer les composantes de la vitesse à l'arrivée dans la zone de réception et sa valeur.
3. c) Calculer l'angle que forme la vitesse d'arrivée avec l'horizontale.

Un avion vole vers l'est avec une vitesse propre de $200\ \text{m/s}$ tandis que le vent souffle de façon constante vers le nord à $40\ \text{m/s}$.

1. a) Calculer la valeur de la vitesse résultante de l'avion par rapport au sol.
2. b) Calculer l'angle de dérive : l'angle dont sa trajectoire s'écarte du cap est souhaité.
3. c) Si le vol dure $500\ \text{s}$, calculer la position de l'avion (distance parcourue vers l'est et vers le nord par rapport au point de départ) et la distance qui le sépare du point qu'il aurait atteint sans vent.

Lors d'une séance de travaux pratiques, une bille roule sur une table de $1,25\ \text{m}$ de hauteur et quitte le bord horizontalement. Sur le sol, on place un gobelet dont le centre est à $1,5\ \text{m}$ de la verticale du bord de la table. Prendre $g \approx 10\ \text{m/s}^2$. Observer le schéma :

1. a) Calculer la durée de chute de la bille du bord de la table jusqu'au sol.
2. b) Calculer la vitesse horizontale avec laquelle elle doit quitter la table pour tomber dans le gobelet.
3. c) Avec cette vitesse, calculer les composantes et la valeur de la vitesse de la bille à l'arrivée au sol.

Une archère tire une flèche à $v_0 = 25\ \text{m/s}$ en formant $37^\circ$ avec l'horizontale. Utiliser $\sin 37^\circ \approx 0,6$, $\cos 37^\circ \approx 0,8$ et $g \approx 10\ \text{m/s}^2$.

1. a) Calculer les composantes de la vitesse initiale.
2. b) Écrire les équations $x(t)$ et $y(t)$, éliminer le temps et obtenir l'équation de la trajectoire $y(x)$.
3. c) Un panneau publicitaire de $5\ \text{m}$ de hauteur se trouve à $20\ \text{m}$ du point de tir : calculer à quelle hauteur passe la flèche au-dessus de lui et décider si elle le franchit.
4. d) Calculer la portée de la flèche sur un terrain horizontal.

Défi du thème. Étudier la cinématique d'un lancer horizontal en analysant l'influence de l'environnement.

1. Variables thermodynamiques : Consulter sur le site de Météo-France la température $T$ ($^\circ\text{C}$) et la pression $P$ ($\text{hPa}$) actuelles de votre commune afin de relever l'état thermodynamique de l'air environnant.

2. Mouvements rectiligne et circulaire : Utiliser un plan incliné (MRUA) ou une roue de vélo retournée tournant uniformément (MCU) de rayon connu, par exemple $R = (30,0 \pm 0,1)\text{ cm}$, pour propulser une bille avec une vitesse initiale horizontale $v_0$. Déterminer $v_0$ indépendamment de la portée : avec la roue, mesurer $\omega$ en chronométrant 10 tours et utiliser $v_0 = \omega R$ ; avec le plan incliné, chronométrer le passage de la bille sur un tronçon final horizontal de longueur connue. Estimer l'incertitude de chaque $v_0$.

3. Mouvement composé et mesures : Lancer la bille horizontalement depuis le bord d'une table située à une hauteur $h = (80,0 \pm 0,5)\text{ cm}$. Mesurer avec un mètre ruban (incertitude $\pm 0,1\text{ cm}$) la portée horizontale $x$ pour 5 vitesses initiales différentes, en effectuant 3 répétitions pour chacune afin de calculer la valeur moyenne et la dispersion.

4. Production finale : Rédiger un compte rendu bref contenant le tableau des données expérimentales, un graphique de la portée $x$ en fonction de $v_0$ et une discussion argumentée sur la question de savoir si les valeurs des variables thermodynamiques ambiantes entraînent des écarts notables par rapport au mouvement parabolique idéal dans le vide.

Seront évalués :

• L'obtention rigoureuse de mesures expérimentales et l'expression correcte de leurs incertitudes.

• La qualité technique du tableau et du graphique cinématique.

• L'intégration cohérente des types de mouvement (rectiligne, circulaire et composé) avec les variables thermodynamiques.

• L'esprit critique et la clarté de l'exposé dans les conclusions du compte rendu.