Exercices: GPS, trames NMEA et itinéraires

Expliquer le principe de la géolocalisation par satellites (GPS, Galileo) en citant le rôle de l'horloge atomique et du temps de propagation du signal.

Un signal radio se propage à $c=300\,000$ km/s. Un satellite est à 20 200 km d'un récepteur situé à la verticale.

1. a) Calculer le temps de propagation en secondes (arrondir au dix-millième) puis en millisecondes (arrondir au dixième).

1. b) Pourquoi une erreur d'horloge d'une microseconde est-elle gênante ?

Citer deux services de cartes numériques (par exemple GéoPortail, OpenStreetMap) et donner une différence entre eux (organisme, licence ou usage).

Une trame NMEA 0183 est :

$GPGGA,123519,4807.038,N,01131.000,E,1,08,0.9,545.4,M,46.9,M,,*47

1. a) Donner l'heure UTC (hh:mm:ss) de la mesure.

1. b) Donner la latitude en degrés et minutes, avec son hémisphère.

1. c) Donner le nombre de satellites utilisés (le champ après la qualité du signal).

Une erreur d'horloge de $\Delta t = 2\ \mu\text{s}$ affecte la mesure du temps de propagation d'un signal.

1. a) Calculer l'erreur de distance correspondante avec $c=3\times10^{8}$ m/s.

1. b) Pourquoi faut-il au moins quatre satellites pour obtenir une position en trois dimensions et corriger l'horloge du récepteur ?

Le réseau routier entre cinq villes est modélisé par un graphe pondéré (durées en minutes) : A–B 30, A–C 50, B–C 15, B–D 40, C–D 20, C–E 45, D–E 10.

1. a) Donner la durée du trajet A–B–D–E.

1. b) Trouver l'itinéraire le plus court en durée de A à E et sa durée.

Un récepteur lit la trame $GPRMC,081836,A,3751.65,S,14507.36,E,000.0,360.0,130998,011.3,E*62.

1. a) Interpréter les champs : heure UTC, statut (A = valide), latitude, longitude, vitesse en nœuds.

1. b) Convertir la latitude en degrés décimaux (arrondir au millième) en sachant que $1°=60'$ et qu'elle est dans l'hémisphère Sud (valeur négative).

1. c) Convertir 12,5 nœuds en km/h sachant que $1\text{ nœud}=1{,}852$ km/h.

On applique l'algorithme de Dijkstra au graphe pondéré : S–A 7, S–B 2, B–A 3, A–C 1, B–C 8, C–T 4, A–T 9.

1. a) Dérouler l'algorithme depuis S en donnant les distances provisoires puis définitives.

1. b) Donner le plus court chemin de S à T et sa longueur.

1. c) Expliquer pourquoi le chemin avec le moins d'étapes n'est pas forcément le plus court.

Un récepteur GPS fixe affiche une position qui varie légèrement. Les distances mesurées à un point de contrôle sur 5 relevés sont : 3,2 m ; 4,1 m ; 2,8 m ; 3,9 m ; 3,5 m.

1. a) Calculer l'erreur moyenne.

1. b) Un service utilise la position pour guider un piéton sur un trottoir large de 2 m. Cette précision est-elle suffisante ? Justifier.

1. c) Citer deux facteurs (bâtiments, couverture satellite…) qui dégradent la précision et un moyen de l'améliorer.