Exercices: Fluctuation, simulation et modélisation

On considère la fonction Python :

def moyenne(L):

    s = 0

    for x in L:

        s = s + x

    return s / len(L)

Calculer moyenne([12, 8, 15, 9, 6]).

On lance 200 fois une pièce équilibrée et on obtient 108 « face ».

1. a) Calculer la fréquence observée de « face ».
2. b) Comparer à la probabilité théorique.
3. c) Cet écart est-il surprenant pour un échantillon de cette taille ? Justifier brièvement.

Une série a pour moyenne $m = 50$ et pour écart type $s = 4$.

1. a) Calculer les bornes de l'intervalle $[m - 2s\,;\, m + 2s]$.
2. b) Une valeur de 61 appartient-elle à cet intervalle ?

Dans un lycée de Nantes, on a relevé les tailles (en cm) de 10 élèves : 158, 162, 165, 167, 170, 171, 173, 175, 178, 181. On donne la moyenne $m = 170$ et l'écart type $s \approx 6,8$.

1. a) Déterminer l'intervalle $[m - 2s\,;\, m + 2s]$.
2. b) Quelle proportion des élèves a une taille dans cet intervalle ?

Une enquête sur 500 clients d'une boulangerie à Strasbourg donne les fréquences observées du choix d'une viennoiserie : croissant 0,46 ; pain au chocolat 0,34 ; chausson aux pommes 0,12 ; autre 0,08.

1. a) Construire un modèle de probabilité à partir de ces fréquences.
2. b) Calculer la probabilité qu'un client choisisse un croissant ou un pain au chocolat.
3. c) Sur 2 000 clients, estimer le nombre de chaussons aux pommes vendus.

On simule le lancer d'un dé à six faces avec :

from random import randint

def freq(N):

    c = 0

    for i in range(N):

        if randint(1, 6) == 6:

            c = c + 1

    return c / N

1. a) Quelle grandeur la fonction freq(N) calcule-t-elle ?
2. b) Autour de quelle valeur attend-on les résultats de freq(10000) ?
3. c) On exécute freq(100) dix fois : les résultats seront-ils identiques ? Justifier.

Un fabricant affirme que 30 % de ses ampoules sont de classe énergétique A. On prélève un échantillon de 100 ampoules et on en trouve 21 de classe A.

1. a) Calculer la fréquence observée.
2. b) Sachant que, pour $p = 0,3$ et $n = 100$, l'intervalle de fluctuation à 95 % est approximativement $\left[p - \dfrac{1}{\sqrt{n}}\,;\, p + \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$, le déterminer.
3. c) Peut-on remettre en cause l'affirmation du fabricant ? Justifier.

On considère la fonction :

def prop(L, m, s):

    c = 0

    for x in L:

        if m - 2 * s <= x <= m + 2 * s:

            c = c + 1

    return c / len(L)

1. a) Que renvoie prop(L, m, s) lorsque L est la liste des valeurs d'une série de moyenne m et d'écart type s ?
2. b) Calculer prop([2, 4, 4, 4, 5, 5, 7, 9], 5, 2).
3. c) Proposer une modification de la fonction pour qu'elle renvoie un pourcentage arrondi à l'unité.

Une urne contient des boules rouges et bleues en proportion inconnue $p$ de rouges. On effectue 400 tirages avec remise et on obtient 128 boules rouges.

1. a) Estimer $p$ à partir de la fréquence observée.
2. b) Donner un intervalle de la forme $\left[f - \dfrac{1}{\sqrt{n}}\,;\, f + \dfrac{1}{\sqrt{n}}\right]$ où $f$ est la fréquence observée et $n$ le nombre de tirages.
3. c) Un élève affirme que $p = 0,25$. Cette affirmation est-elle compatible avec l'observation ? Justifier.