Exercices: Propriétés des puissances

Exprimer sous la forme d'une unique puissance de base $5$ en appliquant les propriétés des puissances : $\frac{5^4 \cdot 5^{-2}}{5^3}$.

Calculer la valeur de la puissance suivante et exprimer le résultat sous forme de fraction irréductible : $\left(\frac{2}{3}\right)^{-3}$.

Réduire à une seule puissance en utilisant les propriétés adéquates : $\left((-7)^3\right)^{-4} \cdot (-7)^5$.

Écrire sous la forme d'une unique puissance en appliquant les propriétés des opérations sur les puissances de même exposant : $15^4 : 3^4 \cdot 2^4$.

Simplifier l'expression littérale suivante en laissant le résultat avec des exposants positifs : $\frac{x^3 \cdot y^{-2}}{x^{-1} \cdot y^4}$.

Déterminer la valeur de l'exposant $x$ pour que l'égalité suivante soit vérifiée : $2^x \cdot 2^3 = 2^{-1}$.

Exprimer le nombre $\frac{1}{128}$ comme une puissance de base $2$ en utilisant un exposant négatif.

Indiquer si l'affirmation suivante est vraie ou fausse, en justifiant la réponse à l'aide des propriétés des puissances : « Le double de $2^8$ est $4^8$ ».

Mathis doit simplifier l'expression $2^4 \cdot 5^4$. Dans son contrôle, il écrit le calcul suivant :

et justifie sa réponse en disant : « Je multiplie les bases ($2 \cdot 5 = 10$) et j'additionne les exposants ($4 + 4 = 8$) ».

1. a) Expliquer en détail pourquoi le raisonnement de Mathis contredit la signification d'une puissance comme produit répété de facteurs et quelle règle il a confondue par erreur.
2. b) Corriger l'exercice en appliquant la propriété adéquate et calculer la valeur numérique finale.

Avant de faire le moindre calcul avec papier et crayon, estimer lequel de ces deux nombres vous semble le plus grand : $A = 2^{30}$ ou $B = 3^{20}$. Justifier brièvement votre intuition initiale en tenant compte du fait que $A$ a un exposant plus grand mais une base plus petite que $B$.

Vérifier ensuite votre prédiction de manière rigoureuse sans calculatrice : utiliser la propriété de la puissance d'une puissance, $(a^m)^n = a^{m \cdot n}$, pour réécrire les deux nombres avec le même exposant extérieur et conclure lequel est le plus grand.

Simplifier l'expression suivante en factorisant au préalable les bases et en appliquant les propriétés des puissances. Exprimer le résultat sous la forme d'un produit de puissances de nombres premiers : $\frac{18^2 \cdot 12^{-3}}{24^{-1} \cdot 9^3}$.

Une rumeur se propage dans un lycée en doublant chaque heure le nombre de personnes qui la connaissent. Si $1000$ personnes la connaissent au départ, exprimer sous forme de produit avec une puissance le nombre de personnes qui la connaîtront au bout de $12$ heures et calculer sa valeur finale.

Une substance radioactive voit sa masse réduite au tiers chaque jour. Si l'on dispose aujourd'hui d'un échantillon de $81$ grammes, exprimer à l'aide d'une puissance de base $3$ la quantité de substance restante dans $6$ jours et calculer le résultat.

Simplifier au maximum l'expression littérale suivante, en utilisant les propriétés des puissances et en laissant le résultat sans exposants négatifs : $\left( \frac{a^{-2} \cdot b^3}{a \cdot b^{-1}} \right)^{-2}$.

Une entreprise d'emballages fabrique des boîtes de forme cubique. Si elle décide de tripler la longueur de l'arête d'une boîte standard, par quel facteur son volume sera-t-il multiplié ? Exprimer votre raisonnement à l'aide des propriétés de la puissance d'un produit.

Sans utiliser la calculatrice, déterminer laquelle des quantités suivantes est la plus grande : $3^{50}$ ou $9^{20}$. Justifier la réponse en transformant l'une des puissances afin que les deux aient la même base.

Résoudre l'équation exponentielle suivante en exprimant tous les termes comme puissances de la même base et en opérant sur leurs exposants : $4^x \cdot 2^{x+1} = \frac{1}{8}$.

Un capital est placé à intérêts composés annuels de sorte que chaque année l'argent est multiplié par $1,05$. Si le placement initial est de $2000$ €, écrire sous la forme d'une puissance l'expression qui donne le capital après $t$ ans. Quelle somme d'argent aura-t-on après $4$ ans ?

Pour simplifier l'expression $\frac{6^6}{2^4 \cdot 3^4}$, deux élèves proposent des méthodes différentes :

• Hélène regroupe d'abord les facteurs du dénominateur en appliquant la propriété des puissances de même exposant.

• Paul décompose la base du numérateur en facteurs premiers et applique la puissance d'un produit.

1. a) Détailler la simplification étape par étape en suivant la méthode d'Hélène, puis celle de Paul.
2. b) Comparer les deux méthodes : laquelle est la plus rapide et la moins risquée en termes d'erreurs dans ce cas ? Votre choix de méthode changerait-il si l'expression initiale avait été $\frac{6^6}{2^4 \cdot 3^5}$ ? Justifier votre réponse.

L'Institut national de cybersécurité (INCIBE), dont le siège est à León, étudie un protocole de diffusion d'alertes urgentes dans les établissements scolaires. Lors d'une phase initiale ($n = 0$), l'alerte est envoyée à la direction de l'établissement. À chaque phase suivante $n$, le nombre de nouveaux destinataires informés croît de façon exponentielle selon l'expression $2^n$.

1. a) Si, à la phase $n+3$, le nombre de nouveaux destinataires dépasse de $112$ personnes celui de la phase $n$, poser l'équation correspondante.
2. b) Résoudre cette équation en factorisant par la plus petite puissance de base $2$ pour déterminer la valeur de la phase $n$.
3. c) En appliquant uniquement le quotient de puissances de même base, calculer combien de fois le nombre de nouveaux destinataires à la phase $n+3$ est plus grand qu'à la phase $n$.

Simplifier l'expression suivante dont les exposants dépendent du paramètre $n$, en factorisant si nécessaire pour pouvoir calculer : $\frac{3^{n+2} - 3^n}{3^{n+1} + 3^n}$.

Le tapis de Sierpinski est une fractale construite à partir d'un carré. À chaque itération, chaque carré plein est divisé en $9$ carrés égaux et le carré central est supprimé. Si l'aire initiale ($n=0$) est de $1\text{ m}^2$, à la première itération l'aire restante est $\frac{8}{9}\text{ m}^2$. Exprimer l'aire restante après $n$ itérations à l'aide de puissances. Calculer l'aire qui restera après $5$ itérations.

La loi empirique de Moore suggère que le nombre de transistors d'un microprocesseur double environ tous les $2$ ans. Si en 1970 un processeur avait $2000$ transistors, exprimer le nombre de transistors en l'année $1970 + t$ à l'aide d'une puissance de base $2$. Utiliser cette propriété pour estimer combien de transistors aurait un processeur en 2010.

Un élève a effectué le développement algébrique suivant pour simplifier une expression :

$\frac{10^4 \cdot 5^{-2}}{2^4 \cdot 5^2} = \frac{(2 \cdot 5)^4 \cdot 5^{-2}}{2^4 \cdot 5^2} = \frac{2^4 \cdot 5^4 \cdot 5^{-2}}{2^4 \cdot 5^2} = 5^{4 - 2 - 2} = 5^0 = 1$

Repérer s'il y a une erreur dans son raisonnement, l'expliquer en détail et donner le résultat correct en appliquant rigoureusement les propriétés des puissances.

Déterminer les valeurs de $x$ et $y$ qui vérifient simultanément les égalités suivantes, en utilisant les propriétés des puissances pour transformer le système en un système d'équations linéaires :

$2^x \cdot 4^y = 256$

$\frac{3^{2x}}{9^y} = 27$

En astrophysique, l'intensité de la lumière que nous recevons d'une étoile est inversement proportionnelle au carré de la distance qui nous en sépare. Si nous nous éloignons à une distance $4$ fois plus grande de l'étoile, exprimer à l'aide d'une puissance d'exposant négatif le facteur par lequel l'intensité lumineuse initiale est multipliée. Si l'intensité initiale était $I_0$, quelle sera la nouvelle intensité en fonction de $I_0$ ?

Simplifier l'expression littérale suivante, où $x$ et $y$ sont des nombres réels non nuls et $a, b$ sont des entiers positifs :

$\left( \frac{x^{a-b} \cdot y^{b+a}}{x^{a+b} \cdot y^{b-a}} \right)^{-1}$

Appliquer les propriétés des puissances de même base et exprimer le résultat final en n'utilisant que des exposants positifs.

Imaginer une feuille de papier de $0,1\text{ mm}$ d'épaisseur. Chaque fois que l'on plie la feuille en deux sur elle-même, son épaisseur double. Exprimer l'épaisseur de la feuille après $n$ pliages à l'aide d'une puissance. Si la distance moyenne de la Terre à la Lune est d'environ $384\,000\text{ km}$, poser une équation utilisant des puissances de $2$ pour estimer combien de pliages seraient nécessaires pour que l'épaisseur du papier atteigne la Lune (vous pouvez estimer la valeur sachant que $2^{10} \approx 10^3$).

Concevoir une expression fractionnaire de la forme $\frac{a^x \cdot b^y}{c^z}$ qui vérifie simultanément ces quatre conditions :

1. Les bases $a$, $b$ et $c$ sont des nombres composés distincts appartenant à l'ensemble $\{4, 6, 8, 9, 12\}$.

2. Les exposants $x$, $y$ et $z$ sont des entiers relatifs non nuls, et au moins l'un d'eux doit être négatif.

3. Aucun exposant final des puissances ne peut être $0$.

4. Après décomposition des bases en facteurs premiers et application des propriétés des puissances, la fraction irréductible obtenue doit être exactement $\frac{3}{2}$.

Montrer tout le raisonnement suivi pour trouver les bases et les exposants à l'aide des équations sur les exposants des bases premières $2$ et $3$.

Lors d'une séance de révision, David affirme : « Comme $2 \cdot 5 = 10$, tout nombre produit par l'expression $2^{n+2} \cdot 5^n$, pour tout entier positif $n$, se termine obligatoirement par deux zéros, car l'exposant du $2$ a un $+2$ ».

1. a) Estimer puis calculer la valeur de l'expression pour $n = 1$, $n = 2$ et $n = 3$. L'affirmation générale de David est-elle correcte ?
2. b) Transformer algébriquement l'expression $2^{n+2} \cdot 5^n$ à l'aide des propriétés des puissances pour l'écrire sous la forme $k \cdot 10^n$, où $k$ est un entier indépendant de $n$.
3. c) En vous appuyant sur votre développement de la question b), expliquer quelle est l'erreur conceptuelle de David, combien de zéros comporte réellement le nombre en fonction de $n$ et quel est toujours son premier chiffre significatif.