Exercices: Opérations sur les polynômes

Calculer la valeur du polynôme $P(x) = -2x^3 + 5x^2 - 3x + 4$ pour $x = -2$ et pour $x = 1$.

Soit les polynômes $A(x) = 3x^2 - 5x + 1$ et $B(x) = -x^2 + 4x - 6$. Calculer l'expression obtenue en effectuant l'opération $2 \cdot A(x) - B(x)$.

Multiplier les polynômes $P(x) = x^2 - 3x + 2$ et $Q(x) = 2x - 5$. Exprimer le résultat ordonné par degré décroissant.

Effectuer la division du polynôme $D(x) = 4x^4 - 2x^3 + 6x^2 - x + 5$ par le binôme $d(x) = x^2 + 2$. Indiquer clairement quel est le polynôme quotient $C(x)$ et le polynôme reste $R(x)$.

Appliquer la méthode de Horner pour diviser le polynôme $P(x) = 3x^3 - 5x^2 + 2x - 7$ par $(x - 2)$. Écrire le quotient et le reste obtenus.

Développer les expressions suivantes en appliquant les identités remarquables correspondantes :

1. a) $(3x + 4)^2$
2. b) $(2x - 5)^2$

Exprimer les binômes suivants sous la forme d'un produit de deux facteurs à l'aide de l'identité remarquable du produit de la somme par la différence :

1. a) $16x^2 - 25$
2. b) $9x^4 - 49$

Effectuer les calculs et simplifier au maximum l'expression littérale suivante : $(x + 3)(x - 3) - (x - 2)^2$.

Lors d'un contrôle de seconde, Marc doit simplifier l'expression littérale $A(x) = (3x - 2)^2 - (3x + 2)(3x - 2)$. Sur sa copie, il écrit ce qui suit :

$A(x) = 9x^2 - 4 - (9x^2 - 4) = 9x^2 - 4 - 9x^2 - 4 = -8$.

1. a) Identifier et expliquer en détail les deux erreurs commises par Marc (l'une dans le développement du carré d'une différence et l'autre dans l'utilisation des signes lors de la suppression des parenthèses).
2. b) Effectuer le développement correct en utilisant pas à pas les identités remarquables et calculer la valeur du polynôme obtenu pour $x = -1$.

On va calculer le produit des polynômes $P(x) = 2x^2 - 5$ et $Q(x) = 3x^3 + 4x - 1$.

1. a) Avant d'effectuer les multiplications terme à terme, estimer en justifiant :

• Quel doit être le degré du polynôme obtenu $P(x)\cdot Q(x)$ ?

• Quels doivent être son coefficient dominant et son terme constant ? Justifier comment on peut déduire ces deux valeurs en quelques secondes sans développer tout le calcul.

1. b) Effectuer le produit complet, réduire les termes semblables et vérifier si l'estimation initiale était exacte.
2. c) Évaluer la vraisemblance du résultat final en calculant numériquement $P(1)$, $Q(1)$ et la valeur pour $x = 1$ du polynôme produit obtenu, et en vérifiant que les résultats sont bien égaux.

Un jardin rectangulaire a pour dimensions $(2x + 5)$ mètres de long et $(2x - 5)$ mètres de large. On y construit une fontaine carrée de côté $(x - 1)$ mètres, et le reste est recouvert de pelouse. Exprimer l'aire de la zone de pelouse sous la forme d'un polynôme simplifié en $x$.

On souhaite construire une boîte en carton sans couvercle à partir d'une feuille rectangulaire de $30 \text{ cm}$ de long sur $20 \text{ cm}$ de large. Pour cela, on découpe quatre carrés identiques de côté $x \text{ cm}$ dans chacun des coins et l'on replie les rabats vers le haut. Déterminer le polynôme $V(x)$ qui exprime le volume de la boîte obtenue en fonction de $x$.

Calculer la valeur du paramètre $k$ pour que la division du polynôme $P(x) = 2x^3 - kx^2 + 5x - 4$ par le binôme $(x + 2)$ ait un reste égal à $10$. Utiliser le théorème du reste pour justifier la réponse.

Effectuer les calculs et simplifier au maximum l'expression littérale suivante, en prêtant une attention particulière aux signes et aux identités remarquables :

$3(x - 2)^2 - 2(x + 1)(x - 1) + (x + 3)^2$

Le coût de production de $x$ unités d'un appareil électronique est donné par le polynôme $C(x) = 50x + 200$. Le prix de vente au public de chaque unité dépend de la quantité fabriquée et suit l'expression $p(x) = 300 - 2x$.

Déterminer le polynôme bénéfice $B(x)$, sachant que le bénéfice est égal aux recettes totales (quantité multipliée par le prix) moins les coûts totaux. Quel sera le bénéfice si l'on fabrique et vend $40$ unités ?

Sachant que la division d'un polynôme $P(x)$ par $(x - 3)$ a pour quotient $C(x) = 4x^2 - 2x + 1$ et pour reste $R = -7$, reconstituer le polynôme $P(x)$ et l'exprimer sous forme développée.

La hauteur en mètres d'une balle lancée verticalement en fonction du temps en secondes est donnée par le polynôme $H(t) = -5t^2 + 20t + 2$. Une seconde balle, lancée d'un autre point, suit une trajectoire décrite par $G(t) = -5t^2 + 15t + 10$.

Déterminer le polynôme $D(t)$ qui représente la différence de hauteur entre la première et la seconde balle ($D(t) = H(t) - G(t)$). À quel instant $t$ les deux balles sont-elles à la même hauteur ?

Vérifier si le polynôme $P(x) = x^4 - 5x^3 + 7x^2 - 5x + 6$ est divisible par le binôme $(x^2 + 1)$ en effectuant la division correspondante. Si c'est le cas, écrire la factorisation de $P(x)$ sous la forme d'un produit de deux polynômes.

On souhaite trouver le reste de la division du polynôme $P(x) = 4x^{20} - 3x^7 + 5x - 2$ par $(x + 1)$ et déterminer si $(x + 1)$ est un facteur de $P(x)$. Trois membres d'une équipe proposent des méthodes différentes :

• André dit : « Faisons la division euclidienne posée traditionnelle ».

• Béa dit : « Appliquons la méthode de Horner en dessinant le tableau des coefficients ».

• Charles dit : « Utilisons directement le théorème du reste en remplaçant $x = -1$ ».

1. a) Comparer les trois méthodes en expliquant pourquoi les propositions d'André et de Béa sont extrêmement inefficaces et sujettes aux erreurs de calcul dans cet exercice précis.
2. b) Justifier quelle est la méthode la plus adaptée et l'appliquer pour trouver le reste de la division.
3. c) D'après la valeur obtenue, conclure en justifiant si le polynôme $P(x)$ est divisible par $(x + 1)$ et quelle est la signification géométrique ou algébrique de ce fait par rapport à la racine $x = -1$.

Une entreprise de colis express située dans un centre logistique de Bordeaux conçoit des cartons renforcés pour des envois écologiques. Les dimensions intérieures de chaque boîte (en décimètres) sont : longueur $(2x + 1)$, largeur $(x + 3)$ et hauteur $(x - 1)$, avec $x > 1$.

1. a) Modéliser par un polynôme développé et ordonné $V(x)$ le volume intérieur total de la boîte en $\text{dm}^3$.
2. b) Pour fermer le colis, on place un ruban adhésif continu sur le contour horizontal (périmètre de la base, formée par la longueur et la largeur) et un autre sur le contour vertical transversal (périmètre formé par la largeur et la hauteur). Exprimer par un polynôme réduit $L(x)$ la longueur totale de ruban nécessaire (sans chevauchement).
3. c) Si le cahier des charges fixe $x = 5\text{ dm}$, calculer le volume en litres ($1\text{ dm}^3 = 1\text{ litre}$) et la longueur de ruban en centimètres. Vérifier si le colis respecte la réglementation standard de la messagerie, qui exige que la somme de ses trois dimensions ne dépasse pas $25\text{ dm}$.

Déterminer les valeurs des paramètres $a$ et $b$ pour que le polynôme $P(x) = x^3 + ax^2 + bx - 6$ soit exactement divisible par $(x - 2)$ et que, en même temps, il laisse un reste de $-12$ lorsqu'on le divise par $(x + 1)$.

Une piste d'athlétisme est formée d'une région rectangulaire centrale de longueur $3x$ et de largeur $2x$, prolongée par deux demi-disques à ses extrémités, de diamètre $2x$. Exprimer l'aire totale et le périmètre extérieur de la piste sous forme de polynômes dépendant de $x$ (laisser le nombre $\pi$ indiqué dans les coefficients).

Démontrer algébriquement que, pour tout nombre réel $x > 1$, les expressions $a = x^2 - 1$, $b = 2x$ et $c = x^2 + 1$ forment toujours les côtés d'un triangle rectangle (c'est-à-dire vérifient le théorème de Pythagore). Vérifier le résultat en évaluant les polynômes pour $x = 4$.

Une start-up estime que ses recettes mensuelles suivent le polynôme $I(x) = -2x^3 + 75x^2$ et que ses coûts de fonctionnement sont $C(x) = 15x^2 + 400x$, où $x$ est le nombre de mois écoulés depuis sa création.

Déterminer le polynôme bénéfice $B(x)$. Sachant qu'au mois $x = 10$ le bénéfice est exactement nul (seuil de rentabilité), factoriser le polynôme $B(x)$ pour déterminer à quel autre mois le bénéfice s'annule de nouveau.

Effectuer les calculs et simplifier l'expression littérale suivante, en factorisant le résultat final si possible :

$\frac{(2x - y)^3 - (2x + y)^3}{-2y}$

Évaluer ensuite le polynôme obtenu pour $x = 2$ et $y = -1$.

Déterminer les valeurs des coefficients $m$ et $n$ pour que la division du polynôme $D(x) = 4x^4 - 2x^3 + mx^2 + nx - 5$ par le diviseur $d(x) = 2x^2 - x + 3$ soit exacte.

Un réservoir d'eau a la forme d'un cylindre de rayon de base $(x + 2)$ mètres et de hauteur $(2x - 1)$ mètres. On y immerge un bloc cubique plein d'arête $x$ mètres. Exprimer par un polynôme ordonné le volume d'eau nécessaire pour remplir l'espace libre du réservoir. Laisser la constante $\pi$ indiquée dans les coefficients qui l'exigent.

Un polynôme $P(x)$ de degré 3 a pour racines $x = 1$, $x = -2$ et $x = 4$. Sachant de plus que la valeur du polynôme pour $x = 0$ est égale à $16$, déterminer l'expression développée de $P(x)$ (c'est-à-dire sous la forme $ax^3 + bx^2 + cx + d$).

Un polynôme $P(x)$ de degré 3 a pour coefficient dominant $3$. On connaît les données suivantes sur ses divisions :

• Il est divisible exactement par $(x - 2)$ et par $(x + 1)$.

• Lorsqu'on divise $P(x)$ par $(x - 1)$, le reste obtenu est $12$.

1. a) En utilisant le théorème du reste et la relation fondamentale entre diviseurs, facteurs et racines, écrire la forme factorisée de $P(x)$ en fonction d'une seule racine inconnue $c$, en justifiant pourquoi il n'est pas nécessaire de poser un système de quatre équations linéaires à quatre inconnues.
2. b) Déterminer la valeur exacte de la racine $c$ à partir du reste de la division par $(x - 1)$.
3. c) Écrire l'expression développée de $P(x)$ sous la forme $ax^3 + bx^2 + cx + d$ puis, en appliquant la méthode de Horner (division par $(x + 2)$), calculer le reste de la division de ce polynôme, en vérifiant qu'il coïncide avec la valeur $P(-2)$.

Dans une coopérative d'irrigants de la Beauce, on installe un système automatisé de pompage solaire. Le coût de maintenance annuel (en euros) est modélisé par le polynôme $C(x) = 2x^4 - 3x^3 + 5x^2 - 8$, où $x$ représente le nombre de secteurs de pompage actifs ($x \ge 2$). Ce coût est réparti à parts égales entre les secteurs d'irrigation, dont le nombre est donné par $S(x) = x - 2$.

1. a) Utiliser la méthode de Horner pour calculer le polynôme $Q(x)$ qui représente le coût annuel par secteur et le coût résiduel $R$ qui reste dans le fonds de réserve de la coopérative sans être affecté. Penser à compléter tous les degrés dans le tableau et écrire la relation $C(x) = S(x)\cdot Q(x) + R$.
2. b) Un agriculteur affirme que si l'on étend le réseau à davantage de secteurs (en faisant croître la valeur de $x$), le montant du fonds de réserve $R$ augmentera parce que l'installation est plus grande. Réfuter son affirmation en utilisant la définition de la division euclidienne de polynômes et le théorème du reste, en expliquant quel degré doit nécessairement avoir $R(x)$.
3. c) La coopérative reçoit une subvention du Plan de modernisation des irrigations qui réduit le coût total selon l'expression $A(x) = x^4 - (x^2 - 1)^2$. Simplifier le polynôme de la subvention $A(x)$ à l'aide des identités remarquables et en déduire le nouveau reste non réparti $R_{\text{nouveau}}$ après application de l'aide, en justifiant le calcul par le théorème du reste sans refaire tout le tableau de Horner.