Exercices: Nombres irrationnels

Classer les nombres suivants en indiquant lesquels appartiennent à l'ensemble des nombres irrationnels et lesquels n'y appartiennent pas. Justifier la réponse à partir de leur écriture décimale :

1. a) $3,14159$
2. b) $\sqrt{7}$
3. c) $\frac{22}{7}$
4. d) $1,1010010001...$
5. e) $\sqrt{25}$

Déterminer si les affirmations suivantes sont vraies ou fausses.

1. a) Tous les nombres décimaux à infinité de chiffres sont irrationnels.
2. b) La racine carrée de tout entier naturel est un nombre irrationnel.
3. c) Le nombre $\pi$ peut s'écrire exactement sous forme de fraction.
4. d) La somme d'un nombre rationnel et d'un nombre irrationnel est toujours irrationnelle.

Pour représenter le nombre irrationnel $\sqrt{13}$ sur la droite numérique à l'aide du théorème de Pythagore, il faut trouver deux entiers dont la somme des carrés vaut $13$. Indiquer quels sont ces deux nombres et décrire mentalement comment vous construiriez le triangle rectangle.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Donner la troncature et l'arrondi du nombre irrationnel $\sqrt{11} = 3,31662479...$ au centième et au millième. Organiser les résultats dans un tableau.

Identifier quel motif suivent les chiffres décimaux du nombre suivant et expliquer pourquoi il est considéré comme un nombre irrationnel :

$x = 0,12345678910111213...$

Le nombre d'or, représenté par la lettre grecque $\Phi$ (phi), a pour valeur exacte $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Utiliser la calculatrice pour trouver son écriture décimale et écrire les six premières décimales. S'agit-il d'un nombre rationnel ou irrationnel ?

Calculer le résultat des opérations suivantes et classer le résultat final comme rationnel ou irrationnel :

1. a) $\sqrt{2} \cdot \sqrt{8}$
2. b) $\sqrt{3} + \sqrt{3}$
3. c) $(\sqrt{5})^2$
4. d) $\pi - \pi$

Ranger du plus petit au plus grand les nombres réels suivants. Pour cela, vous pouvez vous aider de leurs valeurs approchées décimales :

$3,14$ , $\pi$ , $\sqrt{10}$ , $\frac{22}{7}$ , $3,1416$

Lors d'un débat en classe sur la classification des nombres décimaux, Charles affirme avec assurance :

« Le nombre $x = 0,202002000200002\ldots$ a une règle de formation très claire : on ajoute chaque fois un zéro de plus entre les deux. Comme il suit un motif régulier et totalement prévisible, c'est un nombre décimal périodique et donc il peut s'écrire sous forme de fraction irréductible, ce qui démontre qu'il appartient à $\mathbb{Q}$ ».

1. a) Repérer l'erreur conceptuelle dans l'affirmation de Charles et expliquer pourquoi il confond un motif de formation avec la périodicité décimale.
2. b) Classer en justifiant le nombre $x$ comme rationnel ou irrationnel, à partir de la définition de nombre irrationnel donnée dans le cours.
3. c) Écrire l'écriture décimale d'un nombre n'utilisant que les chiffres $0$ et $2$, mais qui soit bien un nombre rationnel périodique pur, en indiquant clairement sa période et son écriture fractionnaire irréductible.

Le cours indique qu'opérer avec des nombres irrationnels ne donne pas toujours un nombre irrationnel. Concevoir les nombres demandés dans chaque cas en justifiant la réponse par un calcul explicite :

1. a) Écrire deux nombres irrationnels distincts, $a$ et $b$, de sorte que leur somme $a + b$ soit un entier et que leur produit $a \cdot b$ soit aussi un nombre rationnel. (Indice : utiliser des expressions conjuguées avec des radicaux.)
2. b) Écrire deux nombres irrationnels positifs, $c$ et $d$, tels que leur produit $c \cdot d$ soit un nombre rationnel, mais que leur quotient $\frac{c}{d}$ soit un nombre irrationnel.
3. c) Démontrer que votre choix à la question b vérifie les deux conditions en simplifiant les radicaux étape par étape.

Un terrain de football mesure $100$ m de long sur $50$ m de large. L'équipe d'entretien doit poser un tuyau d'arrosage qui traverse le terrain en diagonale. Calculer la longueur exacte du tuyau à l'aide de radicaux. Cette longueur est-elle un nombre rationnel ou irrationnel ? Donner une valeur approchée à deux décimales pour savoir combien de mètres de tuyau il faut acheter.

Le nombre d'or est souvent utilisé en art et en architecture. Un cadre de tableau a été conçu comme un « rectangle d'or ». Si le petit côté du cadre mesure $20$ cm, le grand côté doit mesurer $20 \cdot \Phi$ cm, avec $\Phi = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$. Calculer la longueur exacte du grand côté et sa valeur approchée en centimètres arrondie au dixième.

La période $T$ (en secondes) d'un pendule simple, c'est-à-dire le temps qu'il met à effectuer une oscillation complète, se calcule avec la formule $T = 2\pi\sqrt{\frac{L}{g}}$, où $L$ est la longueur du fil en mètres et $g$ est l'accélération de la pesanteur ($9,8$ m/s$^2$). Calculer la période exacte d'un pendule de $9,8$ mètres de longueur. Le résultat est-il un nombre rationnel ou irrationnel ?

Observer la représentation graphique suivante sur la droite numérique. Un triangle rectangle a été construit en s'appuyant sur l'axe horizontal.

Calculer la valeur exacte de l'hypoténuse $h$. Quel nombre irrationnel représente le point rouge $X$ sur la droite numérique ?

Dans une usine de pièces mécaniques, on doit découper une plaque circulaire dont le rayon mesure exactement $40$ cm. Le tour automatique nécessite que l'on saisisse le périmètre du cercle pour réaliser la découpe.

1. a) Quel est le périmètre exact de la pièce ?
2. b) Si l'opérateur saisit la valeur approchée en utilisant $\pi = 3,14$, quelle est l'erreur absolue commise par rapport à la valeur réelle (en utilisant toutes les décimales de $\pi$ de la calculatrice) ?

Au baseball, les bases forment un carré parfait de $90$ pieds de côté ($27,43$ mètres). Lorsque le receveur lance la balle depuis le « home » (départ) jusqu'à la deuxième base pour empêcher un vol, la balle traverse le terrain en diagonale. Calculer la distance exacte en mètres parcourue par la balle. Est-ce une quantité rationnelle ou irrationnelle ?

Une entreprise de technologie conçoit un nouvel écran de télévision. Elle veut que le rapport entre la largeur et la hauteur soit exactement $\sqrt{2}$ afin que, en coupant l'écran en deux, les deux rectangles obtenus conservent la même proportion (comme pour les feuilles de format A4). Si la hauteur de l'écran est de $50$ cm, quelle doit être sa largeur exacte ? Donner une valeur approchée au millimètre.

Pour construire un rayon de ruche artificiel, un apiculteur conçoit des alvéoles en forme d'hexagone régulier. Sachant que l'aire d'un hexagone régulier de côté $L$ se calcule avec la formule $A = \frac{3\sqrt{3}}{2} L^2$, calculer l'aire exacte d'une alvéole si son côté mesure $4$ mm. S'agit-il d'un nombre rationnel ou irrationnel ?

Considérer le nombre réel $\alpha = 3\sqrt{5} - 2$.

1. a) Estimer : Sans calculatrice et sans chercher les décimales par tâtonnement, déterminer de façon argumentée entre quels deux entiers consécutifs se situe exactement $\alpha$. Pour cela, transformer d'abord $\alpha$ en $\sqrt{45} - 2$, encadrer la valeur de $\sqrt{45}$ en identifiant les deux carrés parfaits les plus proches et appliquer les opérations correspondantes aux extrémités de l'inégalité.
2. b) Vérifier : Utiliser la calculatrice pour obtenir la valeur approchée de $\alpha$ à deux décimales et vérifier si votre encadrement entier de la question précédente était correct.
3. c) Raisonner : Démontrer que $\alpha$ est un nombre irrationnel sachant que $\sqrt{5}$ l'est. (Indice : utiliser un bref raisonnement par l'absurde : supposer que $\alpha = \frac{p}{q}$ avec $p, q \in \mathbb{Z}$ et $q \neq 0$, et exprimer $\sqrt{5}$ pour aboutir à une contradiction.)

Météo-France va installer une station de surveillance dans le parc national des Écrins. La tour principale a une hauteur verticale de $12\text{ m}$ et doit être maintenue par des câbles tendeurs ancrés dans le sol à $5\text{ m}$ de sa base. De plus, pour un mât secondaire de $8\text{ m}$ de hauteur, un hauban sera ancré à $4\text{ m}$ de sa base.

1. a) Modéliser la situation en calculant la longueur exacte du câble tendeur de la tour principale ($L_1$) et celle du mât secondaire ($L_2$) à l'aide du théorème de Pythagore. Exprimer les deux résultats de façon exacte (avec des radicaux simplifiés au maximum).
2. b) Classer $L_1$ et $L_2$ en indiquant s'ils appartiennent à $\mathbb{Q}$ ou à $\mathbb{I}$. Justifier la réponse en analysant si les radicandes obtenus sont ou non des carrés parfaits à partir de leur décomposition en facteurs premiers.
3. c) Si l'équipe dispose d'un rouleau de câble d'acier de $40\text{ m}$ pour couper 4 haubans identiques de longueur $L_2$, combien de mètres de câble restera-t-il sur le rouleau après les avoir coupés ? Arrondir la longueur de chaque hauban à deux décimales pour répondre.

Dans la conception d'un logo, on utilise un triangle équilatéral inscrit dans un cercle de rayon $R = 10$ cm, comme le montre la figure.

Sachant que, dans un triangle équilatéral, le rayon $R$ est le double de l'apothème $a$, calculer la valeur exacte de l'apothème $a$. Utiliser ensuite le théorème de Pythagore pour trouver la longueur exacte du côté $L$. Démontrer que le périmètre du triangle est un nombre irrationnel.

On veut clôturer une parcelle circulaire de $100$ m$^2$ d'aire et une parcelle carrée qui a aussi $100$ m$^2$ d'aire.

1. a) Calculer le périmètre exact des deux parcelles. (Rappel : l'aire du disque est $A = \pi r^2$.)
2. b) Si la clôture coûte $15$ € le mètre, quelle parcelle sera la moins chère à clôturer ? Utiliser toutes les décimales de la calculatrice pour donner le coût exact en euros de chacune.

Observer le cube d'arête $a = 5$ cm ci-dessous. La diagonale d'une de ses faces est notée $d$, et la grande diagonale qui traverse le cube à l'intérieur est notée $D$.

Calculer la valeur exacte de la diagonale de la base ($d$) puis, en l'utilisant comme côté de l'angle droit avec la hauteur du cube, calculer la longueur exacte de la grande diagonale ($D$). Est-il possible que, dans un cube d'arête entière, sa grande diagonale soit un nombre rationnel ?

En classe de mathématiques, le professeur propose le défi suivant : « Si l'on ajoute un nombre irrationnel à un autre nombre irrationnel, le résultat est-il toujours irrationnel ? ».

Trouver deux nombres irrationnels distincts dont la somme est un entier et démontrer par des calculs algébriques simples que c'est possible.

La célèbre « spirale de Théodore » se construit en dessinant des triangles rectangles contigus. Le premier a des côtés de l'angle droit de longueur $1$. L'hypoténuse de ce triangle sert de côté de l'angle droit au suivant, dont l'autre côté de l'angle droit mesure de nouveau $1$, et ainsi de suite.

Calculer la valeur exacte des hypoténuses $h_1$, $h_2$ et $h_3$. En suivant cette logique, quelle sera la valeur exacte de l'hypoténuse $h_8$ du huitième triangle ? Est-elle rationnelle ou irrationnelle ?

Lors d'un TP de laboratoire, la quantité de produit obtenu dans une réaction chimique, en milligrammes, suit la formule $P = 2 \cdot e^t$, où $t$ est le temps en heures et $e$ est le nombre irrationnel d'Euler ($e \approx 2,71828$).

Calculer la quantité estimée au bout de $3$ heures en utilisant la valeur de $e$ de la calculatrice. Si, par erreur, un élève a utilisé l'approximation $e = 2,7$, quelle sera la différence en milligrammes par rapport au calcul le plus précis ?

Sachant que l'aire d'un disque est $A = \pi \cdot r^2$, imaginer que l'on veuille construire un carré ayant exactement la même aire qu'un disque de rayon $10$ cm. (C'est l'ancien problème mathématique de la quadrature du cercle.)

Déterminer l'expression exacte de la longueur du côté de ce carré. Est-il possible de mesurer exactement ce côté avec une règle graduée en millimètres dans le monde réel ? Justifier la réponse.

Considérer la suite de chiffres formée en écrivant des zéros et des uns de la manière suivante : on commence par un $0,1$, puis on ajoute un $0$ et un $1$, puis deux $0$ et un $1$, puis trois $0$ et un $1$, et ainsi de suite indéfiniment.

Le nombre obtenu est $N = 0,101001000100001...$

Analyser la structure de ce nombre et justifier de façon argumentée pourquoi $N$ appartient à l'ensemble des nombres irrationnels et ne peut pas s'écrire sous la forme d'une fraction $\frac{a}{b}$.

Pour représenter de façon exacte sur la droite graduée le nombre irrationnel $\sqrt{13}$ à la règle et au compas, trois élèves proposent des méthodes différentes fondées sur le théorème de Pythagore :

• Méthode A (spirale de Théodore) : partir d'un triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent $1$ et $1$ (hypoténuse $\sqrt{2}$), construire sur cette hypoténuse un côté perpendiculaire de longueur $1$ pour obtenir $\sqrt{3}$, et poursuivre ce processus de proche en proche jusqu'à atteindre $\sqrt{13}$.

• Méthode B (somme directe de deux carrés) : chercher deux carrés parfaits dont la somme est $13$ ($13 = 3^2 + 2^2$) et tracer sur les axes un unique triangle rectangle dont les côtés de l'angle droit mesurent $3$ et $2$.

• Méthode C (différence de carrés) : chercher une hypoténuse entière $c$ et un côté de l'angle droit entier $a$ tels que $c^2 - a^2 = 13$ (par exemple, $7^2 - 6^2 = 49 - 36 = 13$) et tracer ce triangle rectangle.

1. a) Comparer les trois méthodes en évaluant leur rapidité et le risque d'accumuler des erreurs de tracé géométrique sur le cahier. Justifier laquelle est la plus efficace et la plus précise.
2. b) Expliquer pas à pas comment on utilise le compas dans la méthode B pour placer avec une exactitude totale le nombre $\sqrt{13}$ sur la droite graduée des nombres réels.
3. c) Peut-on toujours appliquer la méthode B à toute racine $\sqrt{n}$ avec $n \in \mathbb{N}$ qui n'est pas un carré parfait ? Justifier la réponse en trouvant un contre-exemple d'un entier naturel $n < 10$ qui ne peut pas s'écrire comme somme de deux carrés d'entiers strictement positifs, et expliquer comment on représenterait ce cas particulier de façon exacte.

Hugo veut tester la solidité de la démonstration par l'absurde de l'irrationalité de $\sqrt{2}$ vue en classe. Pour cela, il affirme :

« Si la démonstration est valable pour $\sqrt{2}$, je peux utiliser les mêmes étapes pour démontrer que $\sqrt{4}$ est aussi irrationnel. Comme la démonstration aboutit à une contradiction, $\sqrt{4}$ devrait être irrationnel ! »

Hugo écrit son raisonnement au tableau :

1. Supposons par l'absurde que $\sqrt{4}$ est rationnel, c'est-à-dire $\sqrt{4} = \dfrac{a}{b}$ avec $a, b \in \mathbb{Z}$, $b \neq 0$ et avec $\dfrac{a}{b}$ fraction irréductible (sans facteur commun).

2. En élevant au carré : $4 = \dfrac{a^2}{b^2} \Rightarrow a^2 = 4b^2$.

3. Comme $a^2$ est un multiple de $4$, alors $a$ est nécessairement un multiple de $4$. Donc $a = 4k$ pour un certain entier $k$.

4. En remplaçant : $(4k)^2 = 4b^2 \Rightarrow 16k^2 = 4b^2 \Rightarrow b^2 = 4k^2$.

5. Par le même argument qu'à l'étape 3, $b^2$ est un multiple de $4$, donc $b$ doit aussi être un multiple de $4$.

6. Donc $a$ et $b$ ont le facteur commun $4$, ce qui contredit le fait que $\dfrac{a}{b}$ soit irréductible. Conclusion : $\sqrt{4}$ est irrationnel.

1. a) Nous savons tous que $\sqrt{4} = 2 \in \mathbb{N} \subset \mathbb{Q}$. Identifier l'étape exacte où Hugo commet une erreur logique et mathématique fondamentale. Justifier pourquoi son affirmation à cette étape est fausse en donnant un contre-exemple numérique concret avec un entier naturel.
2. b) Expliquer avec rigueur pourquoi, dans la démonstration pour $\sqrt{2}$, l'étape analogue (« si $a^2$ est pair, alors $a$ est pair ») est vraie, alors qu'avec le nombre $4$ elle ne fonctionne pas. Quelle propriété arithmétique portant sur les facteurs premiers distingue $2$ de $4$ ?
3. c) En corrigeant le raisonnement de Hugo, déterminer quelle divisibilité réelle on peut déduire pour $a$ à partir de l'égalité $a^2 = 4b^2$, montrer ce qui se passe lorsqu'on remplace dans l'équation et expliquer pourquoi la prétendue contradiction disparaît complètement.