Exercices: Droites parallèles aux axes

Écrire l'équation de la droite parallèle à l'axe des abscisses (axe $X$) passant par le point $A(3 ; -5)$.

Écrire l'équation de la droite parallèle à l'axe des ordonnées (axe $Y$) passant par le point $B(-2 ; 7)$.

Une droite passe par les points $P(4 ; 2)$ et $Q(-3 ; 2)$. Est-elle parallèle à l'un des axes ? Écrire son équation.

Marc doit déterminer, lors d'un contrôle, l'équation de la droite passant par les points $A(5 ; -2)$ et $B(5 ; 7)$. Sur sa copie, il écrit :

« Je calcule le coefficient directeur : $m = \frac{7 - (-2)}{5 - 5} = \frac{9}{0} = 0$. Comme le coefficient directeur est $0$, la droite est horizontale et son équation est $y = 5$, car la première coordonnée des deux points vaut $5$ ».

1. a) Identifier les deux erreurs conceptuelles commises par Marc (l'une sur l'opération effectuée et l'autre sur le lien entre les coordonnées et l'orientation de la droite).
2. b) Expliquer comment on déduit l'équation correcte en observant directement les coordonnées de $A$ et $B$, et écrire cette équation.

Concevoir trois points du plan muni d'un repère, appelés $A$, $B$ et $C$, vérifiant simultanément les trois conditions suivantes :

1. La droite passant par $A$ et $B$ est parallèle à l'axe $X$.

2. La droite passant par $B$ et $C$ est parallèle à l'axe $Y$.

3. Le point d'intersection des deux droites est $B(-3 ; 4)$ et la distance entre le point $A$ et le point $B$ est de $6$ unités.

Écrire toutes les coordonnées possibles pour le point $A$, proposer des coordonnées valables pour le point $C$ et écrire l'équation de chacune des deux droites ainsi déterminées.

La tête d'une imprimante 3D doit tracer une ligne de soutien horizontale à une distance constante de $15\text{ mm}$ de l'origine sur l'axe $Y$. Écrire les équations paramétriques et l'équation cartésienne de cette droite.

Déterminer la valeur de $k$ pour que la droite d'équation cartésienne $kx + 3y - 6 = 0$ soit parallèle à l'axe $X$. Écrire l'équation obtenue.

Sur un terrain de football, on représente le centre du terrain par l'origine du repère $(0\,;\,0)$. Si le terrain mesure $100\text{ m}$ de long (sur l'axe $X$) et $60\text{ m}$ de large (sur l'axe $Y$), écrire les équations des quatre droites qui délimitent l'aire de jeu.

Pour déterminer l'équation de la droite passant par les points $P(-7 ; 3)$ et $Q(5 ; 3)$, deux élèves de seconde proposent des stratégies différentes :

• Alice dit : « J'applique la formule de la droite passant par deux points : $\frac{x - x_1}{x_2 - x_1} = \frac{y - y_1}{y_2 - y_1}$, je remplace par les coordonnées et je fais le produit en croix pour isoler l'inconnue ».

• Bruno dit : « Pas besoin de calculer : je remarque que l'ordonnée des deux points est la même ($y = 3$), donc la droite ne monte ni ne descend, elle est horizontale et son équation est directement $y = 3$ ».

1. a) Justifier pourquoi le raisonnement de Bruno est correct et expliquer quel inconvénient algébrique rencontrerait Alice si elle voulait appliquer sa formule à une droite verticale comme celle qui relie $R(2 ; -1)$ et $S(2 ; 8)$.
2. b) À la lumière de ce qui précède, argumenter pour dire laquelle des deux approches est la plus sûre et la plus efficace pour identifier les droites parallèles aux axes.

L'Institut de physique du globe établit un périmètre de sécurité rectangulaire autour d'une zone volcanique sur une île. On prend une station de surveillance comme origine du repère $(0 ; 0)$, les distances étant mesurées en kilomètres (axe $X$ vers l'est, axe $Y$ vers le nord). Les côtés du périmètre sont orientés exactement selon les points cardinaux, et deux de ses sommets opposés sont $V_1(-4 ; -2)$ et $V_2(3 ; 5)$.

1. a) Écrire l'équation de chacune des quatre droites qui forment les limites du périmètre, en indiquant à quel point cardinal (nord, sud, est ou ouest) chacune correspond.
2. b) Une patrouille de secours envoie sa position GPS depuis le point $P(-4 ; 1)$. Déterminer en justifiant si la patrouille se trouve à l'intérieur de la zone d'exclusion, à l'extérieur, ou exactement sur l'une de ses limites.

Lors du développement d'un jeu vidéo, l'écran a une résolution de $1920 \times 1080$ pixels. Si l'on place l'origine $(0,0)$ dans le coin inférieur gauche, écrire les équations des deux droites (l'une horizontale, l'autre verticale) qui divisent l'écran en quatre quadrants exactement égaux.

Un carré a son centre au point $C(3 ; 3)$ et ses côtés sont parallèles aux axes du repère. Si le côté du carré mesure $4\text{ u}$, écrire les équations des quatre droites qui contiennent ses côtés.

On considère les droites fixes $r: y = 6$, $s: y = 1$ et $t: x = 2$. On cherche une quatrième droite verticale $u: x = k$ (avec $k \neq 2$) telle que les quatre droites délimitent une région rectangulaire d'aire égale à $20\text{ unités d'aire}$.

1. a) Avant de calculer : observer la distance qui sépare les droites $r$ et $s$. Estimer mentalement quelle longueur doit avoir la base du rectangle et prédire combien de valeurs distinctes $k$ peut prendre, en indiquant de quels côtés de la droite $t$ elles se situeront.
2. b) Poser la relation mathématique entre l'aire, la hauteur fixe et la base en fonction du paramètre $k$. Résoudre l'équation pour déterminer les valeurs exactes de $k$ et écrire les équations des droites $u$ possibles.
3. c) Vérifier si les valeurs obtenues coïncident avec l'estimation faite précédemment et expliquer géométriquement la signification du fait qu'il y ait exactement deux solutions.

On considère la famille de droites donnée par l'équation cartésienne :

où $a$ et $b$ sont des paramètres réels constants.

1. a) Déterminer les valeurs numériques exactes de $a$ et $b$ pour que la droite soit parallèle à l'axe des abscisses (axe $X$) et passe par le point $P(7 ; -5)$. Écrire l'équation obtenue.
2. b) Étudier s'il est possible d'ajuster les paramètres $a$ et $b$ pour que la droite obtenue soit parallèle à l'axe des ordonnées (axe $Y$) et, de plus, soit exactement confondue avec l'axe $Y$. Justifier votre conclusion à partir des conditions algébriques que doivent vérifier les coefficients.