Exercices: Étudier une fonction

On considère une fonction dont la courbe est formée de deux tronçons continus :

• Le premier tronçon va du point $(-3 ; 2)$ (inclus) au point $(1 ; 4)$ (exclu) et présente un maximum local en $(-1 ; 5)$.

• Le second tronçon va du point $(1 ; -1)$ (inclus) au point $(8 ; 3)$ (inclus) et présente un minimum local en $(4 ; -2)$.

Déterminer son ensemble de définition et son ensemble image.

Calculer le taux de variation moyen (taux d'accroissement) de la fonction $f(x) = 2x^2 - 3x$ sur l'intervalle $[-1 ; 2]$.

Déterminer les points d'intersection de la courbe de la fonction $f(x) = \frac{3x - 6}{x + 2}$ avec les axes du repère.

Déterminer par le calcul si la fonction $f(x) = x^4 - 5x^2 + 3$ est paire, impaire ou ni paire ni impaire.

À partir de la courbe suivante, indiquer les intervalles de monotonie (croissance et décroissance) et les coordonnées de ses extremums locaux.

Déterminer l'ensemble de définition de la fonction irrationnelle $f(x) = \sqrt{2x - 8}$.

Étudier la continuité en $x = 1$ de la fonction définie par morceaux suivante :

$f(x) = \begin{cases} 2x + 1 & \text{si } x \leq 1 \\ 4 - x & \text{si } x > 1 \end{cases}$

Déterminer les équations de l'asymptote verticale et de l'asymptote horizontale de la fonction $f(x) = \frac{5}{x - 3} + 2$.

Marc doit déterminer les points d'intersection avec les axes de la fonction rationnelle $f(x) = \frac{x^2 - 4}{x - 2}$. Dans sa copie, il écrit la démarche suivante :

« 1. Intersection avec l'axe $Y$ : je calcule $f(0) = \frac{0^2 - 4}{0 - 2} = \frac{-4}{-2} = 2$, donc la courbe coupe l'axe au point $(0 ; 2)$.

1. Intersections avec l'axe $X$ : je résous $f(x) = 0 \implies x^2 - 4 = 0 \implies x = 2$ et $x = -2$. Donc la courbe coupe l'axe $X$ en deux points : $(2 ; 0)$ et $(-2 ; 0)$ ».

1. a) Repérer l'erreur conceptuelle commise par Marc : quelle étape fondamentale de la démarche d'étude d'une fonction a-t-il omise avant de chercher les intersections, et pourquoi cet oubli invalide-t-il l'une de ses conclusions ?
2. b) Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $f(x)$ et écrire la liste corrigée des points d'intersection qui existent réellement.
3. c) À partir de ce qui précède, justifier si, au point $x = 2$, il existe une asymptote verticale ou si la fonction présente un autre comportement, en simplifiant l'expression pour $x \neq 2$.

On considère la fonction rationnelle $f(x) = \frac{6x - 2}{2x + 1}$.

1. a) Avant tout calcul précis, faire une estimation : lorsque les valeurs de $x$ deviennent extrêmement grandes (par exemple $x$ proche d'un million), les termes constants ($-2$ et $+1$) n'influencent presque pas le résultat. En tenant compte de cela, vers quelle valeur numérique simple pensez-vous que les images $f(x)$ vont se rapprocher ? Quelle droite soupçonnez-vous d'être l'asymptote horizontale ?
2. b) Vérifier numériquement si l'estimation était correcte en calculant exactement les valeurs de $f(10)$, $f(100)$ et $f(1\,000)$ (arrondir à trois décimales si nécessaire).
3. c) À partir de ces vérifications, déduire l'équation de l'asymptote horizontale lorsque $x \to +\infty$ comme lorsque $x \to -\infty$, et expliquer quelle information visuelle cette asymptote apporte sur le tracé de la courbe aux extrémités du repère.

La courbe qui montre l'évolution du nombre de spectateurs hebdomadaires (en milliers) d'un film en cours de sortie en fonction du temps (en semaines) part du point $(0 ; 10)$, croît jusqu'à $(5 ; 80)$, reste constante entre la semaine $5$ et la semaine $7$, décroît jusqu'à $(10 ; 30)$ et reste constante entre la semaine $10$ et la semaine $12$, où elle se termine en $(12 ; 30)$. Étudier l'ensemble de définition et l'ensemble image dans le contexte du problème, et indiquer sur quels intervalles l'audience croît, décroît ou reste constante.

Déterminer l'ensemble de définition de la fonction rationnelle $f(x) = \frac{x - 1}{x^2 - 4x - 5}$.

Étudier la symétrie de la fonction $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$ et déterminer ses points d'intersection avec les axes du repère.

La position d'un objet en mouvement rectiligne est donnée par la fonction $e(t) = 5t^2 + 2t$, où $e$ est la distance en mètres et $t$ le temps en secondes. Calculer la vitesse moyenne (taux de variation moyen) sur les intervalles $[1 ; 3]$ et $[3 ; 5]$, et indiquer sur quel intervalle l'objet s'est déplacé le plus rapidement.

Exprimer la fonction avec valeur absolue $f(x) = |2x - 4|$ comme une fonction définie par morceaux et déterminer ses intervalles de croissance et de décroissance.

La variation du niveau d'un barrage $v$ (en mètres par rapport à son niveau moyen) en fonction du mois $x$ de l'année est donnée par la fonction $v(x) = -0,5x^2 + 10x - 18$. Déterminer en quel mois le niveau du barrage est le plus haut, à combien s'élève cet écart maximal par rapport au niveau moyen et pendant quels mois le barrage est exactement au niveau moyen ($v = 0$).

Déterminer les équations des asymptotes verticales et horizontales de la fonction $f(x) = \frac{3x + 1}{x - 2}$.

Décrire le comportement de la fonction $f(x) = \frac{2x^2}{x^2 + 1}$ en étudiant son ensemble de définition, ses points d'intersection avec les axes, sa symétrie et ses asymptotes horizontales et verticales.

D'après les relevés d'une station de Météo-France située sur un plateau lors d'une journée d'automne dégagée, la température $T$ (en degrés Celsius, °C) au cours des $24$ heures de la journée est modélisée par la fonction du second degré :

$T(t) = -0,05 \cdot (t - 15)^2 + 14$, où $t$ est le temps écoulé en heures depuis minuit ($0 \leq t \leq 24$).

1. a) Justifier quel est l'ensemble de définition de cette fonction compte tenu du contexte physique du problème.
2. b) Sans dériver, à partir de la forme canonique de la parabole, identifier en justifiant l'intervalle d'heures pendant lequel la température augmente, celui pendant lequel elle diminue et les coordonnées complètes $(t, T)$ de l'extremum (maximum de la journée).
3. c) Calculer le taux de variation moyen de la température dans la matinée entre $t = 7$ h et $t = 11$ h. Interpréter le sens réel du signe et des unités de la grandeur obtenue.
4. d) Poser et résoudre l'équation permettant de savoir si, à un moment de la journée, la température a atteint $0$ °C (points d'intersection avec l'axe des heures).

Pour étudier si la fonction rationnelle $g(x) = \frac{x^3}{x^2 - 9}$ présente une symétrie (paire, impaire ou aucune), trois élèves proposent des démarches différentes :

• Alba propose de le vérifier à l'aide de valeurs numériques : calculer des couples d'images de nombres opposés comme $g(1)$ et $g(-1)$, $g(2)$ et $g(-2)$, $g(4)$ et $g(-4)$, et regarder si elles sont égales ou opposées.

• Bruno propose d'appliquer la définition algébrique : remplacer $x$ par $-x$, calculer l'expression de $g(-x)$, la simplifier et la comparer directement à $g(x)$ et à $-g(x)$.

• Charles propose de décomposer la fonction : étudier séparément le fait que le numérateur est une fonction impaire et le dénominateur une fonction paire, et en déduire la symétrie globale grâce à une règle des signes analogue à celle de la multiplication et de la division des nombres.

1. a) Analyser avec esprit critique les trois méthodes : laquelle ou lesquelles constituent une démonstration valable pour tous les nombres de l'ensemble de définition, et laquelle ne sert que d'indice ou de vérification expérimentale ?
2. b) Appliquer la méthode algébrique de Bruno pour démontrer rigoureusement quelle symétrie possède $g(x)$.
3. c) Expliquer en détail comment le résultat sur la symétrie permet de réduire de moitié le travail pour étudier les asymptotes verticales et le signe de la fonction sur son ensemble de définition.

Étant donnée la fonction définie par morceaux suivante, étudier son ensemble de définition, sa continuité, ses points d'intersection avec les axes et son sens de variation :

$f(x) = \begin{cases} x^2 - 4 & \text{si } x < 0 \\ 2x - 4 & \text{si } 0 \leq x < 4 \\ 4 & \text{si } x \geq 4 \end{cases}$

Dans un triangle isocèle de base $12$ cm et de hauteur $10$ cm, on inscrit un rectangle dont la base $x$ repose sur la base du triangle, comme le montre la figure. Exprimer l'aire du rectangle en fonction de sa base $x$ et déterminer l'ensemble de définition de cette fonction dans le contexte géométrique du problème.

La fonction rationnelle $f(x) = \frac{ax + b}{x + c}$ passe par le point $(0\,;\,1)$, admet une asymptote verticale d'équation $x = 2$ et une asymptote horizontale d'équation $y = 3$. Poser un système d'équations et déterminer les valeurs des paramètres $a$, $b$ et $c$.

La concentration d'un médicament dans le sang d'un patient, en mg/L, $t$ heures après son administration est donnée par le modèle $C(t) = \frac{10t}{t^2 + 1}$. Calculer le taux de variation moyen durant la première heure (intervalle $[0, 1]$) et interpréter le résultat. De plus, déterminer en justifiant mathématiquement la tendance de la concentration du médicament à long terme (lorsque $t \to \infty$).

Esquisser sur votre cahier la courbe d'une fonction $f(x)$ vérifiant simultanément toutes les conditions suivantes :

• Son ensemble de définition est $\mathbb{R} \setminus \{-2, 2\}$.

• C'est une fonction impaire.

• Elle admet des asymptotes verticales d'équations $x = -2$ et $x = 2$, et une asymptote horizontale d'équation $y = 0$.

• Elle présente un maximum local au point $(-4\,;\,1)$ et un minimum local en $(4\,;\,-1)$.

• Elle passe par l'origine du repère.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo avec votre réponse.

À partir de la fonction du second degré $f(x) = x^2 - 4x$, obtenir l'expression de $g(x) = |x^2 - 4x|$ sous forme de fonction définie par morceaux. Se représenter mentalement la situation et déterminer les intervalles de concavité et de convexité de $g(x)$.

Un projectile est lancé vers le haut et suit une trajectoire décrite par la fonction $h(t) = -5t^2 + 20t + 25$, où $h$ est la hauteur en mètres et $t$ le temps en secondes depuis le lancement. Déterminer l'ensemble de définition de la fonction restreint à la durée réelle du vol (jusqu'à l'impact au sol), la hauteur de laquelle il a été lancé, la hauteur maximale atteinte et la durée totale du vol.

Démontrer analytiquement si la fonction $f(x) = \frac{x^3}{x^2 - 4}$ est paire, impaire ou ni l'un ni l'autre. Calculer ensuite ses points d'intersection avec les axes et déterminer les équations de ses asymptotes verticales et horizontales.

Déterminer l'expression d'une fonction rationnelle de la forme $f(x) = \frac{a \cdot x + b}{x - c}$, où $a$, $b$ et $c$ sont des nombres réels à déterminer, sachant qu'elle vérifie simultanément les trois conditions suivantes :

1. Sa courbe présente une asymptote verticale d'équation $x = 3$.

2. Elle coupe l'axe des abscisses ($X$) au point $(-2 ; 0)$.

3. Lorsque les valeurs de la variable croissent sans limite ($x \to +\infty$), les images se rapprochent de la droite horizontale d'équation $y = 4$.

1. a) Déduire pas à pas et en justifiant la valeur des coefficients $a$, $b$ et $c$. Vérifier que le numérateur de la fonction obtenue ne s'annule pas en $x = 3$.
2. b) Déterminer le point d'intersection de la courbe avec l'axe des ordonnées ($Y$).
3. c) Calculer le taux de variation moyen de la fonction sur les intervalles $[4 ; 5]$ et $[5 ; 8]$. Au vu de ces résultats et de l'asymptote verticale trouvée, déterminer en justifiant si la fonction peut posséder un maximum ou un minimum local dans l'intervalle $]3 ; +\infty[$ ou si son sens de variation y est constant.

Une coopérative agricole en France acquiert une nouvelle machine de conditionnement par location commerciale. La machine génère des coûts fixes mensuels de $1\,200$ € (assurance et loyer) et un coût variable de $25$ € par tonne de fruits traitée. La fonction qui exprime le coût moyen unitaire par tonne (en euros par tonne) lorsque $x$ tonnes sont traitées en un mois est :

$\bar{C}(x) = \frac{1\,200 + 25x}{x}$

1. a) Déterminer l'ensemble de définition de $\bar{C}(x)$ dans le contexte réel du problème et expliquer pourquoi les valeurs $x \leq 0$ n'ont pas de sens concret.
2. b) Étudier la tendance et l'asymptote verticale de la fonction lorsque la production devient très proche de zéro par la droite ($x \to 0^+$). Quelle interprétation économique donner au fait que la valeur de $\bar{C}(x)$ tend vers $+\infty$ lorsque l'on traite une quantité minuscule de fruits ?
3. c) Déterminer analytiquement l'asymptote horizontale de la fonction lorsque $x \to +\infty$. Justifier si la coopérative pourra un jour descendre son coût moyen sous $25$ € par tonne en augmentant indéfiniment le volume de production.
4. d) Démontrer que la fonction est strictement décroissante sur tout son ensemble de définition en prouvant que le taux de variation de $\bar{C}$ entre $a$ et $b$ vérifie $\frac{\bar{C}(b)-\bar{C}(a)}{b-a} = -\frac{1\,200}{ab} < 0$ pour tous $0 < a < b$ ; puis calculer le taux de variation moyen sur deux intervalles de même longueur mais d'échelle de production différente (par exemple $[10 ; 30]$ et $[100 ; 120]$) et interpréter la conclusion pratique que la direction de la coopérative doit en tirer sur l'amortissement des coûts fixes.