Exercices: Tableaux d'effectifs et de fréquences

Classer les variables statistiques suivantes en indiquant si elles sont qualitatives, quantitatives discrètes ou quantitatives continues :

• Couleur des yeux des élèves d'une classe.

• Nombre de buts marqués par une équipe de football au cours d'une saison.

• Temps mis par les coureurs pour terminer un marathon.

• Marque de téléphone portable des professeurs d'un lycée.

Un fleuriste a noté le nombre de roses vendues chacun des $15$ derniers jours et a obtenu les données brutes suivantes :

$12, 15, 12, 14, 15, 12, 13, 14, 15, 12, 14, 13, 15, 12, 14$

Construire le tableau des effectifs ($f_i$) et des fréquences ($h_i$) correspondant à cette variable.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Dans une étude sur le moyen de transport utilisé pour aller au travail, la fréquence des personnes interrogées qui utilisent le métro est $0,35$. Si l'étude a porté sur un total de $N = 400$ personnes, calculer l'effectif de ce groupe.

Étant donné le tableau d'effectifs suivant sur le nombre d'animaux de compagnie de $20$ familles, calculer et ajouter la colonne des effectifs cumulés ($F_i$).

• $x_i = 0 \implies f_i = 5$

• $x_i = 1 \implies f_i = 8$

• $x_i = 2 \implies f_i = 4$

• $x_i = 3 \implies f_i = 3$

Une mairie veut connaître l'opinion de ses $50\,000$ habitants sur la construction d'un nouveau parc urbain. Pour cela, elle réalise une enquête téléphonique auprès de $1\,200$ résidents choisis au hasard. Identifier clairement quelle est la population, quel est l'échantillon, qui est l'individu et quelle est la taille de l'échantillon.

Le tableau suivant donne les fréquences ($h_i$) du nombre de frères et sœurs des élèves d'un collège. Calculer les fréquences cumulées ($H_i$) et les exprimer aussi en pourcentage cumulé ($P_i$).

• $x_i = 0 \implies h_i = 0,25$

• $x_i = 1 \implies h_i = 0,45$

• $x_i = 2 \implies h_i = 0,20$

• $x_i = 3 \text{ ou plus} \implies h_i = 0,10$

Un élève a construit un tableau de fréquences pour les notes d'un contrôle et a obtenu les valeurs suivantes pour les différentes notes : $0,15$ ; $0,25$ ; $0,35$ ; $0,30$. Sans connaître le nombre total d'élèves, expliquer pourquoi on peut affirmer avec certitude que l'élève a commis une erreur dans ses calculs.

Compléter le tableau d'effectifs et de fréquences suivant sachant que l'effectif total est $N=50$.

• $x_i = 1 \implies f_i = 10$

• $x_i = 2 \implies f_i = x$

• $x_i = 3 \implies f_i = 15$

• $x_i = 4 \implies f_i = 5$

Calculer la valeur de l'inconnue $x$ et déterminer la fréquence de la valeur $x_i = 2$.

Lucie a réalisé une enquête auprès des $40$ élèves de sa classe sur le nombre de livres lus au cours du dernier trimestre. En présentant son tableau d'effectifs en classe, elle commet deux erreurs notables dans sa feuille de calcul :

• Sur la ligne de la valeur $x_2 = 1$ livre, dont l'effectif est $f_2 = 14$ et l'effectif cumulé est $F_2 = 22$, elle écrit comme fréquence cumulée $H_2 = \frac{14}{40} = 0,35$.

• Au bas de la colonne des effectifs cumulés ($F_i$), elle additionne toutes les valeurs des lignes ($8 + 22 + 33 + 38 + 40 = 141$) et écrit en dessous : « Total cumulé $= 141$ personnes interrogées ».

Identifier en détail les deux erreurs conceptuelles commises par Lucie, expliquer pourquoi son raisonnement est incorrect et calculer les valeurs numériques correctes qui devraient remplacer ses inscriptions.

Dans un lycée, on réalise une étude auprès de $200$ élèves de seconde sur le principal moyen de transport qu'ils utilisent pour venir en cours. Le dénombrement donne les données suivantes : À pied ($f_1 = 96$), Autobus ($f_2 = 54$), Vélo/Trottinette ($f_3 = 36$) et Voiture particulière ($f_4 = 14$).

1. a) Sans faire de longues divisions ni utiliser la calculatrice, faire une estimation mentale rapide du pourcentage ($p_i$) que représente chaque mode, en profitant du fait que la taille totale de l'échantillon est $N = 200$. Expliquer en une phrase le raisonnement ou la stratégie mentale suivie pour les estimer.
2. b) Calculer ensuite les valeurs exactes des fréquences ($h_i$) et des pourcentages ($p_i$) pour chaque moyen de transport.
3. c) Comparer vos estimations avec les valeurs calculées et vérifier si la somme des fréquences et celle des pourcentages satisfont les propriétés fondamentales exigées de tout tableau de fréquences.

Regrouper les masses suivantes (en kg) de $20$ colis d'une entreprise de messagerie en $4$ classes de même amplitude, en commençant à $2,0$ kg et en terminant à $10,0$ kg. Construire le tableau d'effectifs en indiquant les classes, les centres de classe ($x_i$) et les effectifs ($f_i$).

Données : $2,5$ ; $3,1$ ; $4,8$ ; $5,2$ ; $2,9$ ; $6,5$ ; $7,4$ ; $8,8$ ; $9,1$ ; $4,5$ ; $5,5$ ; $6,2$ ; $3,8$ ; $7,1$ ; $8,2$ ; $9,5$ ; $4,2$ ; $5,9$ ; $6,8$ ; $7,7$.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Compléter le tableau d'effectifs et de fréquences suivant, dans lequel certaines données manquent. On sait que la taille de l'échantillon est $N = 40$.

• $x_i = 10 \implies f_i = 8$, $F_i = 8$, $h_i = 0,20$

• $x_i = 20 \implies f_i = ?$, $F_i = 20$, $h_i = ?$

• $x_i = 30 \implies f_i = 14$, $F_i = ?$, $h_i = ?$

• $x_i = 40 \implies f_i = ?$, $F_i = 40$, $h_i = 0,15$

Le diagramme en barres suivant montre le nombre de livres lus pendant l'été par un groupe d'élèves. À partir des informations du graphique, construire le tableau complet en indiquant les effectifs ($f_i$), les fréquences ($h_i$) et les pourcentages ($p_i$).

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Dans une étude bivariée, on a demandé à $10$ personnes leur pointure ($X$) et leur nombre de frères et sœurs ($Y$). Les couples $(X ; Y)$ obtenus sont les suivants :

$(38 ; 1), (40 ; 2), (39 ; 1), (40 ; 1), (38 ; 2), (41 ; 0), (39 ; 2), (40 ; 1), (41 ; 1), (39 ; 1)$

Construire le tableau à double entrée des effectifs pour ces deux variables.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

À partir du tableau à double entrée suivant, extraire le tableau de la distribution marginale de la variable $X$ (pointure), en indiquant ses effectifs ($f_i$) et ses fréquences ($h_i$) :

Une entreprise classe le salaire mensuel de ses employés par classes. Sachant que $15\%$ gagnent entre $1000$ et $1500$ euros, $45\%$ gagnent entre $1500$ et $2000$ euros, $30\%$ gagnent entre $2000$ et $2500$ euros, et que les $12$ employés restants gagnent entre $2500$ et $3000$ euros.

Calculer le nombre total d'employés de l'entreprise et construire le tableau complet des effectifs pour les salaires.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

En analysant les notes d'un contrôle de mathématiques noté sur $10$, on observe que la fréquence cumulée jusqu'à la note $6$ (incluse) est de $H_6 = 0,65$. S'il y a $80$ élèves au total dans la classe, combien d'élèves ont obtenu une note strictement supérieure à $6$ ? Quel pourcentage cela représente-t-il par rapport à l'ensemble de la classe ?

On dispose d'un ensemble de $150$ données continues sur la durée de vie (en heures) de certaines batteries industrielles. Utiliser la règle empirique de la racine carrée ($\sqrt{N}$) pour déterminer le nombre approximatif de classes recommandé. Si la valeur minimale enregistrée est $12$ heures et la valeur maximale $87$ heures, calculer l'amplitude que devrait avoir chaque classe (en arrondissant à l'entier supérieur) et écrire quelles seraient ces classes en partant de la valeur minimale.

Lors d'une enquête de satisfaction sur une application éducative, $50$ utilisateurs ont attribué une note entière de $1$ à $5$ ($x_i \in \{1, 2, 3, 4, 5\}$). Le responsable de la rédaction du rapport a perdu la liste des réponses d'origine, mais conserve les notes suivantes dans son cahier de travail :

• $10\,\%$ des utilisateurs ont donné la note de $1$ étoile.

• La fréquence de la note de $2$ étoiles est $h_2 = 0,24$.

• L'effectif cumulé jusqu'à $4$ étoiles inclus est $F_4 = 41$.

• Le nombre de personnes ayant donné $3$ étoiles est exactement le double du nombre de personnes ayant donné $4$ étoiles ($f_3 = 2 \cdot f_4$).

À partir de ces conditions, reconstituer de façon raisonnée le tableau complet des effectifs et des fréquences, en déduisant étape par étape la valeur de chaque effectif ($f_i$) et de chaque effectif cumulé ($F_i$).

Une station météorologique de Météo-France dans une région agricole a enregistré pendant $25$ jours de printemps le nombre d'heures d'ensoleillement quotidien (rayonnement solaire direct) :

$3,2$ ; $5,8$ ; $7,1$ ; $4,5$ ; $8,4$ ; $6,0$ ; $9,2$ ; $5,1$ ; $7,8$ ; $10,4$ ; $4,0$ ; $6,6$ ; $8,1$ ; $7,4$ ; $5,5$ ; $9,8$ ; $6,9$ ; $8,7$ ; $7,0$ ; $11,1$ ; $4,8$ ; $6,3$ ; $8,9$ ; $7,6$ ; $10,0$.

1. a) En suivant le critère habituel pour les données continues, déterminer le nombre de classes recommandé ($k \approx \sqrt{N}$) et calculer l'amplitude constante $c$ nécessaire si l'on fixe comme borne inférieure initiale $3,0$ heures et une amplitude exacte de $1,7$ heures par classe.
2. b) Construire le tableau des données regroupées en classes semi-ouvertes $[a\,;\,b[$, en indiquant le centre de classe ($x_i$), l'effectif ($f_i$), la fréquence ($h_i$) et la fréquence cumulée ($H_i$) de chaque classe.
3. c) À partir du tableau obtenu, déterminer pour quel pourcentage des jours étudiés l'ensoleillement a été strictement inférieur à $8,1$ heures et expliquer brièvement l'utilité des centres de classe pour résumer une information continue.

Un tableau d'effectifs comporte $4$ valeurs distinctes : $x_1, x_2, x_3, x_4$. On sait que les effectifs dépendent d'une inconnue $x$ de la façon suivante :

$f_1 = 2x$, $f_2 = x + 5$, $f_3 = 3x - 2$ et $f_4 = 5x$.

Si la fréquence cumulée de la troisième valeur est $H_3 = 0,60$, poser une équation, déterminer la valeur de $x$ et reconstituer la colonne complète des effectifs.

L'histogramme suivant représente les âges des visiteurs d'un musée pendant une matinée. Observer que les classes n'ont pas la même amplitude et que l'axe vertical représente la densité de fréquence (hauteur $a_i = \frac{f_i}{c_i}$, où $c_i$ est l'amplitude de la classe).

Reconstituer le tableau des effectifs sachant que les classes représentées sont $[0 ; 10[$, $[10 ; 30[$, $[30 ; 40[$ et $[40 ; 60[$.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Une enquête a été réalisée sur deux variables $X$ et $Y$. Le tableau à double entrée est incomplet. Le compléter sachant que l'effectif total est $N=50$, que la distribution marginale de $X$ comporte $f(X=1) = 20$ et $f(X=2) = 30$, et que la distribution marginale de $Y$ comporte $f(Y=A) = 15$, $f(Y=B) = 25$ et $f(Y=C) = 10$.

De plus, on connaît les effectifs conjoints partiels suivants :

• Il y a $5$ individus avec $X=1$ et $Y=A$.

• Il y a $10$ individus avec $X=1$ et $Y=B$.

• Il y a $5$ individus avec $X=2$ et $Y=C$.

Construire le tableau à double entrée en remplissant les cases manquantes.

Vous pouvez le faire sur papier et envoyer une photo de votre réponse.

Dans une distribution regroupée en classes, on connaît les fréquences cumulées suivantes : $H_1 = 0,12$, $H_2 = 0,38$, $H_3 = 0,70$, $H_4 = 0,90$ et $H_5 = 1$.

Si l'effectif de la troisième classe est $f_3 = 48$, déterminer la taille totale de l'échantillon $N$ et calculer les effectifs de toutes les classes.

Un chercheur analyse un échantillon stratifié de $300$ personnes extrait d'une population de $15\,000$ habitants. La population se divise en trois quartiers : Nord ($6\,000$ hab.), Centre ($4\,500$ hab.) et Sud ($4\,500$ hab.).

Pour que l'échantillon soit strictement représentatif (échantillonnage proportionnel), combien de personnes de chaque quartier doivent figurer dans le tableau d'effectifs de l'échantillon ? Si, dans l'échantillon réellement utilisé par le chercheur, $100$ personnes de chaque quartier ont été interrogées, quelle erreur de représentation (en pourcentage absolu) a été commise dans le quartier Nord par rapport à ce qui lui revenait proportionnellement ?

Démontrer mathématiquement, en utilisant la notation somme ($\sum$), que la somme de toutes les fréquences ($h_i$) d'une distribution à une variable de $k$ valeurs distinctes est toujours égale à $1$, quelle que soit la taille de l'échantillon $N$.

Les salaires d'une entreprise sont regroupés en $3$ classes de même amplitude. On sait que le centre de la première classe est $1\,200$ € et que le centre de la troisième classe est $2\,000$ €. Déterminer l'amplitude des classes et écrire les bornes inférieure et supérieure de chacune des trois classes.

On considère deux groupes d'élèves, A et B. Pour le groupe A ($30$ élèves), on sait que la fréquence des élèves ayant réussi est $0,60$. Pour le groupe B ($20$ élèves), on sait que l'effectif des élèves ayant échoué est $5$.

Si l'on regroupe les deux groupes dans un seul tableau d'effectifs global, quelle sera la fréquence cumulée des élèves ayant échoué par rapport au total de $50$ élèves ? (On suppose que la variable ne prend que deux valeurs qualitatives ordonnées : Échec et Réussite, dans cet ordre.)

Le service d'orientation d'un lycée a évalué les scores obtenus par $120$ élèves de seconde à un test standardisé de raisonnement numérique, sur une échelle de $0$ à $100$ points avec des valeurs décimales continues. Pour présenter le rapport à la direction de l'établissement, trois méthodes sont proposées :

• Méthode 1 : Construire un tableau avec chaque note individuelle sans regroupement, en associant à chaque score distinct son effectif $f_i$.

• Méthode 2 : Regrouper les données en classes d'amplitude égale en appliquant la règle $k \approx \sqrt{N}$, en arrondissant $k$ à l'entier le plus proche et en calculant l'amplitude constante $c$ qui couvre l'étendue complète $[0 ; 100]$.

• Méthode 3 : Regrouper les données en $4$ classes qualitatives prédéfinies par les critères d'évaluation : Insuffisant $[0 ; 50[$, Satisfaisant/Assez bien $[50 ; 70[$, Bien $[70 ; 90[$ et Très bien $[90 ; 100]$.

Répondre en justifiant avec rigueur statistique :

1. a) Expliquer pourquoi la méthode 1 est inadaptée et inefficace pour cet ensemble de données, en indiquant quel problème pratique présenteront les effectifs de la plupart des lignes.
2. b) Si l'on adopte la méthode 2, déterminer le nombre entier de classes $k$ et calculer l'amplitude uniforme $c$ arrondie par excès à l'entier le plus commode pour couvrir l'étendue $[0 ; 100]$. Quel avantage de calcul apporte le fait de travailler avec des amplitudes identiques par rapport à des classes d'amplitudes variables ?
3. c) Justifier dans quel contexte de communication ou de prise de décision la méthode 3 est plus commode et plus claire que la méthode 2, bien que ses classes aient des amplitudes différentes ($50$, $20$, $20$ et $10$ points).

À partir d'un échantillon de $200$ jeunes de 18 à 24 ans issu d'une étude socioprofessionnelle en Espagne (selon le schéma de l'Encuesta de Población Activa de l'INE), on étudie conjointement deux variables :

• Niveau d'études atteint ($X$) : $A$ (collège ou inférieur), $B$ (lycée ou CAP/BEP) et $C$ (études supérieures ou BTS).

• Situation professionnelle ($Y$) : $E$ (en emploi), $D$ (au chômage) et $I$ (inactif en études).

On dispose des informations agrégées suivantes sur l'échantillon :

1. $30\,\%$ des jeunes ont le niveau de formation $A$ et $40\,\%$ ont le niveau $B$.

2. Dans le groupe $C$, il n'y a aucune personne au chômage, et le nombre de jeunes en emploi est le double de celui des inactifs.

3. Dans l'ensemble de l'échantillon, il y a $40$ personnes au chômage, dont $60\,\%$ appartiennent au niveau de formation $A$.

4. Le nombre total de jeunes en emploi dans l'échantillon est $100$.

5. Parmi les jeunes de niveau $B$, exactement $24$ sont en inactivité scolaire ou de formation.

Réaliser les tâches d'analyse suivantes :

1. a) Modéliser la distribution conjointe en élaborant le tableau à double entrée complet (effectifs conjoints et marginaux par lignes et par colonnes). Poser et résoudre les équations nécessaires pour déduire chaque case inconnue en justifiant les étapes.
2. b) Calculer le taux de chômage de l'échantillon dans chacun des trois niveaux d'études séparément (c'est-à-dire le pourcentage que représentent les chômeurs par rapport au total des jeunes de leur propre niveau de formation : $A$, $B$ et $C$).
3. c) Interpréter les pourcentages obtenus à la question précédente et rédiger une conclusion argumentée : les données confirment-elles l'hypothèse selon laquelle un niveau de formation plus élevé est associé à une fréquence de chômage plus faible dans cette population ?