Exercices: Fonctions racine carrée

Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $f(x) = \sqrt{x - 8}$.

Soit la fonction $f(x) = \sqrt{2x - 1}$. Calculer la valeur de ses images pour $x = 5$ et $x = 13$.

Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $g(x) = \sqrt{-3x + 12}$.

Calculer les points d'intersection avec les axes de coordonnées de la fonction $h(x) = \sqrt{x + 4} - 2$.

Observer les trois fonctions représentées sur le graphique suivant. Identifier laquelle correspond à l'expression $f(x) = \sqrt{x - 2}$ et justifier votre réponse en indiquant son ensemble de définition.

Calculer la valeur de $x$ pour laquelle la fonction $f(x) = \sqrt{5x + 1}$ prend la valeur $4$.

Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $f(x) = 3 - \sqrt{x + 5}$.

Le temps $t$ (en secondes) que met un objet à tomber d'une hauteur $h$ (en mètres) peut être approché par la fonction $t(h) = \sqrt{\frac{h}{5}}$. Combien de temps mettra à toucher le sol une balle lâchée du haut d'un pont de $45$ mètres de hauteur ?

Lucie essaie de calculer le point d'intersection avec l'axe des ordonnées ($Y$) de la fonction $f(x) = \sqrt{x - 4} + 1$. Pour cela, elle écrit dans son cahier : « Comme l'intersection avec l'axe $Y$ a lieu quand $x = 0$, je calcule $f(0) = \sqrt{0 - 4} + 1 = \sqrt{-4} + 1 = -2 + 1 = -1$, donc la courbe coupe l'axe au point $(0 ; -1)$ ». Identifier les deux erreurs conceptuelles commises par Lucie, expliquer pourquoi sa démarche contredit la définition de l'ensemble de définition d'une fonction racine carrée dans les nombres réels et déterminer en justifiant si la courbe de $f$ coupe ou non l'axe $Y$.

Une fonction racine carrée élémentaire a pour expression $f(x) = \sqrt{x - h} + v$. On sait que sa représentation graphique commence exactement au point $(-3 ; 2)$ du plan muni d'un repère et qu'elle passe en outre par le point $(1 ; 4)$. Déterminer en justifiant les valeurs numériques des paramètres $h$ et $v$. À partir de celles-ci, en déduire l'ensemble de définition et l'ensemble image de la fonction en s'appuyant sur la signification des translations horizontale et verticale par rapport à la fonction de référence $y = \sqrt{x}$.

La période $T$ (en secondes) d'un pendule simple est donnée par la fonction $T(L) = 2\pi \sqrt{\frac{L}{10}}$, où $L$ est la longueur du fil en mètres. Si l'on veut construire un pendule dont la période soit exactement de $2$ secondes, quelle longueur doit avoir le fil ? (Utiliser $\pi \approx 3,14$).

Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $f(x) = \sqrt{x^2 - 16}$.

Soit la fonction $f(x) = \sqrt{x}$. Écrire l'expression analytique de la fonction $g(x)$ obtenue en translatant la courbe de $f(x)$ de trois unités vers la droite et de deux unités vers le haut.

La vitesse $v$ (en km/h) à laquelle se propage un tsunami dans l'océan dépend de la profondeur $d$ (en mètres) de l'eau, selon la fonction $v(d) = 11,2 \sqrt{d}$. Si l'on a détecté qu'un tsunami avance à une vitesse de $336$ km/h, à quelle profondeur se trouve l'océan en ce point ?

Déterminer les points d'intersection de la courbe représentative de la fonction $f(x) = \sqrt{2x + 3} - 3$ avec les axes du repère.

Le rayon $r$ d'un disque en fonction de son aire $A$ est donné par $r(A) = \sqrt{\frac{A}{\pi}}$. Calculer le taux de variation moyen du rayon lorsque l'aire passe de $100\pi$ à $400\pi$ unités d'aire.

Déterminer les valeurs des paramètres $a$ et $b$ pour que la fonction $f(x) = \sqrt{ax + b}$ ait pour ensemble de définition l'intervalle $[-2 ; +\infty[$ et que sa courbe passe par le point $(2 ; 4)$.

Observer les courbes représentatives des fonctions $f(x) = \sqrt{x + 1}$ et $g(x) = \sqrt{-x + 1}$. Déterminer l'ensemble de définition de chacune d'elles et calculer les coordonnées exactes de leur point d'intersection.

Depuis le phare du Cabo Vilán (Galice), la distance maximale théorique $D$ (en kilomètres) à laquelle on aperçoit la ligne d'horizon sur la mer dépend de la hauteur $h$ (en mètres) à laquelle se situent les yeux de l'observateur, selon le modèle $D(h) = 3,57 \cdot \sqrt{h}$.

1. a) Avant de calculer la valeur exacte, estimer en justifiant entre quels deux nombres entiers consécutifs de kilomètres se situera la distance de visibilité pour un visiteur placé à $h = 40\text{ m}$ au-dessus du niveau de la mer, en justifiant l'approximation à partir des carrés parfaits les plus proches de $40$.
2. b) Calculer maintenant la valeur numérique de $D(40)$ arrondie à deux décimales et vérifier si l'estimation initiale était correcte.
3. c) Un marin affirme que pour voir deux fois plus loin ($2 \cdot D$), il suffit de se placer deux fois plus haut ($2 \cdot h$). Justifier mathématiquement si son affirmation est vraie ou fausse en analysant le comportement de la racine carrée lorsque la variable est doublée.

L'agence météorologique espagnole (AEMET) enregistre la vitesse du vent $v$ (en $\text{m/s}$) à proximité d'un parc éolien en Aragon en fonction de la hauteur $z$ (en mètres) au-dessus du sol par l'expression $v(z) = 3 + 2\sqrt{z - 4}$, valable à partir de la cote minimale des anémomètres.

1. a) Interpréter la signification mathématique et physique du radicande et en déduire l'ensemble de définition de la fonction dans ce contexte réel. Pourquoi n'a-t-il aucun sens de calculer $v(2)$ ?
2. b) Poser l'équation permettant de trouver à quelle hauteur la vitesse du vent atteint $11\text{ m/s}$, la résoudre étape par étape et vérifier explicitement que la solution obtenue appartient à l'ensemble de définition de la fonction.
3. c) Sans résoudre d'équation algébrique longue, déduire, à partir de l'ensemble image de la fonction, s'il est possible qu'en un point situé au-dessus de la cote minimale le vent soit totalement nul ($v = 0\text{ m/s}$).

Déterminer l'ensemble de définition de la fonction $f(x) = \sqrt{-x^2 + 6x - 8}$.

Déterminer les points d'intersection de la droite $y = x - 2$ et de la fonction racine $y = \sqrt{x + 4}$. Vérifier que la solution obtenue appartient à l'ensemble de définition des deux fonctions et qu'elle satisfait l'équation de départ.

La distance $d$ (en km) à laquelle se trouve l'horizon pour un observateur situé à une hauteur $h$ (en mètres) au-dessus du niveau de la mer peut être approchée par la fonction $d(h) = 3,57 \sqrt{h}$. Si vous vous trouvez en haut d'un phare à $10$ mètres de hauteur, de combien de mètres supplémentaires faudrait-il monter pour que la distance à l'horizon visible double ?

Déterminer l'ensemble de définition et l'ensemble image de la fonction $f(x) = -2 + \sqrt{3x - 6}$. Justifier la réponse en analysant les caractéristiques de la fonction racine.

Le coût de production $C$ (en euros) d'une usine de composants électroniques dépend du nombre d'unités produites $x$ selon la fonction $C(x) = 200 + 10\sqrt{x - 100}$. Déterminer l'ensemble de définition de la fonction dans ce contexte. Si le coût d'un lot a été de $350$ euros, combien d'unités ont été produites ?

La relation entre le volume $V$ d'un cube et son arête $a$ est $V = a^3$. Considérons maintenant l'aire d'une de ses faces $A = a^2$ : exprimer l'arête $a$ en fonction de l'aire $A$. Puis exprimer le volume $V$ en fonction de l'aire $A$ à l'aide d'une fonction racine et calculer le volume si l'aire d'une face est $25 \text{ cm}^2$.

Soit la fonction $f(x) = \sqrt{x^2 - 4x}$. Déterminer les valeurs de $x$ pour lesquelles la fonction est définie. Calculer ensuite les points exacts où la fonction prend la valeur $\sqrt{5}$.

Observer la fonction définie par morceaux suivante et sa représentation graphique :

$f(x) = \begin{cases} \sqrt{-x} & \text{si } x \le 0 \\ \sqrt{x} & \text{si } x > 0 \end{cases}$

Étudier son ensemble de définition, justifier si elle est continue sur $x=0$ et démontrer algébriquement si elle possède une symétrie (paire ou impaire).

Pour trouver les points d'intersection entre la fonction racine $f(x) = \sqrt{2x + 10}$ et la droite $g(x) = x - 1$, il faut résoudre l'équation $\sqrt{2x + 10} = x - 1$. Deux élèves proposent des stratégies différentes avant de calculer :

• Méthode de Marc : isoler la racine, élever les deux membres au carré, résoudre l'équation du second degré obtenue puis, à la fin, remplacer chaque solution dans l'égalité de départ pour écarter les éventuelles solutions fausses.

• Méthode de Sarah : avant d'élever au carré, analyser la condition d'existence de la racine ($2x + 10 \ge 0$) et la condition de signe du second membre ($x - 1 \ge 0$), et en déduire que toute solution valable appartient nécessairement à l'intervalle $[1 ; +\infty[$.

1. a) Appliquer la méthode de Marc en résolvant l'équation étape par étape. Montrer quelle solution fausse apparaît et expliquer algébriquement pourquoi elle apparaît lorsqu'on élève au carré.
2. b) Expliquer pourquoi la méthode de Sarah permet d'écarter immédiatement la solution fausse sans avoir à la remplacer dans l'équation de départ.
3. c) Justifier quel danger présente le fait d'élever directement au carré si l'équation initiale se présentait non isolée sous la forme $\sqrt{2x + 10} - x = -1$ et que l'on élevait chaque terme au carré séparément.

Concevoir, en justifiant, l'expression d'une fonction racine de la forme $f(x) = a\sqrt{x - h} + v$ vérifiant simultanément ces quatre conditions :

1. Son ensemble de définition est l'intervalle $[4 ; +\infty[$.

2. Sa courbe coupe l'axe des abscisses ($X$) au point $(13 ; 0)$.

3. La fonction est strictement décroissante sur tout son ensemble de définition.

4. Le maximum atteint par la fonction est $6$ (c'est-à-dire que son ensemble image est $]-\infty ; 6]$).

Répondre en justifiant aux questions suivantes :

1. a) Déduire étape par étape la valeur de chacun des paramètres $h$, $v$ et $a$, en expliquant quelle condition permet de fixer chacun.
2. b) Déterminer par le calcul si la courbe de votre fonction coupe ou non l'axe des ordonnées ($Y$).
3. c) Si l'on change uniquement le signe du coefficient $a$ obtenu (en laissant $h$ et $v$ inchangés), quel serait le nouvel ensemble image de la fonction et que deviendrait le point d'intersection avec l'axe $X$ ? Justifier la réponse sans se limiter à donner le résultat.